Курсы оқу құралы

у  I л,-
j ( ^ , )
өрнектерін  аламыз.  Бүл  жағдайда  алдыңғы  теңдеуден  {у/,(р,) = 0,(/ = 1,2,...,«  ) 
ортогональдық шарты  шығады.  Онда (77) теңдеуі
b
і//(х) -  //J K{x,s)y/(s)ds = 0
түрінде  жазылады.  Бұл  теңдеуден  //  мен  і//(х)~ K (x,s)  ядросының  меншікті  мэні 
мен  меншікті  функциясы  екенін,  ал  і//(х) -тің  ( р ^ х ) ^  = 1,...,и) функция-ларымен
ортогональ  болғандықтан  т > п  ретті  меншікті  функциялардың  біреуімен  сай 
келетінін көреміз.
С алдар.  Егер K (x,s) ядросының  n-нен  көп  меншікті  мэні  бар  болса,  онда 
ядросының меншікті  мэндерінің модулі  бойынша ең кішісі  Лп+І  болады. 
Берілген  ядроның  меншікті  мэндері  ЛІ,Л2,...,Лп  ақырлы  санды  болған  жеке 
жағдайды  қарастырайық.  Онда  K (n)(x,s)  ядросының  бірде-бір  меншікті  моні  бол- 
майды.  Бұндай  жағдайда  бұрын  дэлелденген  теорема  бойынша  АГ(")(х,л,) = 0 
немесе
K (x,s) = t-j-Pj(x)p,.(s).
j=i 
а
,
Осы  формуладан  /C(x,s)  ядросыньщ  ерекшеленген  ядро  екенін  көреміз.  Кез
келген ерекшеленген ядроның ақырлы санды  меншікті  мэндері  бар болған-дықтан 
және жоғарыдағы талдаулардан мына теорема орынды.
Д ини  теорем асы .  Квадратымен  интегралданатын  симметриялық  ядроның 
меншікті  мондері  мен  меншікті  функциялары  ақырлы  санды  болуы  үшін  оның 
ерекшеленген ядро болуы қажетті де жеткілікті.
С алдар. Кез келген  квадратымен интегралданатын  (р(х)  функциясы үшін
lim К (п)(р  = 0
тендігі  орынды.
Дәлелдеуі.  Егер  /Дх,.?)ерекшеленбеген  ядро  болса,  соңғы  теңдіктің  орын- 
далуы  ап-айқын.  Бірінші  салдар  бойынша  K ( x , s )  ядросы  ерекше-ленбеген  болса, 
онда  АГ(")(х ,5)ядросының модулі  бойынша ең кіші меншікті  мэні  Яп+1  болады.
Ж огарыдағы  (73)  теңсіздігі  бойынша  K {n)(x,s)  ядросы,  оның  меншікті  мэні 
мен меншікті  функциясы үшін
87

Теңсіздік  орынды  жэне  п —>оо  жағдайда  Ля+І  —
болғандыктан  соңғы  өр-
нектен
К (п)(р  —> 0.
Тұрақты  болғанх  үшін  K ( x , s ) e  L2[a,b]  олай  болса,  ол  ядро  ортонормалан- 
ған  {(рп{х )}  жүйе бойынша
K ( x , s ) ~ j r  C„(x)
п
  1
Фурье қатарына жіктеледі де, ал Фурье коэффициенттері
C„(x) = \K(x,s)

жүктеу/скачать 10,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: