Курсы оқу құралы

b 
h
Сондықтан 
f K 2(x,t)a>(x)dx = 0  және  дэл  осылай 
J K(x,t)cu(x)dx = 0,  яғни
и 
a
теорема долелденді.
Егер  f ( x )  = \K (x,s)h(s)ds = Kh  (h(x) e L2\a,b\)  теқцігі  орындалса,  онда  f { x )
a
функциясы  K (x,s)  ядросы арқылы өрнектелген дейді.
2-теорема  (Гильберт-  Шмидт).  K (x ,s ) е L2(a,b)  ядросы  аркылы  өрнек- 
телетін  кез  келген  / (х)  функциясы  сол  ядроның меншікті  функциялары  бойынша 
орташа жинақты Фурье қатарына жіктеледі.
Дәлелдеуі.  Алдымен  K ( x , s )  ядросының  меншікті  функциялары  {<рк{х)\
арқылы  һ(х)  функциясын Фурье қатарына жіктейік:
А(*)~  І һ п(рп(х) (һп  ={һ,(рп)).
п=\
х 
b
Бессель  теңсіздігін  пайдалансақ,  £/z„2  < \ h 2(x)dx  қатарының  жинақты  екенін
п=1 
a
көреміз.  Одан кейін  / (х)  үшін Фурье қатарын
/ ( * ) - ! / > „ ( * )  
(82)
түземіз, мұндағы,  /„  = ( / > „ )  = (Кһ,срп) = (һ,Кфп)
(К(рп)
Олай болса,
я = І А
(83)
h ( x ) e L 2[a,b\  болғандықган  f(x)<=L2[a,b]  болады.  Сондықтан  Рисс-Фишер 
теоремасы бойынша (83) қатары орташа жинақты.
Енді (83) қатарының қосындысы  f ( x )  -ке тең болатынын дэлелдейік. Ол үшін
S m(x) = t
п  1
К<Рп(х)
деп алайық. Онда
/ «  = S J x )  = \K (x,s)h(s)ds - £
^
 jm
 =
=  
1 K ( x , s ) - £ ) - < p n(x)
ty(s)ds =
 = K'"'h.
n  I A„
92

Жоғарыдағы  §5.3-тегі  лемманың  салдарын  пайдалансақ,  т ^ о о   ұмтылған 
жағдайында  | | / - S J | =   К іп)һ  -> 0   болады.Демек,
/ ( * )  = £ -үК<Рп(х),
п
  I
яғни теорема долелденді.
Ескерту.  Гильберт-Шмидт  теоремасында  {<рк(х))  меншікті  функциялар 
жүйесі толық деп ұйғарылмайды.
һ
 
2

жүктеу/скачать 10,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: