Курстқ жұмыс
І. Дифференциалдық жүйелер шешімдерінің тұрақтылығы және Ляпунов әдістері
жүктеу/скачать 417,36 Kb.
|
Ляпуновтың әдісі
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.2 Ляпунов функциялары әдісі. Ляпунов Теоремасы
| І. Дифференциалдық жүйелер шешімдерінің тұрақтылығы және Ляпунов әдістері
1.1 Ляпунов бойынша тұрақтылық Дифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырайық (1) жүйенің кейбір шешімін (1) бөлеміз және оны елеусіз шешім деп атаймыз. шешімі Ляпуновтың мағынасында тұрақты деп аталады, егер кез келген үшін теңсіздігінен кезінде теңсіздігі қажет деп көрсетуге болатын болса.Мұнда арқылы бастапқы шартымен анықталатын жүйенің кез келген басқа шешімі (1) белгіленген. шешімі Ляпунов мағынасында асимптотикалық тұрақты деп аталады, егер ол Ляпунов мағынасында тұрақты болса және бар болса (2) 1.2 Ляпунов функциялары әдісі. Ляпунов Теоремасы Қарапайым мысалда әдіс идеясын бейнелейміз: (4) функциясын қарастырайық. Бұл функция нүктесінен басқа барлық жерде оң. айнымалы кеңістікте теңдеуі координатаның басында ұшымен параболоидты анықтайды. жазықтығындағы осы беттің деңгей сызықтары эллипстер болып табылады. Кездейсоқ кіші анықтаймыз, жазықтықта радиусы шеңберінен тұрғызамыз. Деңгейлік сызықтардың бірін алайық - эллипс толығымен элементтер шеңберінің ішінде. Біз басқа шеңберді толығымен эллипстің ішінде тұрғызамыз (Cурет 3). бастапқы нүкте ішінде болсын. Екі айнымалының функциясын қарастырайық. Егер біз жүйенің шешімін (4) орнына алмастыратын болсақ, онда алынған функция жүйенің (4) шешімінің траекториясы бойындағы функциясының толық туындысы болатындығын көруге болады. Егер кез-келген траектория бойындағы осы туынды позитивті емес болса, бұл траектория кете алмайтындығын білдіреді, өйткені әйтпесе мен мәні шекарасына түсетін мәні арасында мәні болады, абзацтардан бастап басталатын траекторияның кез-келген басталатын бірде бір траектория шеңберінен кетпейді, тривиалды шешімнің орнықтылығын білдіреді. Сонымен, біз траекторияның бойымен белгіні тексеруіміз керек. Ол үшін траекторияны білу керек. Мұны осы мысалда жасауға болатындығына қарамастан, әдіс жалпы жүйеге арналған, оны нақты жазу мүмкін емес, сондықтан қажетті теңсіздікті тексеру мүмкін емес. Сондықтан, біз функцияны кем дегенде кейбір көршілес екі тәуелсіз айнымалы функция ретінде оң емес деп талап етеміз. Бұл жағдайды жүйенің оң жағында шешімді білмей тексеруге болады. Біздің мысалда дәл осылай болады, өйткені ұшақтың барлық жерінде және осылайша кез-келген траектория бойынша тривиальды шешімнің тұрақтылығы кепілдендірілген.Осы функция қарастырылған мысал Ляпунов функциясы болып табылады. Ол квадраттық формаға ие, дегенмен, егер ол nn нүктесінен басқа барлық жерде позитивті болса, онда кез-келген басқа функцияны орындай алады, ал өрнегі позитивті емес еді. Енді біз кейбір жалпы теоремалардың тұжырымына жүгінеміз. Жүйенің тривиалды шешімін зерттейміз(4). Бұдан әрі барлық құрылыстар фазалық кеңістіктегі кейбір аудандарда жүргізілетін болады. Анықтылық үшін , теңсіздігі берілсін. (немесе қысқарақ) функциясы, егер болса, оң анықтама, ал , егер болса, оң деп аталады. Ляпунов функцияларының қолданылуын көрсететін бірқатар мәлімдемелер береміз. Бірінші Ляпунов теоремасы функциясында функциясы теңсіздікті қанағаттандыратын бірінші ретті жартылай туындылары бар тұрақты нақты функциясы бар делік. (5) Сонда жүйенің тривиальды шешімі (5) тұрақты болады. Ляпуновтың екінші теоремасы үшін бірінші теореманың шарттарына қосымша теңсіздігі орындалсын, мұнда --- оң анықталған функция. Сонда жүйенің тривиальды шешімі (5) асимптотикалық тұрақты. Үшінші Ляпунов теоремасы үздіксіз бірінші ретті жартылай туындылары бар белгілі бір функциясы бар делік а) және- нүкте маңайы, теңсіздік ұстайтын; б) мыналардан, барлығына әділ . Сонда жүйенің тривиалды шешімі тұрақсыз. Ескерту.Берілген әдістердің жетіспеушілігі функцияларды құрудың жеткілікті жалпы конструктивті тәсілі жоқ. Ескерту.Горбунов [5] үздіксіз коэффициенті бар сызықтық жүйелер үшін Ляпунов функциясы әрқашан квадраттық формада бар екенін көрсетті. Ескерту. Кейбір механикалық жүйелерді сипаттайтын дифференциалдық теңдеулер үшін Ляпунов функциясының рөлі әлеуетті энергиясы. Жүйенің өзі түрінде, ал тиісті функциясы бар. Бұл сын-ескертпені (5) нақты дифференциалдық жүйелер үшін Ляпунов функцияларын құрудың жалпы әдістемесінің жоқтығына назар аударылды. Төменде Ляпунов функцияларын құрудың белгілі әдістері бар. жүктеу/скачать 417,36 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|