§4.3. Ф редгольмнің ан ы қ тау ы ш тар әдісі
Осы ғасырдың басында Фредгольм өз атымен аталатын
(р{х) = Ц К (х, s)(p{s)ds + / (х)
(52)
теңдеуінің ядросы K ( x , s ) e C[a,b], бос мүшесі f ( x ) e C [ a , b ] жэне параметріЯ-
ның әртүрлі болатын жағдайларын терең зерттеп, осы (52) теқдеу үшін негізгі
теоремаларды дэлелдеген. Сол маңызды зерттеулердің нәтижесінің негізінде
"Ф редголыинің ан ы қ тау ы іп тар ” эдісі деп аталып кеткен әдісті қарастырайық.
[а,Ь] сегментін ұзындықтары б =
болатындай тең п бөліктерге бөліп,
(52) теңцеуіндегі интегралды интегралдық қосындылармен ауысты-рады. Нәти-
жеде берілген теңдеуге жуық
(р{х) = л £ к (x,s )cp{sJ )S + f ( x )
j=I
J
64
тендеуін аламыз, мүнда s / -бөлік интервалдар орталарының абциссалары. Бұл
теңдеуге х = х,,х2,...,хп мэндерін қойып жоне эрбір бөлік интервалдарда <р(х) пен
/ ( х ) сойкес түрде <р(хі
),
f ( x i
)
тұрақты мәндеріне тең болсын, ал
K { x , s )
ядросы
индекстеріі мен / болған квадраттарда K ( x l,s / ) түрақты болсын десек, нотижеде
(p{s:) белгісіздері үшін
1,2,...,«
(53)
/ і
алгебралық тендеулер жүйесін аламыз.
Сонымен осы тендеулер жүйесін шешіп, белгісіз (р{х) функциясын белек-
белек тұрақты мәнді ^>п(х)-функциялары мен жуықтаймыз. Мұндағы п қанша-
лықты үлкен болса, жуықтау тізбегі (рп{х) (р{х)~ ті соншалықты дэл аппросима-
циялайды, яғни #?п( х ) - ^ ( х ) айырымдары өте аз шама болады. Егер я —
» о о
болса,
(53) теңдеулерінің жүйесі (52) теңдеуін береді, ал <р„(х) тізбегінің шегі (р(х)
функциясына тең болатыны анық. Фредгольм осы қағиданы пайдаланып, (52)
интегралдық теңдеуінің шешімін тапқан, яғни (53) теңдеулері жүйесін шешіп,
содан соң оның шегін тапқан.
Ыңғайлы болуы үшін (р{ = (p(st), K tj = K ( x l,sj ), f = / ( x ,) деп белгілейік. (53)
жүйенің анықтауышы
D M ) =
1 - ж
п
- ASKп
....
- A S K U
- S A K 2,
\ - A S K 22
....
- A S K In
- A S K nl
~A SK n2
.... 1 - A S K m
Я параметріне байланысты көпмүшелік. Тейлор формуласын пайдаланып, Dn(A)
анықтауышын жіктейміз.
м үн дағы ,
\K { t,t)d t^ > £ K PiPS = ZiK ( x i, x i)S
a
Р\
1
' 1
65
Риманның интегралдық қосындысы екені анық. Сондықтан,
lim Ү,К п п S = \K(t,t)dt.
Л - > о о
,
Г і г і
J
Hj —1
и
Дэл осылай
п
п
крр крр
һ
һ
lim 2 X
"
р
Достарыңызбен бөлісу: |