Коммерциялық емес акционерлік қоғам
жүктеу/скачать 1,79 Mb. Pdf көрінісі
|
| Анықтама. Математикалық физика мәселесі дұрыс қойылған
(корректлі) деп аталады, егер шешімі 1) бар, 2) жалғыз, 3) орнықты, яғни шешім осы есептердің берілгендерімен үздіксіз байланысты болса. Егер есеп 1-3 шарттардың ең болмағанда біреуін қанағаттандырмаса, онда есеп дұрыс емес (корректлі емес) қойылған деп аталады. Коши есебі мен негізгі шекаралық есептерді қою, олардың физикалық интерпритациясы. Дербес туындылы теңдеулерде де бастапқы шарттар берілген есебін Коши есебі деп атайды. Математикалық физика теңдеулерінде бастапқы шарттарда әдетте t=0 деп алынады да уақыттың бастапқы моментінде физикалық процестің күйіне сәйкес келеді. Дербес туындылы теңдеулерде біріншіден, бастапқы шарттар стационарлық емес теңдеулер үшін беріледі - бұл толқындық теңдеулер және жылу өткізгіштік теңдеулері. Екіншіден, дербес туындылы теңдеулер үшін Коши есебінін жалғыз шешімі бар болады, егер тиісті теңдеу бүкіл түзу сызықта, немесе бүкіл жазықтықта, немесе бүкіл кеңістікте қарастырылса. Мысалы, бұл шексіз ішектің тербелісі туралы немесе шексіз стерженьде жылу тарату туралы есебі болса. Іс жүзінде олар мұндай есептерге өте ұзын ішек немесе өте ұзын стержень болған кезде келеді және ұштардан алыс орналасқан процестерге қызығушылық танытады да ұштардың әсері ескерілмейді. Егер, мысалы, ұзын сымды алып, оның ортасын сәл қозғалтсақ, онда толқындар сол жаққа және оңға қарай тарайды. Толқындар тек сымның ұштарына жетіп, шағылысқан кезде ғана сурет бұрмалана бастайды. Сондықтан, ұштардың әсерін ескерместен, біз шағылысқан толқындардың әсерін ескермейміз. Бастапқы шарттар. толқындық теңдеуі үшін екі бастапқы шарт беріледі: ,
. (6.5)
Олар басқаша былай жазылады: ,
.
(6.5) тің бірінші шарты ішектің бастапқы формасын (ішек нүктелерінің бастапқы ауытқұлары), ал екінші шарты – ішек нүктелерінің бастапқы жылдамдығын анықтайды. 30 жылу өткізгіштік теңдеуі үшін тек бір бастапқы шарт,
,
немесе басқаша жазылуы:
беріледі. Физикалық тұрғыдан алғанда, бұл стерженьнің бастапқы температурасы түрінде болатындығын білдіреді.
үлкен емес болса және ұштардың әсерін елемеуге болмаса, онда мұндай жағдайларда бастапқы шарттар есеп шешімін қамтамасыз етпейді. Сондықтан ұштарына шарттар қою керек болады. Олар шекаралық шарттар деп аталады. Ішектің тербеліс теңдеуі үшін шекаралық шарттар:
,
немесе олар былай жазылады ,
.
Бұл шарттар физикалық түрде ішектің ұштары бекітілгенін білдіреді, яғни кез келген уақытта x=0 және x=l ауытқулары нөлге тең. Ішектің ұштарында басқа да шарттарды қоюға болады, мысалы,
,
.
Мұндай жағдайлар келесі жағыдайда туындайды: ішектің ұштары тік бағыттағыштар бойымен үйкеліссіз қозғалады. Ішектің сол және оң жақ ұштарына әрекет ететін тік күштер
және
өрнектерімен анықталатындықтан, жоғарыда жазылған шарттар ішектің ұштарында ешқандай күш әрекет етпейтінін білдіреді, мұндағы - ішектің кернеуіне байланысты күш. Сондықтан мұндай шарттар бос ұштардың шарттары деп те аталады. Шекаралық шарттардың негізгі түрлері. Толқындық теңдеуі
үшін: 1. Бірінші текті шекаралық шарттар физикалық тұрғыдан үштарында тербеліс режимі берілгенің білдіреді:
,
.
2. Екінші текті шекаралық шарттар ұштарында күштер берілгендігіне сәйкес келеді:
, . 31 3. Үшінші текті шекаралық шарттар ұштардың серпімді бекітілуіне сәйкес келеді:
, .
Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін шекаралық шарттар толқындық теңдеумен бірдей, бірақ олардың физикалық мағынасы әртүрлі. Бірінші текті шарттар стерженьнің ұштарында температура берілгенің білдіреді, екінші текті шекаралық шарттар стерженьнің ұштарындағы жылу ағынын анықтайды (бұл шарттар ұштардың жылуөткізбейтін (оқшаулау) шарттары деп те аталады. Ал үшінші текті шекаралық шарттар Ньютон заңы бойынша стерженьнің ұштары арқылы қоршаған ортамен жылу алмасу болатын жағдайға сәйкес келеді.
Дифференциалдық теңдеу шеттік шарттармен бірге шеттік есепті құрайды. Айта кету керек, шеттік шарттарға шекаралық және бастапқы шарттар міндетті түрде кіруі қажет емес, егер шеттік шарттар тек бастапқы шарттардан тұрса, онда есеп Коши есебі деп аталады.
қамтыса, онда мұндай есептер аралас немесе бастапқы шеттік есептер деп аталады. Бұл есептер шеттік шарттар түріне байланысты да ерекшеленеді. Мысалы, - жылуөткізгіштік теңдеуінің бірінші шеттік есебінде бастапқы шарт және бірінші текті шекаралық шарттар болады; - толқындық теңдеудің бірінші шеттік есебінде екі бастапқы шарт және бірінші текті шекаралық шарттар бар; - толқын теңдеуі мен жылу өткізгіштік теңдеуі үшін екінші және үшінші шеттік есептер бірдей анықталады. Олар сәйкесінше екінші және үшінші текті шекаралық шарттарды қамтиды. Тек шекаралық шарттар қатысатын шеттік есептер стационарлық теңдеулер үшін қарастырылады. Математикалық физиканың шеттік есептерінің типтері: Дирихле шеттік есебі. Қарастырып отырған дененің S шекарасында ізделінді функцияның мәні беріледі:
) (s f u s = . Нейман шеттік есебі. V дененің S шекарасында:
)
f n u S =
32 мәні беріледі, мұндағы n дегеніміз S шекарасына жүргізілген нормаль. Аралас шеттік есебі. V дененің S шекарасында келесі шарт беріледі:
) (S f n u u S = + .
жүктеу/скачать 1,79 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|