ИЗГИБНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН

 
77 
 
W = W(x,y) – функция поперечных перемещений (прогибов), q = q(х,у) – интенсивность 
поперечной распределенной нагрузки. 
 
                                      D=Еh
3
/12(1-ν
2
) 
   
(2) 
 
D 
– цилиндрическая жесткость,  
β
2
 – частотный параметр, 
N
x
, N
y
, N
xy
 – усилия в срединной поверхности пластины. 
 
Двоичные коэффициенты  k
1
, k
2
 ,k
3 
в выражении (1) принимают следующие значения:  

 
при расчете на изгиб: k
1
= k
2 
=0; k
3
 =1; 

 
при расчете на плоское напряженное состояние и устойчивость:  

 
k
2
= k
3 
=0; k
1
 =1; 

 
при расчете на свободные колебания: k
1
= k
3
=0; k
2
 =1. 
 
Для решения уравнения (1) применим сетку из произвольных треугольников, основные 
параметры  которой  определяются  через  значения:  α,β–  углы  наклона  боковых  кромок 
треугольника к основанию, а – длина основания.  
В  качестве  сеточного  шаблона,  в  этом  случае  будет  использоваться  19-ти  членный 
сеточный шаблон (рисунок 1). 
h
x 
= a/N – шаг сетки по оси «x», N – число делений сетки по оси «x», h
y 
– шаг сетки по 
оси «y», h
v 
– шаг сетки по оси «v», h
u 
– шаг сетки по оси «u». 
Введем зависимости: 
sinα =  h
y
/ h
u
 ; cosα =  h
x
/ h
u
;  sinβ =  h
y
/ h
v
 ; cosβ =  h
x
/ h
v
; 
А = hx`/h
x 
 =  sinβ cosα / sin(β+α);  
 
 
 (3)
 
В = hx``/h
x 
=  sinα cos α/ sin(β+α ); 
А + В = 1 
С = hy/h
x 
 =  sinβsinα / sin(β+α ); 
U = С
2
 –АВ = - sinα sinβ cos(β+α )/ sin
2
(β+α ). 
 
 
Рисунок 1 
 
Приведем  известный  в  теории  пластин  оператор  Лапласа  [2]  для  произвольной 
функции Z =Z(x;y) записанный для i-го узла треугольной сетки (рисунок 1), и полученный в 
работах [1,2] с учетом выражений (3): 
 
2
 Z
i
 = 1/ h
y
2 
[-2(U+1) + U(Zo+Zr) + A(Zp+Zs) +B(Zq+Zt)] 
   
(4) 

 
78 
 
С учетом выражения (4) для i-го узла треугольной сетки (рисунок 1) бигармонический 
оператор, полученный в работах [1,2] примет вид: 
 
h
y
4
 Zi = φ
1
Zi+ φ
2
(Zo+Zr) + φ
3
(Zp+Zs) + φ
4
(Zq+Zt) +φ
5
(Zn+Zf) +φ
6
(Zb+Zh)+  
+φ
7
(Zd+Zk)+ φ
8
(Zm+Ze) + φ
9
(Za+Zg) + φ
10
(Zc+Zj)  
 
(5) 
 
Здесь 
 
φ
1
 =2 [2(U+1)
2
 +A
2
+B
2
+U
2
]; φ
2
 = -2 [2U(U+1) - AB];  φ
3
= -2 [2A(U+1) - BU]; 
φ
4 
=2 [2B(U+1) - AU]; φ
5 
=2AU; φ
6 
=2AB; φ
7 
=2BU; φ
8 
=U
2
; φ
9 
=A
2
; φ
10 
=B
2
; 
 
На  основе  Фортран-программы  расчета  на  ЭВМ  получены  результаты  по  изгибу 
треугольных  пластин  с  различными  граничными  условиями  при  N  =  8;  β  =  45°=  const;  α 
=30°…90° ( с шагом 15°), q = const ( рисунок 2). 
 
 
Рисунок 2 
Литература 
1. Ахмедиев  С.К.  Расчеты  треугольных  пластин:  Учебное  пособие  –  Караганда: 
КарГТУ, 2006.-85с. 
2. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций 
– М.: Строй издат., 1977.-160с. 
 
ЭОЖ 531.1 
 
ИІЛГІШ ЖӘНЕ СЫЗЫЛМАЙТЫН ЖІПТІҢ ТЕПЕ ТЕҢДІГІ 
 
Сайлаубек Е.Т., Кенжеғҧл Ә.К., Жиенкулов Д.Г. 
Қарағанды Мемлекеттік Техникалық Университет, Караганды 
Ғылыми жетекшісі – Иманбаева Л.Х. 
 
Қисық  бойымен  ҥздіксіз  орналасқан,  нҥктелерінің  арақашықтығы  ӛзгермейтін 
материалық жҥйені иілгіш созылмайтын жіп деп атайды. 
А  және  В  нҥктелерінде  бекітілген,  берілген  кҥштердің  әсерінен  тҧрған  жіптің  тепе  – 
теңдігін қарастырамыз. 
 

 
79 
 
 
Егер  жіпті  ойша  С  нҥктесінде  қиып,  СВ  бӛлігін  алып  тастасақ,  қалған  бӛлігіне  С 
нҥктесінде  қисықтың  жанамасымен  жіптің  Керу  кҥші  Т  әсер  етеді.  АВ  жібі  ӛзінің  барлық 
нҥктелеріне тҥсірілген кҥштердің әсерінен тепе –теңдікте тҧрады. Жіптің бірлік ҧзындығына 
әсер ететін кҥшті F-пен белгілейміз. Жіптің ab=ds  элементінің тепе – теңдігін қарастырамыз. 
F
∙dS + 
1
T
 + (- T ) = 0 
мҧндағы 
1
T = T +dT  осыны қойып, аламыз 
FdS + dT = 0                                                             (1) 
немесе  
F+
dS
dT
=0 
(1)  теңдік  жіптің  тепе  –  теңдігінің  дифференциалдық  теңдеуінің  векторлық  тҥрі.  (1)  -  ші 
теңдікті тік бҧрышты декарттық координата ӛстеріне проекциялап, аңықтаймыз 
 
dS
dT
dS
dx
 + T 
2
2
dS
x
d
 + 
x
F
 = 0, 
                                                         
dS
dT
dS
dy
 + T 
2
2
dS
y
d
 + 
y
F
 = 0,                                          (2) 
dS
dT
dS
dz
 + T 
2
2
dS
z
d
 + 
z
F
 = 0, 
 
мҧндағы 
dS
dx
  , 
dS
dy
, 
dS
dz
    -  қисықтың  a(x,y,z)  нҥктесіндегі  жанама  мен  координата  ӛстерінің 
арасындағы бҧрыштардың косинусыны. 
(1)  –  ші  векторлық  теңдеуді  а  нҥктесінде  орналасқан  табиғи  координата  ӛстеріне 
проекциялаймыз. Суреттен T =T
0

. 
dS
dT
=
dS
d
(T
0

) = 
dS
dT
0

 + T 
dS
d
0

 
немесе 
dS
dT
 = 
dS
dT
0

 + Т

0
n
 

 
80 
мҧндағы 

 - а нҥктесіндегі қисықтық радиусы. 
(1) – ші теңдік табиғи координата жҥйесінде тӛмендегідей жазылады 
F
+
dS
dT
0

