ПримерВ зависимости от параметра , найти количество решений уравнения
Решение. Построим график функции (см. рис. (??)).
В зависимости от положения прямой , получаем следующее: при нет корней, при --- бесконечно много корней, при --- четыре корня, при --- три корня, при --- два корня.
ПримерДокажите, что на графике функции можно отметить такую точку , а на графике функции --- такую точку , что расстояние не превышает . Решение. Положим . Точка с координатами , где , очевидно, лежит на графике функции .
Рассмотрим положительное число . Тогда , следовательно, точка с координатами лежит на графике функции .
Расстояние между точками и равно . Но из равенства следует, что , , .
Пример На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения: . Решение. или .
Ответ. см. рисунок (??)
Пример Дана функция . Сколько решений имеет уравнение ? Решение. Пусть --- решение уравнения , а . Тогда и , а потому точка с координатами лежит на каждом из графиков и . Наоборот, если точка лежит на пересечении этих графиков, то и , откуда . Тем самым показано, что число решений уравнения совпадает с числом точек пересечения графиков и , а их 16 (см. рис. (??)).
Ответ. 16.
