Коммерциялық емес акционерлік қоғам


-Дәріс.  Дербес  туындылы  теңдеулерді  топтастыру.  Екі  тәуелсіз



Pdf көрінісі
бет16/25
Дата31.12.2021
өлшемі1,79 Mb.
#21863
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   25
Байланысты:
D53jW7LpRGrSeaJACt12mTzUoOMPvN

 

7-Дәріс.  Дербес  туындылы  теңдеулерді  топтастыру.  Екі  тәуелсіз 

айнымалысы  бар  екінші  ретті  сызықты  дифференциалдық  теңдеулерді 

канондық түріне келтіру 

 

Дәріс  мақсаты:  Гиперболалық,  параболалық  және  эллипстік 

теңдеулерді  қарастыру,  оларды  канондық  түріне  келтіру  әдістерімен 

таныстыру. 

 

Екінші ретті сызықты дербес туындылы теңдеулер берілсін: 

 

                  (7.1) 



 

мұндағы  a,  b,  c–лар  x  және  y-тен  тәуелді  функциялар:  a(x,y),  b(x,y), 

c(x,y). 

Егер D облысында:  

1) 

 болса, онда (7.1) гиперболалық типті теңдеу деп аталады, 



2) 

 болса, онда (7.1) параболалық типті теңдеу деп аталады, 

3) 

 болса, онда (7.1) элиптикалық типті теңдеу деп аталады. 



 

Гиперболалық типті канондық теңдеу: 

 



 



Параболалық типті канондық теңдеу: 

 



 

Элиптикалық типті канондық теңдеу: 

 



 



 

(7.1)-ші  теңдеуінің  сипаттамалы  теңдеуі  деп  келесі  дифференциалды 

теңдеу аталады: 

 



33 

1. 


Гиперболалық  типті  теңдеуі  үшін  сиппатамалы  теңдеуінің  екі 

интегралы (жалпы шешімі) бар: 

 

,   


 

яғни нақты сипаттамалардың екі әулеті бар. Сонда (7.1)-ші дифференциалдық 



теңдеу: 



 

алмастыру арқылы канондық түрге келтіріледі. 

2. Параболалық типті теңдеуі үшін сипаттамалардың екі әулеті тең, яғни 

сиппатамалы теңдеуі бір интегралын (жалпы шешімін): 

 

 

 



береді. Келесі алмастыру арқылы (7.1)-ші теңдеу канондық түрге келтіріледі: 

 



 

мұнда 



  –  төмендегі  шартты  қанағаттандыратын  қайсы  бір 

функция: 

 



 



 

3.  Эллипстік  типті  теңдеу  үшін  сипаттамалы  теңдеуінің  интегралдары 

келесі комплекс түрде анықталады: 

 



 

 

мұнда 



  және 

  –  нақты  функциялар.  Келесі  алмастыру 

арқылы (7.1)-ші теңдеу канондық түрге келтіріледі: 

 

,   





 

Мысал. 

  дербес  туындылы  дифференциалдық 

теңдеуді канондық түріне келтіріңіз.  

 

 



Шешуі. Есеп шарты бойынша: 

 

,   



,   

,   


 

яғни бұл эллипстік типті теңдеу. 



 

 

Сипаттаушы теңдеуі:  



 


34 

 



Немесе берілгендерді қолдансақ: 

 



 

осыдан аламыз: 

 

 



 

Бұл теңдеуді шешеміз, онда: 

 



енді интегралдап аламыз: 



 

 

және 



 

Жаңа айнымалыларды еңгіземіз: 



 

,     


 

Келесі формулаларды қолданып, қажетті дербес туындыларды табамыз: 



 

     


     

 



     

     


 

     



 

 

 



 

 



 

 

     



   

 



 

     


 

 



35 

 



 

 

Берілген: 



 

 

теңдеуге анықталған екінші ретті дербес туындыларды қоямыз: 



 

 



Бұдан аламыз: 

 



 

Онда берілген теңдеудің канондық түрі: 

 



 



Мысал. 

 теңдеуді канондық түрге келтіріңіз  



Шешуі. Есептің берілгені бойынша:  

 

,   



,   

,   


онда 

 



 

яғни берілген теңдеу гиперболалық типті. Сипаттамалық теңдеуі 

 

  

немесе 



 

 

Екі дифференциалдық теңдеу аламыз: 



 

 

және 



 

Бұл  айнымалылары  ажыратылатын  дифференциалдық  теңдеулер, 



оларды шешеміз: 

 

      осыдан       



 

 



36 

      осыдан           

 

 

 



Онда 

 және 


 – сипаттамалар теңдеулердің екі әулеті. Жаңа 

айнымалылар еңгіземіз: 

,     



 



Ескі х және у бойынша дербес туындыларды жаңа айнымалылар   мен   

бойынша дербес туындылар арқылы табамыз: 

 



 



 

 



 

 

 

 

 



, 

 

 



 

 

 



 

Есептің  шарты  бойынша  берілген  теңдеуге  анықталған  екінші  ретті 



дербес туындыларды қоямыз: 

 

  



 

осыдан 




37 

  

немесе 


 

Берілген теңдеудің канондық түрі: 



 

 



 



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   25




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет