§ 49. Свободные колебания струны

126

Гл. V. Интерференция волн

Рис. 98. Прибор для исследования колебаний струны

Оттянув струну посередине и отпустив, мы возбудим в ней

колебание, изображенное на рис. 99, а. На концах струны полу-

чаются узлы, посередине — пучность

1

).

Рис. 99. Свободные колебания струны: а) с одной пучностью; б) с дву-

мя пучностями; в) с тремя пучностями

С помощью этого прибора, меняя массу груза, натягивающего

струну, и длину струны (перемещая добавочный зажим со сто-

роны закрепленного конца), нетрудно экспериментально устано-

вить, чем определяется собственная частота колебания струны.

Эти опыты показывают, что частота ν колебания струны прямо

пропорциональна корню квадратному из силы натяжения F стру-

ны и обратно пропорциональна длине l струны, т. е.

ν = k

√

F

l

.

Что касается коэффициента пропорциональности k, то он зави-

сит, как оказывается, только от плотности ρ того материала, из

которого сделана струна, и от толщины струны d, а именно он

1

) Такая форма колебания получается не мгновенно, но устанавливается

очень быстро.

Гл. V. Интерференция волн

127

равен 1/d

√

πρ . Таким образом, собственная частота

1

) колебаний

струны выражается формулой

ν =

1

ld



F

πρ

.

В струнных инструментах сила натяжения F создается, ко-

нечно, не подвешиванием грузов, а растягиванием струны при

накручивании одного из ее концов на вращающийся стерженек

(колок). Поворотом колка, т. е. изменением силы натяжения F ,

осуществляется и настройка струны на требуемую частоту.

Поступим теперь следующим образом. Оттянем о д н у п о-

л о в и н к у с т р у н ы в в е р х, а д р у г у ю — в н и з с та-

ким расчетом, чтобы средняя точка струны не сместилась. От-

пустив одновременно обе оттянутые точки струны (отстоящие от

концов струны на четверть ее длины), мы увидим, что в струне

возбудится колебание, имеющее, кроме двух узлов на концах,

еще у з е л п о с е р е д и н е (рис. 99, б) и, следовательно, две

пучности. При таком свободном колебании звук струны получа-

ется в два раза выше (на октаву выше, как принято говорить

в акустике), чем при предыдущем колебании с одной пучностью,

т. е. частота равна теперь 2ν. Струна как бы разделилась на две

более короткие струны, натяжение которых прежнее.

Можно возбудить далее колебание с двумя узлами, делящи-

ми струну на три равные части, т. е. колебание с тремя пучностя-

ми (рис. 99, в). Для этого нужно оттянуть струну в трех точках,

как показано стрелками на рис. 99, в. Частота этого колеба-

ния равна 3ν. Оттягивая струну в нескольких точках, трудно

получить колебания с еще б´

ольшим числом узлов и пучностей,

но такие колебания возможны. Их удается возбудить, например,

проводя по струне смычком в том месте, где должна получиться

пучность, и слегка придерживая пальцами ближайшие узловые

точки. Такие свободные колебания с четырьмя, пятью пучностя-

ми и т. д. имеют частоты 4ν, 5ν и т. д.

Итак, у струны имеется целый

н а б о р к о л е б а н и й

и соответственно целый н а б о р с о б с т в е н н ы х ч а с т о т ,

к р а т н ы х н а и б о л е е н и з к о й ч а с т о т е ν. Частота ν

называется основной, колебание с частотой ν называется основ-

ным тоном, а колебания с частотами 2ν, 3ν и т. д. — обертона-

ми (соответственно первым, вторым и т. д.).

1

) Если затухание невелико, то оно почти не влияет на частоту свободных

колебаний (§ 11). Поэтому мы говорим все время о с о б с т в е н н о й частоте,

т. е. о частоте идеальных, совсем незатухающих свободных колебаний.

128

Гл. V. Интерференция волн

В струнных музыкальных инструментах колебания струн воз-

буждаются либо щипком или рывком пластинкой (гитара, мандо-

лина), либо ударом молоточка (рояль), либо смычком (скрипка,

Рис. 100. Свободные колеба-

ния на частоте основного тона

и двух первых обертонов: а)

пластинки, зажатой в тиски;

б) камертона

виолончель). Струны совершают

при этом не одно какое-нибудь

из собственных колебаний, а сра-

зу несколько. Одной из причин

того, почему разные инструмен-

ты обладают различным т е м б-

р о м (§ 21), является как раз

то, что обертоны, сопровождаю-

щие основное колебание струны,

выражены у разных инструментов

в неодинаковой степени. (Другие

причины различия тембра связаны

с устройством самого корпуса ин-

струмента — его формой, размера-

ми, жесткостью и т. п.)

Наличие целой совокупности

собственных колебаний и соот-

ветствующей совокупности соб-

ственных частот свойственно всем

упругим телам. Однако, в отличие

от случая колебания струны, ча-

стоты обертонов, вообще говоря,

не обязательно в целое число раз

выше основной частоты.

На

рис.

100

схематически

показано, как колеблются

при

основном колебании и двух бли-

жайших обертонах пластинка, за-

жатая в тиски, и камертон. Разу-

меется, на закрепленных местах всегда получаются узлы, а на

свободных концах — наибольшие амплитуды. Чем выше обертон,

тем больше число дополнительных узлов.

Говоря ранее об о д н о й собственной частоте упругих колебаний

тела, мы имели в виду его о с н о в н у ю частоту и попросту умал-

чивали о существовании более высоких собственных частот. Впрочем,

когда речь шла о колебаниях груза на пружине или о крутильных

колебаниях диска на проволоке, т. е. об упругих колебаниях систем,

у которых почти вся масса сосредоточена в одном месте (груз, диск),

а деформации и упругие силы — в другом (пружина, проволока), то

для такого выделения основной частоты имелись все основания. Дело

Гл. V. Интерференция волн

129

в том, что в таких случаях част´

оты обертонов, начиная уже с первого,

во много раз выше основной частоты, и поэтому в опытах с основным

колебанием обертоны практически не проявляются.

жүктеу/скачать 6,71 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: