Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| \ \ К
2 {x,s)dxds - В2 болсын. (рк(х) (к = 1,2,...) функциялары [а,Ь] аралығында ортонормаланған және ол жүйе толық болсын. Белгілі K (x,s) е L2(a,b), ядросын (pk{x)(pm{s) функциялары- мен Фурье қатарына K (x,s)= І , А кт(рк{х)(рт{Б) (50) к ,т ~ 1 жіктеуге болады. Бұл қатар a < x , s < b болғанда орташа мағанада жинакты. (pk{x)(pm{s) функциялары жүйесі a < x , s < b облысында толық болғандыктан, Парсевальдың тұйықтық шарты I А І = В 2 к ,т~\ (51) орынды. Егер (50) қатарының дербес қосындысын ^ n( x , s ) = t A km к , m = ! деп белгілесек, ол ерекшеленген ядро болады. Енді К , ( х ^ ) = К ( х ^ ) - К п(х^) деп белгілейік. Сонда K„{x,s) функциясы (50) Фурье қатарының қалдығы болады: k,rn> n j J K l { x , s ) d s d x = В 2 a a деп белгілейік. Осы қатарға тұйықтық шартын пайдалансақ, өрнегін аламыз. Алынған қатар жинақталатын (51) катарының қалдығы, сондық- тан соңғы қатар қосындысы п, жеткілікті дэрежедегі үлкен сан болғанда, жеткі- лікті дорежедегі аз шама. Сондықтан n-ның үлкен мэндерінде \Я\Вп < 1 теңсіздігі орындалады, бүл шартты қанағаттандыратын K()(x,s) -ті кіш кентай ядро деп атаймыз. Сонымен К ( х , s) ядросы К (x,.v) = F 0(x,s)+ K„(x,s) түріндегі ( F „ (x ,s ) - ерек- шеленген, ал F ()(x,.v) кішкентай) ядроларға жіктеледі. Енді (49) тендеуінің ядросын соңғы теңдіктегі қосындымен ауыстырып, тендеуін аламыз. Бұрынғы дәлелдеулер бойынша \Я\В{) < 1 шарты орындалғанда бұл тендеудің жалғыз шешімі бар болады, ол шешім Ғ 0(х,.у) ядросының резоль- вентасы R(x,s\A,) арқылы өрнектеледі: b Һ (р(х )-Л\K 0(x,s)(p(s)ds - / ( х ) + Ц K n(x,s)(p(s)ds өрнегін аламыз. Осы тендіктің оң жағындағы өрнекті Ғ ( х ) - / ( х ) + Ц К п деп белгілесек, онда (р{х) - Л\ К {) (x,s)(p{s)ds - Ғ(х) (р{х)= Ғ(х)+h\R(x,s\X)F(s)ds. Ал F(x) функциясын оның мэнімен ауыстырсақ, Енді a 63 |