Курсы оқу құралы
§1.3. Дифференциалдық тендеулер үшін Коши
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| §1.3. Дифференциалдық тендеулер үшін Коши
есебі мен шекаралық есептерді шешуді интегралдық тендеуге келтіру Бұл параграфта біз дифференциалдық жэне интегралдық тендеулер арасын- дағы байланысты көрсетеміз. 1) Кәдуілгі дифференциалдық тендеу үшін Коши есебін шешу Вольтер- раның интегралдық теңдеуіне келтіріледі. 1-ретті кэдуілгі дифференциалдық тендеу у'(х) — f i x , y i x ) ) үшін бастапқы шарт у(х 0) = у 0 берілсін. у — у(х) функциясы осы Коши есебінің шешімі делік. Оны тендеуге қойып, алынған тепе-тендікті х0 -ден х-ке дейін интегралдап, х УІ*) = Уо + j f i s , y i s ) ) d s х0 интегралдық теңдеуін аламыз. Мүның шешімі у(х) функциясы берілген есептің де шешімі екенін тексеру қиын емес. Коэффициенттері үзіліссіз функциялар болатын n-ретті сызықтық дифферен- циялдық тендеу үшін Коши есебін шешу де 2-текті Вольтерраның интегралдық тендеуін шешуге келтіріледі. Бұл жағдайды мына 2-ретті тендеу үшін қарастыра- мыз: у \ х ) + р і х ) у \ х ) + а2 (х)у(х) = Д х ) теңдеуі үшін у (х 0) = у 0 , / ( х 0) = у, бас- тапқы шарттары берілсін. Бүл есепте у \ х ) = (р{х) деп белгілеп, одан кейін тең- дікті бастапқы шарттарды пайдаланып интегралдау нэтижесінде У'(х) = Ух + J^Cs)ds,y(x) = y 0+ y ,x + \ds\(pisx)dsx = у 0+ у 1х + j ( x - s)(pis)ds х0 х0 ■*<> 'о тендеуін аламыз. Ал соңғы өрнектерді пайдаланып, берілген теңдеуден <р(х)+ J К ix,s)(pis)ds=f іх) *о Вольтерраның 2-текті интегралдық теңдеуін аламыз, мұндағы, Ar(x,i) = a,(x) + a ; (x)(x-.v), f ( x ) = / „ ( х ) - у , а , ( х ) - ( л + у хх)ап(х). 12 Мысалы, у (х) + х~у (х) + хү(х) - 1 —4 х 2 дифференциалдық теңдеуінің АО) = 0 ^ У (0) — 2 бастапқы шарттарын қамағаттандыратын шешімін табу керек. Осы Коши есебін интегралдық теидеумен алмастырайық. Ол үшін белгісіз у(х) функциясының 2-рстті туындысын жаңа белгісіз (р(х) аркылы = ф(х) деп белгілесек, одан кейін бұл өрнектің екі жағын да 0-ден х-ке дейін интегралдап жэне бастапқы шарттарды ескеріп, У’(х) = I (p(s)ds - 2, у(х) = - 2 х + }(.v - s)(p{s)ds О о өрнектерін аламыз. Бұл соңғы үш өрнекті теңдеуге қойсақ, д (р{х) = 1 + J {2x2-xs)(p{s)ds 0 интегралдық теңдеуін аламыз. жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|