ІІ-ТАРАУ. Бастауыш мектепте математика пәнінде ақпараттық технологияларды пайдаланудың тәжірибесі

Оқыту әдістемесі

Математиканы оқыту не үшін қажет?

Жалпы білім беру саласының алдына қойылған мақсат ең алдымен, бірінші кезекте математикалык білім беру сапасын арттыру мәселелеріне келіп тірелетіні баршаға анық. Оны Еуропалык Кеңестің орта білім беру саласы бойынша берген нұсқауларынан, окушылардың тіл байлықтарының калыптасуына басты көңіл аудара отырып, олардың біліктіліктеріне мы-надай талаптар койғандығынан көруге болады: 1) Топпен бірге шешім қабылдай білу; 2) қақтығыстарды бейбіт жолмен шеше білу; 3) ерекшеліктерді (оқшаулықтарды) қабылдай білу; 4) өзге мәдениет, дін өкілдерімен өмір сүре білу; 5) тілдесе білу, қарым-қатынас жасай білу; 6) «математикалық тілде» тілдесе білу; 7) ақпараттарга сыни көзқарастарын қалыптастыру; 8) үнемі дайындықтың тұрақты базасы ретінде тір бойы оқып үйрену бейімділігі болуы; 9) «математикалық тілді» меңгере білу қабілетінің болуы. Олай болса, ежелгі замандардан-ақ, Евклидтің «... геометрияда патшалар жүретін жол жоқ!» — деген нақты сөздерінен бастау алатын, математикалық білім мен біліктілік сапасын арттыру мәселелері бүкіл әлем математиктерін толғандырып келетін өте күрделі және аумақты мәселе. Бұл мәселені шешу жолдарын бір макала көлемінде ашып көрсету мүмкін емес. Сондықтан, аталмыш мәселені мынадай жақтарынан қарастырып көрелік: математиканы оқыту қажеттілігі және оны оқыту мөлшері.

а) Математиканы оқыту не үшін қажет ?

Математика сөзі грек тілінде білім, ғылым деген мағынаны білдіреді. Олай болса ежелгі замандардан-ақ математикалық біліктілікті ғалымдықтың жоғары дәрежесі ретінде қабылдаған. Әрине, бұл жәйт математиктерге жылышұрайлы болып керінгенімен, математикалық білім беру саласына кері әсерін тигізгені сөзсіз, өйткені математиканың жалпыға бірдей түсінікті бола бермейтінін ақтағандай, сылтау болып келді. Ертеректен-ақ балалар мен ересектердің кемшілігі математиканы өте қиын, қызықсыз және меңгерілмейтін ғылым ретінде карастырып, оны тек физикалық, астрономиялық, инженерлік және т.с.с. есептерді шешуге ғана қажет, ал көпшілік математикасыз да күн кеше алады деп есептеген. Осы күндері де жұртшылықтың көпшілігі, ашық айтпаса да тап осылай ойлайтыны анық. Оған жоғары оқу орындарына қабылдаудың кешенді тестілеуіне гуманитар-лық саладағы мамандықтарға математиканы енгізбеу жөніндегі қарсы пікірлер айғақ бола алады. Көпшіліктің бұл пікірі «негізсіз» емес. Мысалы, күнделікті өмірде бірде-бір бухгалтердің өз қызметін атқару барысында қайсыбір функцияның туындысын есептегенін, немесе түрлі математикалық теңдеулерді және өзге математикалык есептерді шешкенін көрмеппіз. Бір қарағанда оларға математикадан бар керегі — ол рационал сандарға арифметикалык амалдар қолдана білу ғана (оның өзі осы таңда компьютер, немесе калькулятор көмегімен орындалады). Сондықтан да: «Баланың басын қатыратын осы математиканың не кажеті бар екен? Бағдарламаны қиындата бергенше оқушыларға сандарды және оларға қолданылатын амалдарды, тапқан табысын есептеуге қажетті деңгейде үйретсе жеткілікті емес пе?» — деген пікірлерді, өкінішке орай талай естіп жүрміз.

Онда, мынадай сұракқа жауап іздестіріп көрелік: «Математиканы жалпыға бірдей, министрлік бекіткен мемлекетгік стандарт келемінде окып үйрету кажет пе?»

Ежелгі замандардан бері математиканың алар орны, оның ғылым мен техниканың қарқынды дамуына қосар үлесі, жас жеткіншектерді тәрбиелеудегі маңыздылығы аз айтылған жоқ. Дегенмен, әрбір адамның интелектуальдық мәдениет деңгейіне байланысты, жоғарыда келтірілгендей, математиканың қажеттілігі жөніндегі сұрактар да аз туындамайтынын жасыра алмаймыз. Олай болса, ең алдымен мектептегі математиканы оқытудың негізгі мақсаттарына тоқталайық:

• Математика — ғылым болмысынан балама ұғымдар. Сондықтан да математика барлық ғылымдардың логикалық негізі — күре тамыры ретінде қарастырылады;

• Математика, ең алдымен оқушылардың дұрыс ойлау мәдениетін қалыптастырады, дамытады және оны шыңдай түседі;

• «Математикалық тілде» тілдесу (ауызша және жазбаша) қабілетін қалыптастыру арқылы оқушыньщ «сөз коммуникациясын», яғни сөйлеу мәдениетін дамытады;

• Математика әлемде болып жатқан түрлі құбылыстарды, жаңалықтарды дұрыс қабылдап, түсінуге көмектеседі;

• Математиканың болашақ тұлғаны моральдық, эстетикалық және этикалық тұрғыдан да тәрбиелік мәні бар.

Математиканың жас өспірімдердің мүлтіксіз және заңдылықты жүйемен ойлау қабілетін тәрбиелеудегі алар орны мен ролін белгілі дәрежеде жұртшылықтың мойындағаны белгілі. Математикалық білім беруде оқушының дұрыс ойлау мәдениетін қалыптастырып, оны дамыту барысында атқаратын ең басты міндеті ретінде тәрбиеленушіге дәйекті аргумента-циясының толыққандылығын уағыздау, ұғындыру және оның бойына сіңіру болып табылады. Мәселен, күнделікті тұрмыста кездесетін (ғылыми емес) ымырасыз пікір таластарда біз өзіміздің көқарасымызды жақтау үшін әдетте бір-екі дәйектеме келтірумен шектелеміз. Қарсыласымыз да біздің пікірімізге қарсы бірнеше дәйектемелерін алға тартады. Дегенмен, қарсыластардың келтірген дәйектемелері мәселені толық шешпей, пікірталаска қатысушылар өзге дәйектер іздестіре бастайды. Сөйтіп, пікірталас жалғаса береді. Ғылымның көптеген езге салаларында, мәселен гуманитарлык сала-ларындағы ғылыми пікірталастар да шамамен осы көрсетілген үлгі бойынша өрбиді, тек мұнда келтірілген дәйектемелер арнасы жіңішкелеу, әдетте то-лығырақ болып келеді. Дегенмен, бұл дәйектерді барлық мүмкін жағдайларда мәселені толық шешетіндей, ешбір күмән туғызбайтындай, енді қайтып бұл мәселе төңірегінде пікірталастар болдырмайтындай етіп келтіру мүмкін бола бермейді. Ал математикада жағдай мүлде өзгеше. Мұнда абсолютты толық емес, аз да болса күмәндылыққа жол алдыратын дәйектемелерді қате ретінде қарастырып, оны қабылдамайды. Математиканы оқып үйрену барысында, мысалы, 2-сыныптан бастап оқушы алғаш рет осындай, дәйектемелерге деген катаң талаппен танысады. Бұл математикалық қатандық алғашында оқушыны таң калдырады, сескендіріп, оны өзінен шеттете бастайды. Осы қатандық оқушы үшін шектен тыс қазбалаушылық болып, қажетсіз дүние боп көрінеді. Менің ойымша, 2 сыныптан бастап, яғни математикалық дәйектемелерге деген талаптары жүзеге аса бастағаннан бастап төменгі сыныптарда тек «5»-ке окып келе жатқан оқушылардың көпшілігінің математикалық үлгерімі «4»-ке, ал кейде «қарсылық» ретінде «3-2»-ге құлдырап кетеді. Басқаша айтканда, төменгі сыныптардағы дарынды оқушылардың (олардың үлесі 20% болатыны дәлелденген) басым көпшілігін тап осы кезден бастап «жоғалта» бастаймыз. Олай болса, осындай ұғынбаушылық, жете түсінбеушілік туындаған сайын мұғалім шәкірттеріне математикалық теория, анықтама, теорема, дәлелдеу сиякты категориялардың мәнін ашып, оны ұғындырудан жалықпауы қажет. Барлык оқушылар бірдей дәрежеде, бір-екі рет түсіндіргеннен бұл күрделі, аса маңызды категориялардың мәнін, мағынасын бірден ұғына қоймайды. Мұны түсіндіруге арнайы сабақтар арнауға болмайды, өйткені ондай арнайы сабақтар өз максатына, көздеген нәтижесіне жете алмайды және жетуі мүмкін емес. Мұндай әңгіменің әсерлілігі, ұғынымдылығы кажетті ситуациялар туындағанда ғана болады және олар 2-3 минуттық, әрі кетсе 5 минуттық көлемде болса жеткілікті. Жақсы, білікті

