Лекци Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын кейбір амалдар. Жиындардың теңдігі. Эквиваленті жиындар. Ақырлы және ақырсыз жиындар. Сандар жиыны. Ақырсыз жиындар
жүктеу/скачать 2,71 Mb.
|
§2 Жиындарының қуаты Негізгі түсініктемелер А – кез келген жиын болсын. А жиыны шектеулі деп аталады, егер де оның элементтері саналымды болса. А жиыны шектеусіз деп аталады, егер де одан бір элементті таңдап алуға болатын болса, осы және басқа процесс шектеусіз. Шектеулі жиынның элементтерінің саны оның негізгі сипаттамасы болып табылады. Егер де А және В жиындары бірдей элементтерден, мысалы, , тұратын болса, онда осы жиындардың элементтерінен жұптар құрастыруға болады: А жиынының әрбір элементі, сонымен қатар В жиынының әрбір элементі тек қана бір жұпқа кіреді. Осы жағдайда А және В жиындарының элементтерінің арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнады деп айтылады. Және де керісінше, егер де А және В шектеулі жиындарының арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнаса, онда олар теңбе-тең элементтерден құралған. Г. Кантор шектеусіз жиындарды өзара ұқсас түрде салыстыруды ұсынған (10-сурет). Егер де өзара бірмәнді сәйкестік орнатса, онда А және В жиындары бірдей қуатты делінеді (немесе эквивалентті, ). Осылайша салыстырулар арқылы, мысалы, жұп натурал сандардың жиыны мен натурал сандарының жиынының арасында өзара бірмәнді сәйкестік бар екенін көрсетуге болады: алайда, жұп сандардың жиыны натурал сандардың жиынының бөлігі болып табылады. Осылайша, шектеусіз жиынның теориясы «бөлік бүтіннен кем» деген тұжырымын жоғалтады. Натурал сандар жиынының қуатына тең қуатты жиындар саналымды болып табылады. Мысалы, жұп сандардың жиыны, рационал сандардың жиыны. Саналымды емес жиындардың негізгі мысалы ретінде сегменті қарастырылады. Сонда мұндай саналымды емес қуатты континуумның (латын тілінен аударғанда continuum - «үзіліссіз») қуаты деп атайды. Және де сегменттің барлық нүктелерінің жиынына эквивалентті болса, онда жиын континуумның қуатына ие делінеді. Жиындардың эквиваленттілік белгілері: 1. болғанда, болса, онда 2. Егер А В жиынының бөлігіне эквивалентті болса, ал В А жиынының бөлігіне эквивалентті болса, онда . Кейбір қасиеттері А жиыны саналымды болу үшін оның элементтерін натурал сандардың , яғни көмегімен қайта нөмірлеу қажетті және жеткілікті. Қандай да бір шектеусіз жиынның саналымды ішкі жиыны бар, яғни бұдан мынадай қорытынды жасауға болады, саналымды жиынның қуаты шектеусіз жиынның ең кіші қуаты болып табылады. Саналымды жиындардың шектеулі және саналымды сандарының бірігуі саналымды жиын болып табылады, яғни егер - саналымды жиын болса, онда және саналымды жиындар болып табылады. - саналымды жиын болсын, сонда тікелей көбейтіндісі де саналымды жиын болады. Континуум қуаты жиынының кез келген санының бірігуі де континуум қуаты болып табылады. - континуум қуатының жиыны болсын, сонда тікелей көбейтіндісі де континуум қуаты болып табылады. Кейде сандық жиындардың арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнату үшін сандарды ондық жүйеде емес, р-лық жүйеде жазады, мұндағы Сандарды р-лық есептеу жүйесінде жазу үшін Р сандары керек: 0,1,2,...,р-1. сегментіндегі р-лық жүйеде жазылған сандары қатардың суммасына тең: болған жағдайды қарастырайық. Сонда санды екіжақтылық есептеу жүйесінде жазу үшін 0 және 1 сандары керек, яғни қатарына тең -дегі кез келген х санын мынадай түрде көруге болады , мұндағы 0 немесе 1 мәндерін қабылдайды. Мысалы, болсын, сонда табу үшін сегментіндегі бірінші бөлікте жатқан және екінші бөлікте жатқан сандарын бірдей екі бөлікке бөлеміз. болғандықтан, біздің жағдайда . Енді нүктесі жатқан сегментін қарастырамыз. Оны бірінші жартысында жатқан нүктелерде нүктесімен тең бөлеміз, яғни екінші жартысында жатқан екінші сан, яғни , демек Осы үдерісті жалғастыра отырып, саналымды санын аламыз, шектеусіз екілік бөлшек түрде мынадай: болса, осы көріністің жалғыз екендігін аңғарамыз. Егер болса, яғни х қандай да бір қадамда сегментті бөлу нүктесі болды, сонда х-тің с0 периодта және с1 периодта екі айырылуы бар. Мысалы, болса, онда оны сегментіне не болмаса сегментіне жатқызуға болады, бірінші жағдайда аламыз, бірақ та қалған сандары 1-ге тең болады, ал екінші жағдайда аламыз, бірақ та қалғандары нөлге тең, яғни Егер де осындай сандар үшін периодта с0 жазуын қолдансақ, онда сандарды жалғыз шектеусіз екілік бөлшек түрінде аламыз. Сонда әрбір шектеусіз екілік бөлшек жалғыз саны. Осыған ұқсас болғанда санды жазу үшін үш сан қолданылады: 0, 1 және 2 және де сегментінен х санын үштік бөлшек түрінде жазу үшін сегментін тең үш бөлікке бөлеміз: бірінші бөлігінде жатқан бірінші сан үтірден кейін 0-ге тең, екіншісінде -1, ал үшіншісінде -2 және сол секілді осы үдерісті жалғастыра отырып саналымды сан аламыз: қатарының суммасына тең ,мұндағы . II. Есептерді шығару үлгілері 1. сегментінің сегментіне өзара бірмәнді сәйкестігін тап. Шешуі. сегменті Ох осінде, ал сегменті Оу осінде жатсын. (0;а) және (1;) координаторларымен нүктелер арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазайық: Бұл сызықтық функция сегментіндегі әрбір х-ке сегментінен нүктесін сәйкес қояды. болса, онда яғни Және -дағы кез келген у элементіне -дегі элементі ғана сәйкес келеді. (12-сурет) Осылайша, сегментінің сегментіне өзара бірмәнді сәйкестік орнады. 2. сегментінің сегментіне өзара бірмәнді сәйкестігін тап. Шешуі. сегменті жарты интервалынан бір «артық» нүктесімен ерекшеленеді. Олардың арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнату үшін біз қандай да бір реттілігін аламыз. мысалы: және келесі сәйкестіктерді орнатамыз: сегментіндегі 1 нүктесіне -дегі нүктесін сәйкес қоямыз; нүктесіне - -дегі нүктесін; нүктесіне - -дегі нүктесін; және нүктесіне - -дегі нүктесін сәйкес қоямыз (13-сурет). -дегі қалған барлық у нүктелеріне -дегі у нүктелерін сәйкес қоямыз, яғни олар үшін теңдік бейнелеулерін қолданамыз. Сонда құрылымнан -дегі кез келген элемент сегментіндегі бір ғана элементке сәйкес келетіні көрініп тұр, яғни сегментінің жарты интервалына өзара бірмәнді сәйкестігін таптық. 3.(0;1) интервалының барлық сандық оське өзара бірмәнді сәйкестігін тап. Шешуі. 1-тәсіл. интервалындағы функциясын қарастырамыз. Бұл функция әрбір -те кейбір сәйкес қояды, және ол үзіліссіз және кемитін болғандықтан, және сонымен қатар, болса, онда кез келген үшін жалғыз бар болады. Бұл және жиындарының элементтері арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнағанын білдіреді. (14-суретті қара). 2 – тәсіл. (геометриялық) Жарты шеңберді интервалында иілген деп, ал түзуді С нүктесіне жүргізілген жанама деп есептейік. (15-сурет). Жарты шеңбер мен түзу арасында мынадай байланыс орнатайық. М жарты шеңбердің нүктесі деп есептейік, егер О – жарты шеңбердің центрі болса, онда М нүктесіне тәуелді ОМ сәулесімен түзуді нақты нүктесінде қиылысады. Демек, жарты шеңбердің М нүктесіне түзудің нүктесін сәйкес қоюға болады. Сонымен қатар, интервалында болса, онда 1 түзуіне болады. Түзудің кез келген нүктесіне интервалынан бір ғана М нүктесі сәйкес келеді. Осылайша, 1 түзуіндегі интервалында өзара байланыс орнатылды. 4. сегментінде шеңбердің бірлік радиусында өзара бірмәнді сәйкестік орнату қажет. Шешуі. Егер түзу бойымен шеңберді «айналдырсақ», онда жарты сегментіне шеңбердің бірлік радиусымен өзара бірмәнді бейнелеуге болады( оның ұзындығы ). Содан соң жарты сегментінде сызықтық функциясын жартылай сегментінде өзара бірмәнді сәйкестік орнатамыз. жүктеу/скачать 2,71 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|