ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
 
128
 
 
Рисунок 1 - Структурная схема системы с эталонной моделью 
 
Решение  сформулированной  задачи  синтеза  будем    осуществлять  в  два  этапа:  на 
первом  этапе  производится  выбор  критерия  качества  управления,  а  на  втором - синтез 
адаптивного регулятора.  
Оценка качества управления. Как известно /3-7/, в целях анализа и синтеза систем 
управления  динамическими  объектами  в  теории  автоматического  управления 
используется ряд критериев. Основными из них являются: интегральные оценки качества; 
прямые  инженерные  критерии  эффективности  управления,  определяемые  переходными 
процессами  системы;  частотные  и  корневые  показатели  качества  САУ.  В  современной 
теории  управления  главным  образом  используются  квадратические  интегральные 
критерии  оценки  качества  автоматических  систем.  В  то  же  время  наиболее 
исчерпывающую  информацию  о  качестве  управления  дают  переходные  процессы  по 
ошибке  управления e(t). Впервые  достаточно  эффективный  инженерный  критерий 
предложен  профессором  В.В.Солодовниковым  в  работе /7/, который  основывается  на 
концепции  допустимости  переходных  процессов,  вызванных  действием  возмущений.  В 
дальнейшем  эта  концепция  получило  развитие  в  работах /8,9/, в  которых  предложен 
новый  подход  к  решению  широкого  класса  задач управления  многомерными  объектами, 
который  назван  принципом  гарантируемой  динамики.  Суть  концепции  допустимости 
заключается  в  том,  что  по  исходным  инженерным  требованиям  к  точности  и 
быстродействию  проектируемой  САУ  задаются  допустимые  множества  E
i
(t)  для  каждой 
компоненты вектора ошибки (невязки) управления: 
 
{
}
[
]
1
i
i
i
i
0
k
E (t)
e (t) R : e (t)
(t) ,
t
t , t ,
i 1, n ,
=
∈
≤ δ
∈
=
 
 
где 
i
(t)
δ
 - положительные    непрерывно-дифференцируемые  функции,  определяющие 
границы  допустимой  области  для  невязок    e
i
(t); t
0
, t
k
 – начальный  и  конечный  моменты 
процесса  управления; R
1
 – одномерное  вещественное  арифметическое  пространство.  
Геометрическая иллюстрация E
i
(t) приведена на рисунке 2. 
Математическое  описание  допустимого  подмножества  E
i
(t)  получено  в  рамках 
принципа  гарантируемой  динамики.  В  частности,  справедливо  следующее  утверждение 
/10/. 
Теорема 1. Пусть 
i
0
i
0
e (t ) E (t )
∈
.  Тогда  для  того,  чтобы  при 
0
t
t
>   невязка 
i
i
e (t) E (t)
∈
для каждого момента времени t достаточно выполнения соотношений 
 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
 
129
[
]
0
0
t
t
i
i
i
i
t
t
0
k
e ( )e ( )d
( ) ( )d ,
t
t , t ,
i 1, n.
τ
τ τ ≤ δ τ δ τ τ
∈
=
∫
∫
&
&
                                           (6) 
Выполнение  условий (6)  гарантированным  образом  обеспечивает  принадлежность 
невязок  e
i
(t) к допустимым множествам E
i
(t). Следует отметить, что эти условия являются 
более  жесткими,  чем  критерии,  используемые  в  настоящее  время  в  теории  управления 
/1,2,3/.  В  связи  с  этим  исследуем  вопрос  о  получении  менее  жесткого  и  в  то  же  время 
достаточно  эффективного  критерия  оценки  качества  управления.  Для  этой  цели 
рассмотрим интегральные функции, которые входят в левые части неравенств (6): 
 
( ) ( )
t
i
i
i
0
J (t)
e
e
d
=
τ
τ τ
∫
&
 ,          i 1, n
=
.                                         (7) 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 2 - Допустимая область для невязки e
i
(t). 
 
Теорема 2. Пусть 
i
0
e (t ) 0
≠ ,     i 1, n
=
,  и для каждого t
0
 и t
 
> t
0
  выполняются условия      
  
                                      
0
t
i
i
t
e ( ) e ( )d
0
τ
τ τ <
∫
&
,               i 1, n.
=
                                        (8) 
 
Тогда модули невязок 
i
e (t)
 c течением времени убывают и 
 
i
t
lim e (t) 0
→∞
= ,           i 1, n
=
.                                                 (9) 
 
Доказательство
.  На  основе  свойства  определенного  интеграла    соотношения (8) 
можно представить в виде 
1
0
1
t
t
i
i
i
i
t
t
e ( ) e ( )d
e ( ) e ( )d
0
τ
τ τ +
τ
τ τ <
∫
∫
&
&
,        i 1, n
=
, 
 
где  
1
0
t
(t , t)
∈
. По условию теоремы 2, если удовлетворяются неравенства (8), то  должны 
выполняться и следующие неравенства: 
 
t
k 
t
0
 
i
(t)
−δ
 
i
(t)
δ
 
e
i
(t
0
) 
t 
e
i
(t) 
i
E (t)
 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
 
130
1
0
t
i
i
t
e ( ) e ( )d
0
τ
τ τ <
∫
&
,                                                           (10) 
 
1
t
i
i
t
e ( ) e ( )d
0
τ
τ τ <
∫
&
,              i 1, n
=
.                                  (11) 
 
Пусть t
1
 – момент времени, достаточно близкий к текущему времени t, т.е. 
[
)
1
t
t
t, t
∈ − Δ
, 
где 
t
Δ
-  малое  положительное  число.  Тогда  левые  части  соотношений (11) с  достаточно 
высокой точностью аппроксимируются формулой прямоугольников и последние условия 
можно представить в виде  
     
i
i
e (t) e (t) t
0
Δ <
&
,            i 1, n
=
, 
 
что при 
t 0
Δ >
 эквивалентно неравенствам 
 
i
i
e (t)e (t) 0
<
&
,               i 1, n
=
.                                           (12) 
 
Анализ  соотношений (12) показывает,  что  последние  выполняются  только  при 
разных  знаках  функций 
i
e (t)   и 
i
e (t)
&
.  Это  свою  очередь  означает,  что  невязки 
i
e (t)   по 
модулю  с  течением  времени  монотонно убывают,  т.е.  выполняются условия (9). Отсюда 
следует справедливость теоремы 2. 
Таким  образом,  в  качестве  критерия  оценки  качества  управления  можно 
использовать  соотношения (8). При  этом  функции    J
i
(t)  также  убывают  во  времени, 
оставаясь отрицательной для каждого t. 
Синтез  адаптивного  закона  управления.  Для  построения  адаптивного  регулятора 
будем  использовать  результаты  теоремы 2. Уравнение  для  вектора  ошибки  получаем 
вычитая из (3) уравнение (1): 
*
*
e(t) A e(t) (A
A)x(t) u(t) Dg(t)
(t)
=
+
−
−
+
− ξ
&
.                                (13) 
 
Пусть структура адаптивного закона управления u(t) имеет вид  
 
*
u(t) K(t)x(t) P(t)e(t) u (t)
=
+
+
,                                             (14) 
где  вещественные матрицы 
 
{
}
ij
n n
K(t)
k (t)
×
=
,         
{
}
ij
n n
P(t)
p (t)
×
=
,  
 
а вектор 
*
*
*
*
T
1
2
n
u (t) [u (t), u (t),..., u (t)]
=
. 
Проблема  синтеза  адаптивного  регулятора  состоит  в  определении  алгоритмов 
адаптации элементов матриц K(t), P(t) и вектора 
*
u (t)  так, чтобы выполнялись условия. 
Подставим (14) в  уравнение (13) и  после  несложных  преобразований  получим 
следующее уравнение невязки: 
 
*
*
*
e(t)
A
P(t) e(t)
A
A K(t) x(t) u (t) Dg(t)
(t)
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
+
− −
−
+
− ξ
⎣
⎦
⎣
⎦
&
. 
 
Представим последнее уравнение в координатной форме: 
 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
 
131
n
n
*
*
i
ij
ij
j
ij
ij
ij
j
j 1
j 1
r
*
i
i
v
i
e (t)
a
p (t) e (t)
a
a
k (t) x (t)
u (t)
d g (t)
(t),
i 1, n.
=
=
ν
ν
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
+
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
−
+
− ξ
=
∑
∑
∑
&
                              (15)  
 
Теперь с учетом выражений (15) для  
i
e (t)
&
 критериальные функции   
i
J (t) ,    i 1, n
=
, 
определяемые соотношениями (7), имеют вид 
 
0
0
0
t
t
n
n
*
*
i
ij
ij
j
i
ij
ij
ij
j
i
j 1
j 1
t
t
t
r
*
i
i
i
i
1
t
J (t)
a
p ( ) e ( )e ( )d
a
a
k ( ) x ( )e ( )d
d g ( ) u ( )
( ) e ( )d ,
i 1, n.
=
=
ν ν
ν=
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
τ
τ
τ τ +
− −
τ
τ
τ τ +
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
+
τ −
τ − ξ τ
τ τ
=
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
∑
∫
∫
∑
∫
            (16) 
Введем новые переменные:  
*
ij
ij
ij
*
ij
ij
ij
ij
r
*
i
i
i
i
1
z (t) a
p (t),
(t) a
a
k (t),
(t)
d g (t) u (t)
(t),
i 1, n.
ν ν
ν=
=
−
η
=
− −
β
=
−
− ξ
=
∑
                   (17) 
 
Пусть динамика этих переменных описываются следующими уравнениями: 
 
1
ij
ij
i
j
z (t)
(t)e (t)e (t),
−
= α
&
                                                         (18) 
 
1
ij
ij
j
i
(t)
(t)x (t)e (t),
−
η
= γ
&
                                                         (19)   
1
i
i
i
(t)
(t)e (t),
−
β
= ϕ
&
                    i, j 1, n
=
                                (20) 
 
где 
ij
ij
i
(t), (t), (t)
α
γ
ϕ
 - функции-параметры, которые должны определяться так, чтобы 
выполнялись условия (8). 
С учетом соотношений (17), (18), (19) и (20) выражения (16) для 
i
J (t) можно записать 
в виде 
0
0
0
t
t
n
n
i
ij
ij
ij
ij
ij
ij
j 1
j 1
t
t
t
i
i
i
t
J (t)
( )z ( )z ( )d
( ) ( ) ( ) d
( ) ( ) ( )d ,
i 1, n.
=
=
=
α τ
τ
τ τ +
γ τ η τ η τ τ +
+ ϕ τ β τ β τ τ
=
∑
∑
∫
∫
∫
&
&
&
                          (21) 
Теперь  предположим,  что  выбор  функций  параметров   
ij
ij
(t), (t)
α
γ
  и 
i
(t)
β
 
осуществляется по алгоритму: 
ij
ij
i
*
ij
ij
ij
*
ij
ij
ij
*
i
i
i
(t)
si gn[z (t) z (t)],
(t)
si gn[ (t)
(t)],
(t)
si gn[ (t) (t)],
i, j 1, n,
α
= α
γ
= γ
η
η
ϕ
= ϕ
β
β
=
&
&
&
                              (22) 
 
где  
*
*
*
ij
ij
ij
, ,
α γ ϕ
 - вещественные числа, подлежащие определению. С учетом выражений (22) 
критериальные функции 
i
J (t)  имеют вид 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
 
132
0
0
0
t
t
n
n
*
*
i
ij
ij
ij
ij
ij
ij
j 1
j 1
t
t
t
*
ij
ij
ij
t
J (t)
z ( )z ( )d
( ) ( )d
( ) ( )d ,
i 1, n.
=
=
=
α
τ
τ τ +
γ
η τ η τ τ +
+ ϕ β τ β τ τ
=
∑
∑
∫
∫
∫
&
&
&
                               (23) 
 
Простой  анализ  выражений (23) показывает,  что  выбор  параметров 
ij
*
α , 
ij
*
γ , 
i
*
ϕ
, 
удовлетворяющих неравенствам 
ij
*
0
α < ,      
ij
*
0
γ < ,      
i
*
0
ϕ <
,                i, j 1, n
=
,                         (24) 
 
обеспечивает выполнение условий (8), а следовательно, соотношений (9), т.е. стремление 
ошибок управления  e
i
(t) к нулю.  
Следует  отметить,  что  техническая  или  программная  реализация  функций-
параметров 
ij
ij
i
(t), (t), (t)
α
γ
ϕ
,  определяемых  формулами (22), представляется  сложной 
проблемой. В связи с этим исследуем возможность получения эквивалентных алгоритмов 
их  вычисления.  Для  этой  цели  рассмотрим  следующие  соотношения,  справедливость 
которых нетрудно показать /8/: 
0
t
2
2
ij
ij
ij
ij
0
t
z ( ) z ( )d
0,5[z (t) z (t )]
τ
τ τ =
−
∫
&
,            i, j 1, n
=
.                 (25)   
 
Аналогичные равенства имеют место и для функций 
ij
i
(t), (t)
η
β
. Теперь рассмотрим 
ситуацию,  когда  текущий  момент  времени t находится  в  непосредственной  близости  от 
момента 
0
t , т.е. 
[
)
0
t
t
t, t
∈ − Δ
, где 
t
Δ
 - достаточно малый отрезок времени (малое время 
запаздывания). В этом случае соотношения (25) с достаточно высокой точностью можно 
аппроксимировать следующими равенствами: 
2
2
ij
ij
ij
ij
0
z (t)z (t) t 0,5[z (t) z (t )]
Δ ≈
−
&
,              i, j 1, n
=
.            (26) 
 
Отсюда  видно,  что  при  достаточно  малом 
t 0
Δ >
  знаки  функций,  входящих  в  левые  и 
правые части выражений (26), совпадают: 
2
2
ij
ij
ij
ij
0
sign z (t) z (t)
sign[z (t) z (t )]
⎡
⎤ =
−
⎣
⎦
&
,             i 1, n
=
.          (27) 
 
Аналогичные соотношения справедливы и для функций 
ij
i
(t), (t)
η
β
,  i 1, n
=
.  В результате 
формулы (22) для  вычисления  искомых  функций-параметров  можно  заменить 
следующими эквивалентными формулами: 
ij
ij
i
*
2
2
ij
ij
ij
0
*
2
2
ij
ij
ij
0
*
2
2
i
i
i
0
(t)
sign z (t) z (t ) ,
(t)
sign
(t)
(t ) ,
(t)
sign
(t)
(t ) ,
i, j 1, n.
⎡
⎤
α
= α
−
⎣
⎦
⎡
⎤
γ
= γ
η
− η
⎣
⎦
⎡
⎤
ϕ
= ϕ
β
−β
=
⎣
⎦
               (28) 
 
Теперь  получим  уравнения  самонастройки  параметров  искомого  адаптивного 
регулятора.  Для  этой  цели  продифференцируем  левые  и  правые  части  выражений (17) с 
учетом условий (2): 
i
ij
z (t)
p (t),
= −&
&
                                                           (29) 
ij
ij
(t)
k (t),
η
= −&
&
                                                          (30) 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
 
133
r
*
i
i
i
1
(t)
d g (t) u (t),
i, j 1, n.
ν ν
ν=
β
=
−
=
∑
&
&
&
                (31) 
Сравнение соотношений (18), (19), (20) и (29), (30), (31) дает следующие уравнения 
адаптации параметров регулятора: 
 
1
ij
ij
i
j
p (t)
e (t)e (t),
−
= −α
&
                                                (32) 
1
ij
ij
i
j
k (t)
e (t)x (t),
−
= −γ
&
                                                (33)   
r
*
1
i
i
i
i
1
u (t)
e (t)
d g (t),
i, j 1, n.
−
ν ν
ν=
= ϕ
−
=
∑
&
&
             (34) 
 
В  результате  алгоритм  синтеза  адаптивного  регулятора  для  объекта  управления, 
динамика  которого  описывается  векторным  уравнением (1), включает  выполнение 
следующих основных  операций. 
Шаг 1. Задание  модели  объекта  управления  векторным  уравнением (1) в 
пространстве состояний. 
Шаг 2.  Задание эталонной модели замкнутой системы управления в форме (3). 
Шаг 3.   Выбор  показателя  оценки  качества  системы  управления  в  виде 
критериальных соотношений (8). 
Шаг 4.   Задание структуры закона адаптивного управления в виде (14). 
Шаг 5.   Формирование  уравнений  самонастройки (32), (33), (34) параметров 
регулятора
.
                              
 
 
Выводы        
На основе предложенного критерия качества автоматической системы синтезирован 
адаптивный  регулятор,  обеспечивающий  достижение  цели  управления  в  условиях 
неопределенности. 
ЛИТЕРАТУРА 
 
1.  Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М., Наука, 1968, 198 с. 
2.  Фомин  В.Н.,  Фрадков  А.Л.,  Якубович  В.А.  Адаптивное  управление  динамическими 
объектами. М., Наука, 1982, 124 с. 
3.  Справочник  по  теории  автоматического  управления  /Под  ред.  А.А.Красовского.  М., 
Наука, 1987, 712 с. 
4.  Громыко  В.Д.,  Санковский  Е.А.  Самонастраивающиеся    системы  с  моделью.  М., 
Энергия, 1974, 80 с. 
5.  Тимофеев А.В. Построение адаптивных систем управления программным движением. Л., 
Энергия, 1980, 88 с.  
6.  Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. М., Высшая школа, 1989, 263 с. 
7.  Солодовников  В.В.  Критерий  качества  регулирования //ДАН  СССР.  Новая  серия. 1948, 
т.6, с. 977-980. 
8.  Оморов  Т.Т.  Принцип  гарантируемой  динамики  в  теории  систем  управления.  Кн.1. 
Синтез линейных автоматических систем. Бишкек, Илим, 2001, 150 с. 
9.  Оморов  Т.Т.,  Курманалиева  Р.Н.  Многокритериальный  синтез  систем  управления  по 
показателям качества и сложности. Бишкек, Илим, 2007, 136 с. 
10. Кожекова  Г.А.,  Оморов  Т.Т.  Идентификация  передаточной  функции  динамической 
системы на основе концепции настраиваемой модели //Шымкент,  Научный мир Казахстана, 2008, 
№2, с.56-60. 
 
 
 
 
 

жүктеу/скачать 5,31 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: