Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика
§ 17. Форма периодических колебаний и ее связь с гармо-
жүктеу/скачать 6,71 Mb. Pdf көрінісі
|
Ð Ð Ð½Ð Ñ Ð ÐµÑ Ð³ Ð Ð ÐÐ ÐµÐ¼ÐµÐ½Ñ Ð Ñ Ð½Ñ Ð¹ Ñ Ñ ÐµÐ
| § 17. Форма периодических колебаний и ее связь с гармо-
ническим составом этих колебаний. Можно теперь ответить на вопрос, поставленный в § 5: что означает отсутствие о п р е- д е л е н н о й ч а с т о т ы у негармонического периодического колебания периода T ? Согласно теореме Фурье такое периодическое колебание представляет собой набор гармонических колебаний и, следова- тельно, характеризуется не одной частотой, а н а б о р о м ч а- с т о т ν = 1/T , 2ν, 3ν и т. д., т. е. кратных наиболее низкой (основной) частоте ν. Рассмотрим осциллограммы колебаний, имеющих одинако- вый период T , но различных по своей форме. Пример таких ос- циллограмм мы имели на рис. 6, где было изображено несколько различных периодических колебаний одного и того же периода. По теореме Фурье каждое из этих колебаний является суммой гармонических колебаний, причем и основная частота ν = 1/T ,
Гл. I. Основные понятия. Механические колебания 45 и ее обертоны 2ν, 3ν и т. д. у всех рассматриваемых периодиче- ских колебаний одинаковы, так как одинаков период T . Но если частоты гармоник одни и те же, то с чем связано р а з л и ч и е ф о р м ы наших периодических колебаний? Попробуем выяснить этот вопрос на примерах сложения гар- монических колебаний. Это сложение осуществляется по общим правилам сложения движений (см. том I, § 6). Если складывае- мые перемещения происходят вдоль одной прямой, то результи- рующее перемещение равно алгебраической сумме складываемых перемещений. Отсюда вытекает и графический способ сложения колебаний, которым мы будем сейчас пользоваться. Рис. 30. Сумма гармонического колебания и его первого обертона На рис. 30 штриховой линией показаны развертки (осцил- лограммы) двух гармонических колебаний — основного тона и первого обертона. Прямая линия соответствует положению рав- новесия. В какой-то момент времени, т. е. в какой-то точке A этой прямой линии, имеем отрезки AB и AC, изображающие отклонения от положения равновесия, вызванные каждым из колебаний в этот момент. Сложив эти отрезки, мы получаем отрезок AD, изображающий результирующее отклонение в точ- ке A. Выполнив такое построение для ряда точек на прямой (с учетом знаков отклонений, т. е. плюс — вверх, минус — вниз), соединим концы всех результирующих отрезков линией. Мы получим развертку суммарного колебания (сплошная кривая на рисунке). Оно имеет тот же период, что и основная гармоника, но форма его несинусоидальна. Попробуем теперь вдвое уменьшить амплитуду обертона. Ре- зультат сложения в этом случае показан на рис. 31. На рис. 32
46 Гл. I. Основные понятия. Механические колебания амплитуды обеих гармоник те же, что и на рис. 30, но обертон сдвинут по времени на четверть своего периода. Наконец, на рис. 33 обе гармоники взяты такими же, как на рис. 30, но до- бавлен еще второй обертон. Во всех случаях результирующие колебания получаются с одним и тем же периодом, но совершен- но различными по форме. Рис. 31. То же, что на рис. 30, но амплитуда обертона вдвое меньше Итак, различие формы периодических колебаний связано
Рис. 32. То же, что на рис. 30, но обертон сдвинут на четверть своего периода Мы брали для простоты всего две или три складываемые гар- моники; но формы периодических колебаний могут быть (и чаще всего бывают) такими, что количество обертонов будет очень большим и даже бесконечно большим. При этом для всякой формы периодического колебания каждая его гармоника имеет вполне определенную амплитуду и фазу. Стоит изменить ампли- туду или фазу хотя бы одной-единственной гармоники, и форма Гл. I. Основные понятия. Механические колебания 47 результирующего периодического колебания в какой-то мере из- менится. Рис. 33. То же, что на рис. 30, но добавлен второй обертон Впрочем, очень часто изменения формы колебаний, обуслов- ленные ф а з а м и гармоник, т. е. их сдвигами по времени, не иг- рают роли в физическом явлении и поэтому не представляют интереса. Именно так, в частности, обстоит дело по отношению Рис. 34. Периодическое колебание в форме толчков и спектр такого колебания 48 Гл. I. Основные понятия. Механические колебания к звуковым колебаниям, к которым мы обратимся в следующих параграфах. В таких случаях нам важно знать лишь ч а с т ´ о т ы
и а м п л и т у д ы гармоник, входящих в состав данного сложно- го колебания. Набор этих частот и амплитуд называется гармо- ническим спектром (или просто спектром) данного колебания. Спектры можно изображать в виде очень наглядных графи- ков, откладывая в определенном масштабе по горизонтальной оси част´ оты (или номера) гармоник, а по вертикали — их ам- плитуды. На рис. 34 показана осциллограмма колебания, пред- ставляющего собой периодические выбросы в одну сторону. Так меняется со временем, например, действующая периодическими толчками сила. В нижней части рисунка показан спектр этого колебания. Положение каждой линии определяет номер соот- ветствующей гармоники и, следовательно, ее частоту, а высота линии — амплитуду этой гармоники. |