+

T
0
n
=0 
Осыдан табиғи ӛстердегі проекциясы 
dS
dT
 = -F

,  

T
= - F
n
,  
b
F
 = 0                                             (3) 
(3)  –  ші  формуланың  ҥшінші  теңдігінен 
b
F
  =  0,  яғни  берілген  кҥштің  әсерінен  тепе  – 
теңдікте тҧрған жіп, қисық сызықтың жанасушы жазықтығында орналасқанын кӛрсетеді. 
Жіптерге әсер ететін кҥштер параллель орналасқан, 
F
=
F
0
F
 жіптің әр нҥктесіне әсер 
ететін кҥштердің бағыты ӛзгермейді, тек қана шамасы ӛзгереді. 
Бҧл жағдайда жіп параллель кҥштермен бір жазықтықта орналасады және жіптің керу 
кҥшінің параллель кҥштердің бағытына перпендикуляр бағыттағы проекциясы тҧрақты шама 
болады. 
Иілгіш, созылмайтын жіптің центрлік кҥш, потенциалдық кҥштің әсерінен тҧрғандағы 
тепе – теңдік теңдеулері анықталған. 
Мысал ретінде бір есепті қарастырамыз. Жіптің формасы, радиус а  шеңбердің доғасы 
деп есептейміз. Жіптің барлық нҥктелеріне бірқалыпты, вертикальдың бойымен бағытталған.  
                                                                                                  
                                                                                                  Мҧндай жағдай аспалы кӛпірлерде 
                                                                                                   кездеседі. Жіптің бірлік ҧзынды- 
                                                                                                   ғына әсер ететін кҥшті q-мен   
                                                                                                   белгілейміз.   
 
 
 
 
 
Кҥштердің x және y осьіндегі проекциялары:  
0

x
F
,   
q
F
y


 
 
Екінші (2) теңдеуден жіптің тепе-теңдік теңдеулерін қҧрастырамыз. 
 
0







dS
dx
T
ds
d
 
(4) 
q
dS
dy
T
ds
d







 
 
Бірінші (1) теңдеуден табамыз: 
const
T
dS
dx
T


0
                                                     (5) 
Осыдан 
                                                                    
dx
dS
T
T
0

                                                                 (а). 
 
(4)-теңдеулер жҥйесінің екінші теңдеуіне (а) апарып қоямыз 
 

 
81 
q
dx
dS
dS
dy
T
dS
d








0
 
немесе 
                                                                 
qdS
dx
dy
T
d







0
                                                          (6). 
 
Жіптің формасы шеңбердің доғасы болғандықтан, 
2
2
x
a
y


. 
                                                    
dx
x
a
a
dx
dx
dy
dS
2
2
2
1










                                           (7) 
dS-тың шамасын (6)-ға қойып, аңықтаймыз. 
 
                                                              
2
2
2
2
0
x
a
aq
dx
y
d
T


                                                        (б) 
 
у-тен екі рет туынды алып, (б)-ға қойып табамыз: 
 
                                                                


a
x
a
q
T
2
2
0



                                                         (8). 
 
Доға  бойымен  бірқалыпты  таралған  вертикаль  кҥштің  әсеріндегі  жіптің  керу  (8)-
формула-мен аңықталынады. 
Иілгіш,  созылмайтын  жіптер  –  электрді  беру  жҥйесінде,  канатты  жолдарда,  аспалы 
кӛпір-лерде  және  басқа  қҧрылыстарда  жиі  кездеседі.  Ҧсынылып  отырған  жҧмыста,  иілгіш, 
біртекті жіптердің тепе-теңдігі қарастырылады. Жалпы жағдайда, жіптерге әртҥрлі бағытта-
ғы кҥштердің әсерінен басқа, қоршаған ортаның температурасының кӛп әсері болады. 
Әдебиеттер 
1. Н.Н.Бухгольц. Основной курс теоретической механики. – Москва,1967.  
 
 
УДК 621 (075.8)  
 
КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 
КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННОГО МЕХАНИЗМА 
 
Серова М.Д., Алексеев В.Д. 
Карагандинский государственый технический университет, г. Караганда 
Научный руководитель – доц. Старостин В.П 
 
Графические,  аналитические  и  экспериментальные  методы  исследования  механизмов 
позволяют  выявлять  взаимосвязь  кинематических  параметров  механизма  с  его 
геометрическими  параметрами  и  производить  сравнительный  анализ  полученных 
результатов.  Роль  аналитических  методов  кинематического  анализа  механизмов  особенно 
возросла в последние годы в связи с тем, что, имея аналитические выражения, связывающие 
между  собой  основные  кинематические  и  структурные  параметры  механизма,  можно 
составить  программу  вычислений  для  ЭВМ  и  с  помощью  машины  получить  все 
необходимые  данные:  перемещение  S,  скорость  v  и  ускорение  а  за  полный  цикл  оборота 
кривошипа с требуемой точностью.  
Кинематическое 
исследование 
плоских 
четырехзвенных 
механизмов 
графоаналитическим  методом  удобнее  вести  с  помощью  построения  планов  перемещения 

 
82 
скоростей и ускорений. Для построения кинематической схемы механизма достаточно знать 
радиус  кривошипа  (l
1
),  длину  шатуна  (l
2
)  и  смещение  (е).  При  синтезе  четырехзвенных 
рычажных  механизмов  применяется  коэффициент  изменения  средней  скорости  выходного 
звена 
1

V
K

 
x
p
x
x
V
V
V
K
,
,

, 
где 
x
x
V
,
 - скорость на холостом ходе; 
x
p
V
,
 - скорость на рабочем ходе. 
При синтезе определяют угол перекрытия: 
1
1
180
0




V
V
K
K
, 
где 

 - разность углов между двумя крайними положениями выходного звена ползуна. 
Кривошипно-ползунный  механизм  (рисунок  2)  применяется  для  преобразования 
вращательного движения кривошипа 1 в возвратно-поступательное движение ползуна 3, или 
наоборот. 
Векторная 
кинематическая 
схема 
кривошипно-ползунного 
механизма 
представлена на рисунке 1. 
 
Рисунок 1 
где 
1

 - угловая скорость звена 1, с
-1
 
l
1
=l
AB
 – длина кривошипа, м 
l
2
=l
BC
 – длина шатуна, м 
S
3
 – перемещение выходного звена 3 (ползуна), м 
l
4
=e=l
OA
 – эксцентриситет, м 

1
 – угол поворота ведущего звена 1, град 

2
 – угол поворота шатуна 2, град 

41
=90
0
 – угол эксцентриситета относительно оси х. 
Аналитические выражения 
1.Угол поворота шатуна 
1
sin
,
sin
sin
arcsin
41
2
41
41
1
1
2
















l
l
l
 
2. Перемещение выходного звена 3 
2
2
1
1
2
1
3
cos
cos
)
(








l
l
l
l
S
 
3. Передаточная функция скорости звеньев 2-1 
2
2
1
1
21
cos
cos






l
l
U
 
4. Аналог скорости выходного звена 3 


2
1
2
1
3
cos
sin







l
v
 
5. Передаточная функция ускорения звеньев 2-1 
е 
x 
О 
А 
В 
С 
S
3
 
y 
l
1
 
l
2
 

1
 
1 
2 
3 

2
 
4 

 
83 
2
2
2
2
2
21
1
1
21
cos
sin
sin










l
l
U
l
U
 
6. Аналог ускорения выходного звена 3 
2
2
21
2
2
2
21
1
1
3
sin
cos
cos














l
U
l
U
l
a
 
7. Скорость выходного звена, м/с 


3
1
3
v
v


 
8. Ускорение выходного звена, м/с
2
 
)
.
.
,
0
(
,
1
1
3
1
3
2
1
3
const
к
т
v
a
a












 
9. Угловая скорость звена 2, с
-1
 
21
1
2
U




 
10. Угловое ускорение звена 2, с
-2
 


const
k
m
U
U







1
1
21
1
21
2
1
2
.
.
,
0
,





 
В  основу  работы  установки  заложен  принцип  кривошипно-ползунного  механизма  с 
изменяемым эксцентриситетом. Установка состоит из основания 1 с установленными на нем 
двумя неподвижными стойками 2 и 3. На стойке 2 находится кривошип 4, с которым жестко 
связана  угловая  шкала  5  и  приводная  рукоядка  6.  Кривошип  посредством  шатуна  7 
шарнирно соединен с ползуном 8, имеющем возможность перемещаться в направляющей 9. 
Направляющая 9  может быть  установлена на  стойке 3 с помощью винтовой пары 10 выше 
или  ниже  оси  кривошипа,  обеспечивая  заданный  эксцентриситет  ползуна.  Размеры  (длина) 
кривошипа  и  шатуна  также  могут  изменяться  в  заданных  пределах с  помощью подвижных  
звеньев 4 и 7. 
В  ряде  задач  теории  механизмов  и  машин  приходится  пользоваться  методом 
графического  интегрирования.  Пусть,  например,  заданна  диаграмма  (рисунок  3)  ускорения 
α=α(t)  какой-либо  точки  звена  механизма,  имеющей  прямолинейное  движение  в  функции 
времени t. Требуется построить диаграммы скорости v = v(t) и перемещения. 
 
Рисунок 2 - Установка для метрического синтеза 
кривошипно-ползунного механизма ТММ-97-2А 
 
При графоаналитическом исследовании ось абсцисс разбиваем на равные части участки 
∆t,  а  график  ускорения  аппроксимируем  ступенчатой  функцией  таким  образом,  чтобы 
площадь прямоугольника на каждом участке равнялась площади криволинейной трапеции на 
этом  же  участке.  Выберем  на  оси  абсцисс  слева  от  начала  координат  некоторый  полюс  О, 
отстоящий  на  расстоянии  h
1
(мм).  Соединим  этот  полюс  с  ординатами  соответствующих 
прямоугольников и на графике скорости на каждом участке отложим отрезки параллельные 
соответствующим  лучам.  Сглаживая  ломанную  линию,  получим  график  скорости  точки 
звена v=v(t), изображенный в некотором масштабе μ
v
.  

 
84 
 
Рисунок 3. Кинематические диаграммы 
 
Проведенные  кинематические  исследования  плоского  шарнирного  рычажного 
механизма графоаналитическим методом позволили исследовать полный цикл перемещения 
выходного  звена  механизма.  Разработанная  программа  на  ЭВМ  показывает  отличную 
сходимость  экспериментальных  и  аналитических  исследованиях  кинематических 
характеристик выходного звена. 
 
 
УДК 531 
 
МЕТОД ХОРИ-ДЕПРИ В ЗАДАЧЕ О ВОЗМУЩЕННОМ  
ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ НАМАГНИЧЕННОГО СПУТНИКА 
 
Тулекенова Д.Т. 
ДТОО «Институт космических исследований» АО «НЦКИТ», 
КазНУ им. аль-Фараби 
Научный руководитель Жилисбаева К.С. 
 
Рассматривается  возмущенное  вращательное  движение  динамически  симметричного 
намагниченного спутника в геомагнитном поле, моделируемом прямым диполем, введем две 
прямоугольные системы координат  – базовую и связанную. 
Положение спутника относительно осей базовой системы координат будем определять 
обычным образом через углы Эйлера 



,
,
 , где 

 – угол нутации, 

 – угол собственного 
вращения, 

  –  угол  прецессии.  Канонические  импульсы 

p
, 

p
, 

p
,  сопряженные  с 
углами Эйлера определяются соотношениями (1.22). 
В 
канонических 
переменных 
)
p
,
p
,
p
,
,
,
(






 
функция 
Гамильтона 
невозмущенной задачи для НДСС имеет вид (1.27): 
 

 
85 
                  










cos
W
p
sin
cos
p
p
B
C
p
K
0
2
2
2
2
0
2
1
2













                    
(1)
    
 
Возмущающая  функция,  обусловленная  малым  нарушением  оси  динамической 
симметрии, определяется по формуле (1.7) и в канонических переменных Эйлера запишется 
в виде: 
      
],
сos
cos
sin
sin
sin
[
W
I
K








3
2
1
0
1




жүктеу/скачать 8,59 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: