Комбинаторика есептерін мектеп математика курсында шешу жолдары
жүктеу/скачать 206 Kb.
|
Макала комби
| Зерттеу нәтижесі:
Мектеп курсында ықтималдық теориясының элементтерінің кейбір тақырыптарын оқыту негізінен 5 сыныпта басталады. 5 сыныпқа 5 сағат, 7 сыныпқа 5сағат, 8 сыныпқа 5 сағат, 9 сыныпқа 6 сағат, 10 сыныппен 11 сыныпқа да 6 сағат уақыт бөлінген. Бір ерекшелігі барлық сыныптарда ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика тақырыптары 4 тоқсанда оқытылатындығында. Мектеп курсында ықтималдық – статистикалық материалмен танысу оның негізгі үш ұғымын: кездейсоқ тәжірибе, кездейсоқ оқиға, элементар нәтиже қарастырудан басталады. Онда оқушы кездейсоқ оқиға туралы жалпы түсінік алуы, оқиғалардың қайсысы ақиқат және қайсысы мүмкін емес екендігін ажырата білуді үйренуге тиіс. Содан соң нәтижесінде кез келген кездейсоқ оқиға пайда болатын кездейсоқ эксперимент ұғымы пайда болады. Оның мүмкін болатын нәтижелері туралы сөз қозғалады. Бұл ұғымдармен алғашқы танысу математикалық емес тілде жүргізіледі, сондықтан мұғалімнің негізгі міндеті олардың маңызды белгілерін түсіндіру болып табылады. Осы ұғымдармен танысудың нәтижесінде оқушы кездейсоқ және кездейсоқ емес тәжірибелерді ажырата білуі элементар оқиғаны (нәтиже) элементар емес оқиғадан айыра білуге үйренеді. Әсіресе нәтижелердің элементарлығын талқылауға аса көп көңіл бөлінуі қажет, себебі бұл белгіні түсінбеу ықтималдықты есептеуде қателікке ұшыратады. Бұл тараудың негізгі кезеңі оқиға мен экспериментті сөзбен сипаттаудан теориялық-жиындыққа көшу болып табылады. Мектепте білім берудің міндетті минимумына жиын теориясының элементар ұғымдары енгізілуі ол көшуді мүмкін етіп қана қоймай, сонымен қатар ықтималдықтар теориясы және негізгі теориялық-жиындық ұғымдар мен операцияларды бекітуге аса пайдалы етті. Осы кезеңде оқушылар мыналарды білуге тиіс: -белгілерді қолдана отырып тәжірибелердің барлық мүмкін болатын нәтижелерін атап шығу; -оқиғаны сөзбен сипаттаудан оған қолайлы нәтижелердің сәйкес жиынын құру; -нәтижелердің жиыны түрінде берілген оқиғадан оның сөздік сипаттамасына көшу Оқиғаларға амалдар қолдану және амалдардың қасиеттерін меңгеру оқушыларда ықтималдықтар теориясы курсының есептерін шығару дағдысын қалыптастыруда маңызы зор. Мектеп курсынан бір мысал келтірсек: Жәшікте бірдей 50 деталь (нәрсе) бар, оның 45-і жарамды, 5-уі жарамсыз. Контролер жәшіктен кез келген 10 детальды (іріктеме) алып тексереді. Егер осы алынған іріктеме ішінде жарамсыз деталь саны біреуден артық болмаса, онда жәшіктегі қалған детельдарды тексерместен жарамды деп қабылдайды. Бұлайша қабылдау ықтималдылығы неге тең Шешуі: Алынған 10 детальдың ішінде бірде-бір жарамсыз детель болмауы А оқиғасы болсын, тек бір жарамсыз деталь болуыВ оқиғасы болсын. А жәнеВоқиғалары үйлесімсіз. Олай болса, р(А+В) =р(А)+р(В) 50 детельдан 10 детальды С тәсілмен аламыз, бұл сынаулар саны n болады, яғни . Енді р(А) мен р(В) анықтайық. А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m = өйткені алынған 10 детальдың ішінде бірде-бір жарамсыз деталь жоқ. Олай болса, бұл 10 детальды ылғи жарамды детальдардан тәсілмен аламыз. Бұдан немесе 31% В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны өйткені алынған 10 детальдың біреуі жарамсыз да, қалған тоғыз жарамды. Жарамдысын барлық жарамдыдан тәсілмен алсақ, жарамсызды ылғи жарамсыздан тәсілмен аламыз. Оның әрбір жарамсызы қалған жарамды детальдармен комбинацияланып келеді, яғни болады. Демек, Ақырында, р(А+В) = немесе 74% Оқиғаларға қолданылатын амалдардан кейін комбинаторика элементтерімен таныстырған дұрыс. «Комбинаторика элементтері» тақырыбы теориялық және қолданбалық тұрғыдан кең мағыналы болғандықтан «Ықтималдықтар теориясы» тақырыбынан бұрын да оқытуға болады. Ықтималдықтар теориясының келесі негізгі ұғымы – ықтималдық. Бұл ұғымның да қалыптасуы «оқиға» ұғымын қалыптастырудағыдай жүргізіледі. Қазіргі кезде «оқиға ықтималдығының» статистикалық, аксиомалық, классикалық, субъективтік анықтамалары белгілі. Мектеп курсында оқиға ықтималдығының статистикалық анықтамасы беріледі. Кездейсоқ оқиғаның бір тәжірибе нәтижесінде пайда болатынын, немесе пайда болмайтынын алдын ала білу мүмкін болмағанымен, тәжірибені бірнеше рет қайталау барысында оның орындалуының белгілі бір заңдылығын байқауға болады. Бұл заңдылық оқушыларға таблица арқылы көрсетіліп, статистикалық тәсіл деп аталады. Мектеп оқулығында «оқиғаның ықтималдығы дегеніміз - оқиғаның пайда болу мүмкіндігін білдіретін сан» деген анықтама беріледі. Осы санды анықтау үшін «салыстырмалы жиілік» ұғымы енгізіледі. Қандай да бір тәжірибе n рет қайталансын. Сонда қарастырылып отырған А оқиғасы m рет орындалсын. санын А оқиғасының салыстырмалы жиілігі деп атайды. «Салыстырмалы жиілік» анықтамасын меңгеріп, осы ұғымды қалыптастыру үшін өмірден, өнеркәсіпбен, физика, химия, биология пәндерінен оқушыларға белгілі мысалдар қарастыру қажет. Мұндай мысалдарда қайталанған тәжірибе саны n=5, n=10, n=15 т.с.с болып келеді. Осындай аз көлемдегі ақырлы санды тәжірибелер барысында А оқиғасының орындалу саны m-ді есептеуге болады. Сонан cоң оқиғаның салыстырмалы жиілігі санын табамыз. Осы ұғымды меңгергеннен кейін тәжірибе саны n өте үлкен болатын жағдайды қарастырамыз. Мысал ретінде өнеркәсіп орнының өндірілген өнімінің сапасын тексеру нәтижесінің кестесін құрайық.
Бұл кестеден тәжірибенің саны неғұрлым көп болған сайын салыстырмалы жиілік 0,95 тұрақты санына жуықтайтынын көреміз. Сондықтан 0,95 саны осы оқиғаның пайда болу мүмкіндігін көрсетеді. Осы сан анықтама бойынша оқиғаның ықтималдығы болады. Мектеп оқулығында «Сол тұрақты саны А оқиғасының ықтималдығы деп аталады да Р(А) деп белгіленеді» деген анықтама берілген. Сонда саны әрі оқиғаның жиілігін, әрі ықтималдығын көрсетіп тұр. Ал осы екі ұғымның арасындағы үлкен айырмашылықты оқушыларға түсіндіру мұғалімнен үлкен әдістемелік шеберлікті талап етеді. Оқиға анықтамасын салыстырмалы жиілік арқылы бергеннен кейін, оның мынандай қасиеттерін оқушылар жеңіл меңгереді. 1. n рет тәжірибе жүргізгенде А оқиғасының орындалу саны болғандықтан салыстырмалы жиілік арақатынасын қанағаттандырады. Сондықтан болады, яғни оқиғаның ықтималдығы [0,1] сегментіндегі кез келген нақты санға тең бола алады. 2. n рет тәжірибе жүргізгенде ақиқат оқиға m=n рет орындалады. Сондықтан оның ықтималдығы Р(U)=1. 3. Дәл осылайша, мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы 0-ге тең екенін оқушы тез меңгереді. 4. Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын анықтағанда, тәжірибе қаншалықты көп жүргізілсе, оқиғаның жиілігі оның ықтималдығына соншалықты жақындайтынын мысалдар арқылы статистикалық тұрғыдан түсіндіру қажет. жүктеу/скачать 206 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|