Ляпунов функцияларын құру әдістері

Жүйені қарастырыңыз

Механикалық модель ретінде салмағы болатын материалдық нүктелер жүйесінің қозғалысын алуға болады, онда нүктесі осы жүйенің басқа нүктелерінің нүктесіне әсерін білдіретін күштерінің әсеріне ұшырайды.

Жүйенің әсерінен туынды функцияларды табамыз (7), аламыз

Малкин әдісі

Теңдеуді қарастырыңыз
(8)
Бұл теңдеу жүйеге тең

(9)

Тиісті желілік жүйенің түрі бар

Ол үшін Ляпунов функциясы жасалуы мүмкін

Енді V оның енгізілуінде параметр жоқ екенін ескереміз, сондықтан дәл сол функция жүйені зерттеуге жарамды

(11) жүйесі үшін Ляпунов функциясын алу үшін жазбасындағы терминінің аналогын табу керек. Бірақ механика тұрғысынан саны (немесе қалпына келтіретін күшті сипаттайды, ал мәні потенциалдық энергияға сәйкес келеді. Сондықтан, Ляпунов функциясын жүйе үшін қабылдау табиғи болып табылады) функциясы бар

Тұрақтылық шарттары әдетте былай жазылады:

б) ,

в) кезінде.
, яғни түзу жиынтығында шығу тегіден басқа барлық траекториялары жоқ екенін тексеру оңай.

Біз мәселеге басқаша көзқарас білдіреміз. (12) теңдеуіндегі айнымалының өзгеруін орындай отырып, жүйені аламыз

Алдыңғы Ляпунов функциясын (13) қолдана отырып, жүйенің арқасында (13) аламыз.

Салынған Ляпунов функциясы синхронды қозғалтқыштағы рұқсат етілген түпкі жүктемені тез бағалауға мүмкіндік беретін тепе-теңдік жағдайының тартылу аймағын бағалауға мүмкіндік береді.

Сызықтық жағдайда ұсынылған әдіс үшін қолайлы өрнектер табылған жағдайда қажетті және жеткілікті тұрақтылық жағдайларын қамтамасыз етеді. Бұл кез-келген нақты позитивті квадраттық форманы сызықтық түрлендіру арқылы канондық формаға, яғни айнымалылардың квадраттарының қосындысына дейін төмендетуге болатындығы. Бұл әдістің қиындығы және матрицаның таңдауында жатыр.