ұстаз көрсетілген процестің әрі тезірек, әрі нәтижелі аяқталуына кеп үлес коса алады. Өз оқушыларын пікірталасқа, бір-біріне сын айтуға баулиды. Мәселен, бір оқушы сынып алдында дәлелдеме жүргізіп, немесе қандай да бір есеп шығарып жатса, өзгелері оның дәйектемелерінен ақау іздестіріп, тапқан қателіктерін, күмәндерін жылдам айтуға тырысады. Мұндай күмәндерге дәйекті жауап бере білген, өз сыншыларының «ауыздарына құм кұйған» оқушы өзін жеңімпаз сезініп шаттықка кенеледі. Мұнда оқушы толыққанды логикалық (қисынды) дәйектеме өз жеңісінің басты қаруы болғанын сезіне бастайды. Олай болса, оқушы бұл каруды сыйлап, оның үнемі өзімен бірге жүргенін қалайды. Әрине ол ендігі жерде тек математикада ғана емес, өзге де пікірталастарда келтірілген дәйектемелердің толықканды болуына тырысады. Бұл қару болашақ тұлғаның, қай салада қызымет аткаруына тәуелсіз (саясаткер болса да, гуманитарлық маман иесі болса да), алдағы тұрмыс тіршілігіндегі іс-әрекеттеріне таптырмайтын қару болып табылады. Сондықтан да математика сабағында өзге сабақтармен салыстырғанда окушылардың ойлау қабілеті мен мәдениетін тәрбиелеу үлесі анағұрлым жоғары денгейде болады және осылай болуы да қажет. Орыстың атақты математигі А. Я. Хин-чин (Математика в школе, №4, 1995, 3-8 бет) математика сабактарының оқушының ойлау мәдениетін қалыптастырудағы алар орнын айта отырып, дәйектеме толықтығы принциптерінің формаларын ашып көрсеткен:

• Заңсыз жалпыламалар жасамау;

• Негізделмеген ұқсастықтарға жол бермеу;

• Сүрыптаудың толықтыгы мен үстанымдылығы. Ғалым бұл еңбегінде математиканың логикалық ой қорытындыларына, тұжырымдарына койылатын ерекше қатаң талаптармен бірге, онын мектепте оқылатын өзге ғылымдармен салыстырғанда өзіндік, ерекше ойлау стилі бар екенін атап өткен. Ол математикалық ойлау стилінің ерекшелігі — ол қысқа-нұсқалық (локанизм), мақсатымызға тез жетудің ең кысқа логикалык. жолын іздестіруге саналы түрде тырысу; дәйектеменің мүлтіксіз толыққанды болуы-на абсолютты кажет емес деректерді аяусыз алып тастау екенін айта келіп: «Жаксы стильдегі математикалық шығармалар көп «суды» қаламайды, ешбір әсерлеуді, қисындылықты жеңілдету мақсатындағы көпсөзділікті, тақырыптан ауытқуды мүлде жоққа шығарады; ойдың және оны баяндаудың шектік сарандығы, өте қатандығы математикалық ойлаудың ажырамас бөлігі болып табылады. Оның бұл жағы математикалық емес әрбір маңызды ой талдаулар үшін өте кұнды; қысқа-нұсқалық және ешбір артықтықты болдырмау ойлаушының өзіне де, оның оқушысы мен тындаушысына да берілген ой желісіне көңіл коюға жанама елестерге алаңдамай, негізгі ой өрісі бағытын ұстануға көмектеседі» — деп көрсеткен.

Осы танда дүние танымдылыкты және сыни ойлау қабілетін қалыптастыруда, математикалық модельдеу идеяларын сезінуде, математикалық тілді жалпы әлемдік тіл ретінде меңгеруде математикалық білім мен біліктіліктің алар орны ерекше. Математикалық сөйлеу мәдениетіне, қоршаған ортаны және олардың зандылықтарын баяндау, оны оқып үйренудің оқушылардың дүниенің ғылыми бейнесін меңгерудегі басты кұралы ретінде ерекше көңіл бөлу кажет. Математикалық тілді оқушылардың математикалық тексті оқуына, жазуына және қайта айтып беруіне, жазылғандар мен айтылғандарды түсіне білуіне ең минимальды талап ретінде қарау қажет. Сонымен, математикалық біліктіктердің негізгі кұрамдас бөлігі, толыкқанды тіршілік жасауға қажеттілік ретінде оны арнайы, бағдарлы түрде дамытып, қалыптастыру керек. Математикалық сөйлеу қабілетін дамыту математика сабақтарында оқушылардың келесі қабілеттері мен бейімділіктерін шыңдай түсуді меңзейді.

• Тақырыптағы, текстегі басты ойды бөліп көрсете білу және оған жоспар құра білу;

• Материалдарды қисынды (мағыналылык) топтай, конспект жүргізе және рецензиялай білу;

• Математикалық терминалогияларды түсіне, қолдана және негіздей білу;

• Ұғымдардың, түсініктердің өзге ұғымдар жүйесіндегі орнын және түсініктер иерархиясын тұргыза білу;

• Ауызша және жазбаша математикалык, тілде сөйлеуді меңгеру, математикалық символдар мен белгілеулерді дұрыс қолдана білу;

■ өз ойын тез жеткізе білу және ассоциацияларды таба білу;

•Анықтама, теоремамен сөйлемдерді қайта түжырымдай білу, ойын көрнекілей білу және т.с.с.

Өзіндік ойлау және сыни ойлау қабілетін, сөздің кисындылығын дамытуда мұғалімдер сабақтардың мынадай түрлерін қолданғаны ұтымды: есепті шығару жоспарын жазу; шешудің ең тиімді жолдарын іздестіру; орындалған жұмысқа талдау жасау; жұмыстардың қателіктерін табу және т.с.с.

Математикалык тілдің дамуы оқушынын жалпы сөйлеу мәдениетін дамытып, қазіргі қоғамда тұлғаның ұтымды сөйлеу коммуникацияларын қалыптас-тырады. Осыған қоса, көп жылғы іс-тәжірибе көрсеткендей, математикалық білімнің меңгерілуі мен үйретілуі, оқытылуы дәрежесі жоғары болған сайын, оның жас өспірімдердің бойында адамгершілік кейіптегі жағымды із қалдырарлықтай бірқатар жақтары бар:

• Адамгершілік пен шыншылдық;

• Өжеттілік пен ермінезділік;

• Шығармашылық пен еңбекқорлық.

Бұл қасиеттер, әсіресе педагог мамандарды қызықтырып, бір мезетке де оны назарларынан тыс қалдырмайтыны сөзсіз. Көп жылғы іс-тәжірибеден осы қасиеттердің оқушыларға математикалық сабақтар әсерінен даритынын байқап та жүрміз. Бұл сабақтар нәтижесінде оқушылар өз бойларынан біртіндеп, ойлау заңдылықтарын өзінің жеке басы пайдасына бағындырып, өзіне ғана пайдалының барлығын теориялық түрғьсыан қорғаштау сияқты ұсақ мещандық дағдыдан арылады. Дәйектеменің объективті ете жоғары рухани және мәдени құндылық ретінде сыйлау және ол үшін жеке басы пайдасын жиі әрі барған сайын жеңіл құрбан ету сияқты моральдық тұрғыдан өрлеу процестері жүріп жатады. Шектік шыңына жеткен бұл қасиет тұлғаның адамгершілік кейпін безендіретін — адамгершілік пен шыншылдық болып табылады. Әрине бұдан мектепте оқылатын әдебиет, тарих және өзге гумани-тарлық пәндер мен жаратылыстану пәндерінің осы қасиеттерді тәрбиелеудегі қосар үлестерін, алар орындары математикамен салыстырғанда кенжелеу деген түсінік туындамауы қажет. Сондықтан, осындай түсінбеушіліктерді болдырмас үшін мәселені жан-жақты ашыңқырап көрсету кажеттілігі туындап отыр.

Мәселен, тапсырма тарихи, немесе әдеби шығармашылық мазмұнда болса, онда оның түпкілікті аяқталуы моментін көрсету мүмкін емес. Мұнда оны әртүрлі жүйелі түрде жаңартып, жетілдіру мүмкіндіктері сан алуан. Екінші жағынан, мұнда өз еңбектерін бағалауда оқушылар жеткілікті дәрежеде сенімділік таныта алмайды. Өзінің тиімді жазылды деп ойлаған шығармасына мұғалім тарапынан мүлде өзгеше бағалануы мүмкін. Бұл берілген тапсырма орындалуы мен оның сапасының бағалануының анықталмағандығы, көмескілігі жете шыңдала қоймаған жастардың еріктік талпынысына бәсеңдік кейіп тәрбиелеуі мүмкін. Ал математикадағы жағдай мүлде өзгеше. Егер тапсырма ретінде есеп шығару, немесе теореманы дәлелдеу кажет болса, онда тапсырма орындалуы моментін айқын көрсетуге болады: есеп шығарылды, немесе теорема дәлелденді. Мұнда жұмыс екі жақтан да бірдей бағаланады. Нәтиже көрсеткішінің айқын анықтығы оқушы бойынан өжеттік пен қайсарлық сияқты ерекшеліктер тәрбиелеуге ерекше оңтайлы жағдай туындайды.

Математикалық тапсырмалардың тағы бір тереңірек және маңыздырақ жағы — оның барлығына дерлік тән шығармашылық сипатын атап өту қажет. Өзге салалардың басым көпшілігіндегі тапсырмаларды орындау барысында оқушыдан белгілі дәрежеде білімі мен бейімділігі ғана қажет. Ал математика-лық есептерді шешу, әдетте, оқушыдан есептің шешуіне керекті арнайы тәсілдерді ойлап табуды, яғни оған шығармашылық, ізденушілік сипаты бар математикалық тапсырмаларға оқушының қарыштаушы және нығаюшы интелектісінің жас күштері талпынатыны анық. Шығармашылық табыстың тәтті дәмін бір татқан адам оны тағы да тату үшін өз күші мен жігерін аямайды. Оны ешбір қиындық тоқтата алмайды, оның күш-жігері, шыдамдылығы мен ұстанымдылығы кездескен кедергілерді жеңуге бағытта-лады және әрбір жеткен жетістіктерімен нығая түседі. Ал қателіктер, сәтсіздіктер мен жеңілістері оны шынайы күрескер ретінде карсы алуға, берілмеуге үйретіп, олардан жаңа ойлар мен жігерлікке шабыт алып отырады. Сондықтан да математика сабақтары оқушыларды қажымай еңбек ете білу дағдысын, карастырылатын такырыптың басты, өзекті мәселелерін бөліп алып, оларға аса мұкияттылықпен зейін қоя білу бейімділіктерін калыптастырады. Жалпы, өз іс-әрекетін ұйымдастыра білген, еңбек ете білу дағдысы калыптасқан оқушылар, ең нашар дегенде математикалық үлгерімдері «3»-тен төмен болмайды. Мұнда 3-тік бағамен математиканы оқушылық және алгоритмдік деңгейде меңгерген оқушының білімін бағалап отырмыз. Іс жүзінде, журнал бетіне мұндай оқушыларға көтермелеп «4-5» деген бағалар қойылады. Керісінше, егер оқушы математиканы толық «3»-ке (оқушылық және алгоритмдік деңгейде) оқи алатын болса, онда бұл оқушының өзге пәндерден жақсы және озық үлгідегі үлгерім көрсеткіштеріне ие болатыны көп жылғы іс-тәжірибелерден жаксы білеміз.

ә) Математиканы қандап мөлшерде оқыту қажет?

Жас шамасына байланысты, окушылардың осы кезеңдегі физиологиялык ерекшеліктері (ойын баласы да емес, бозбала да емес шақтары) салдарынан олардың ұзақ мерзімді зейін қойып тындай білу, оқи және жаза білу бейімділіктері тым төмен деңгейде болады. Сондықтан және аптасына 2 рет алгебра және 2 рет геометрия пәндерінен сәйкес са-бақтардың арасы кемінде 3-4 күн болғандықтан, оқушылар бір сабақта өтілген, түсіндірілген материалдарды келесі сабакка дейін естеріне сактай алмай, үй тапсырмаларын орындамауды (түсінбегендіктен) дағдыға айналдыра бастайды және оған көпшілігінің еттері де үйрене бастайды. Мұндай оқушылар өзге оқушылардың үлгерімдеріне де кері тартпа әсер етеді.

Көптеген, осы күндері уағыздалып жүрген, оқытудың озық технологиялары (оның ішінде компьютерді кеңінен қолданатын иновация-лық технологиялар да бар) оқушының әртүрлі дәрежеде өз бетінше білімін жетілдірулері меңзелген. Өзге көптеген пәндер бойынша бұл тәсілдерді қолдану нәтижелері жемісті боларына күмәніміз жок. Ал математикада жағдай мүлде өзгеше. Ешбір оқушы (қаншалықты дарын иесі болса да), жеткілікті дәрежеде тәжірибелі мұғалімнің, немесе өзге біліктілер көмегінсіз математиканы өз бетінше меңгере алмайтыны көп жылғы іс-тәжірибеден белгілі. Оқушы математиканы өз бетінше меңгеруі үшін ол алдымен өтілген тақырыптар бойынша мындаған есептер мен жаттығуларды өз бетінше шығарып, жеткілікті дәрежеде есептер шығару техникасын калыптастыруы кажет. Сонда ғана бұл оқушы келесі такырыпты өз бетінше меңгеруге дайын болады, пісіп жетіледі. Егер сыныпта мұндай оқушы бар болса, ол түрлі математикалык олимпиадалардың жеңімпазы болары айдан анык. Ал білікті ұстаздың ролі — осы көрсетілген біліктіліктің шындалуына қажетті ұзақ мерзімді анағұрлым қыскартуға септігін тигізеді. Дегенмен, ұстаз қаншалыкты жаңашыл-әдіскер болғанымен де оның оқушылары берілген такырып бойынша белгілі көлемде типтік есептердің түр-түрінен шығарып, жеткілікті дәрежеде машықтанбайынша олардың келесі тақырыпты толыққанды берік, ұзак мерзімге меңгеруі мүмкін емес. Бұл жас өспірім-дердің ойлау мәдениеттерінің калыптасуының табиғи кұбылысы, заңдылығы. Асығыстық танытып, әйгілі «Еуропаны шарлай, шапқылап өту» сиякты кейіппен бұл табиғи процесті орынсыз тым жылдамдату іс-әрекеті күні бұрын түзетілмес сәтсіздікке соқтыратыны ақиқат.

Кейбір оқушылардың: «Мен математиканы түсінбеймін, қанша оқысам да миыма қонбайды» — дейтінін біздер — мұғалімдер жиі еститін сөздің шығу төркінінің кейбір жактарына тоқталайық. Жалпы, менің ойымша, егер баланын акыл-есі, психикасы дұрыс болса, онда оның алгоритмдік деңгейде (бұл тестік бакылаудан «4» алуға жеткілікті) меңгермеуі мүмкін емес. Мұндай жағдайларда әлгі айтылған сөздің шығуына ең алдымен біздер — мүғалімдер кінәлі. Бір сәт көз алдарыңызға мынаны елестетіңіздер. Бөлмеге таза үстел қойып, бөлмені жауып кеттіңіз делік. Бірнеше күннен соң әлгі үстелдің бетін шаң басқанын көреміз. Оны сүртпей, экспериментті жалғастыра берсеңіз, үстел үстіндегі шаң еселеніп, бірте-бірте шаңнан үстелдің түсін айыра алмай қалатын жағдайға жетесіз. Міне баланың математикалық біліктілігі де осыған ұқсайды. Айталық, оқушы кандай-да бір жаңа тақырыпты түрлі себептермен (мүғалімнің тиісті дәрежеде түсіндіре алмағандығынан, не сырқатына байланысты осы сабаққа келмегендігінен және т.с.с.) түсінбей қалды делік. Математиканың өзіндік ерекшеліктері — ол әрбір тақырыпта өтілгендерді келесі такырыпта, ал әрбір сыныпта өтілген материалдар келесі сыныптарда, жалпы математиканың кез келген деңгейінде қолданып жатады. Олай болса, әлгі оқушымыз енді келесі та-қырыпты да шала-шарпы түсінгендей, немесе мүлде түсінбей калады. Сөйтіп, бұл оқушының меңгере алмаған материалдары «қарлы кесек» секілді ұлғая-ұлғая, бастан асып, жоғарыда келтірілгендей сөздер айтуға мәжбүр болады. Ал көптеген оқушылар үшін мұндай сөздер өздерінің еңбек еткісі келмейтіндіктерінің сылтауы ғана. Олар үшін «шығара алмадым, түсінбедім» деген «үйде кітаптың бетін ашпадым» дегеннен гөрі тиімді. Бұл да «үстел бетіндегі шаң» қатарына қосылады. Мұның түрлерін ажырата білу және әрқайсысына әртүрлі дәрежеде шаралар қолдану білікті, кәсіби шеберлігі шындалған мұғалімнің ғана колынан келеді.