Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

8. Классы интегрируемых функций
105
Кантора существует такое разбиение сегмента
[
a
,
b
]
, у которого
каждое
w
i
<
?
b
?
a
. Для этого разбиения
S
?
s
=
n
X
i
=
1
w
i
?
x
i
<
?
b
?
a
n
X
i
=
1
?
x
i
=
?.
Отсюда по теореме 5 следует, что
f
(
x
)
интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
. Теорема 6 доказана.
2. Интегрируемость некоторых разрывных функций.
Пусть функция
f
(
x
)
определена на сегменте
[
a
,
b
]
и имеет на
этом сегменте точки разрыва (конечное число или даже беско-
нечно много точек разрыва).
Будем говорить, что все точки разрыва функции можно
покрыть конечным числом интервалов со сколь угодно малой
суммой длин, если
?
? >
0 существует конечное число интерва-
лов, заключающих в себе все точки разрыва и имеющих сумму
длин, меньшую
?
.
Примеры.
1. Пусть функция
f
(
x
)
имеет n точек разрыва на сегменте
[
a
,
b
]
.
Зададим произвольное
? >
0 и заключим каждую точку разрыва
в интервал длины, меньшей
?
n
. Тогда все точки разрыва будут
заключены в конечное число интервалов с суммой длин, меньшей
?
.
Таким образом, все точки разрыва функции можно покрыть
в данном случае конечным числом интервалов со сколь угодно
малой суммой длин.
2. Функция Дирихле, заданная на сегменте
[
a
,
b
]
. Эта функция
разрывна во всех точках сегмента
[
a
,
b
]
, и, следовательно, все ee
точки разрыва нельзя покрыть конечным числом интервалов со
сколь угодно малой суммой длин.
Теорема 7. Если функция
f
(
x
)
определена и ограничена на
сегменте
[
a
,
b
]
и если все ее точки разрыва можно покрыть ко-
нечным числом интервалов со сколь угодно малой суммой длин,
то функция
f
(
x
)
интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
.
Доказательство. Пусть
sup
[
a
,
b
]
f
(
x
) =
M
,
inf
[
a
,
b
]
f
(
x
) =
m
,
M > m.
Отметим, что для любого разбиения сегмента
[
a
,
b
]
каждое
w
i
6
M
?
m
.

106
Гл. 5. Интегралы
Зададим произвольное
? >
0 и покроем все точки разрыва
функции конечным числом интервалов с суммой длин, меньшей
?
2
(
M
?
m
)
. Остальная часть сегмента
[
a
,
b
]
представляет собой
конечное число непересекающихся сегментов, на каждом из ко-
торых функция
f
(
x
)
непрерывна. В силу следствия из теоремы
Кантора каждый из этих сегментов можно разбить на частичные
сегменты так, что на каждом из частичных сегментов будет
выполнено неравенство
w
i
<
?
2
(
b
?
a
)
. Объединяя эти разбиения
и интервалы, покрывающие точки разрыва функции, получим
разбиение сегмента
[
a
,
b
]
, для которого
S
?
s
=
X
i
w
i
?
x
i
=
X
i
0
w
i
?
x
i
+
X
i
00
w
i
?
x
i
,
(5.13)
где
P
0
сумма по интервалам, покрывающим точки разрыва
функции,
P
00
сумма по сегментам, на которых функция
f
(
x
)
непрерывна. Из (
5.13
) следует, что
S
?
s <
(
M
?
m
)
X
i
0
?
x
i
+
?
2
(
b
?
a
)
X
i
00
?
x
i
<
<
(
M
?
m
)
?
2
(
M
?
m
)
+
?
2
(
b
?
a
)
(
b
?
a
) =
?.
Итак, для произвольного
? >
0 мы построили такое разбиение
сегмента
[
a
,
b
]
, для которого
S
?
s < ?
. Отсюда по теореме 5
следует, что
f
(
x
)
интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
. Теорема 7
доказана.
Следствие. Если функция
f
(
x
)
ограничена на сегменте
[
a
,
b
]
и
имеет на этом сегменте конечное число точек разрыва, то она
интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
.
В частности, кусочно-непрерывная функция на сегменте
[
a
,
b
]
,
то есть имеющая на этом сегменте конечное число точек разрыва
первого рода, интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
.
3. Интегрируемость монотонных функций.
Теорема 8. Монотонная на сегменте функция интегрируема на
этом сегменте.
Доказательство. Пусть для определенности
f
(
x
)
не убывает на
сегменте
[
a
,
b
]
и не является постоянной. Тогда
f
(
b
)
> f
(
a
)
.
Зададим произвольное
? >
0 и разобьем сегмент
[
a
,
b
]
на равные
частичные сегменты, у которых длина меньше
?
f
(
b
)
?
f
(
a
)
. Для

9. Свойства определенного интеграла
107
y
x
a
O
1
x
1
?
b
( )
f a
1
i
x
-
i
x
2
x
2
?
?
i
?
n
( )
f b
Рис. 5.7.
этого разбиения
S
?
s
=
n
X
i
=
1
w
i
?
x
i
<
?
f
(
b
)
?
f
(
a
)
n
X
i
=
1
w
i
.
Но для неубывающей функции
n
X
i
=
1
w
i
=
f
(
b
)
?
f
(
a
)
(см. рис.
5.7
).
Поэтому
S
?
s < ?
, а отсюда по теореме 5 следует, что функция
f
(
x
)
интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
. Теорема 8 доказана.
џ 9. Свойства определенного интеграла
1. Мы ввели определенный интеграл по сегменту
[
a
,
b
]
при
условии
a < b
.
Положим по определению:
a
Z
a
f
(
x
)
dx
=
0,
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
?
a
Z
b
f
(
x
)
dx.
Следующие свойства будем рассматривать при условии
a < b
.
2. Линейное свойство.
Если
f
(
x
)
и
g
(
x
)
интегрируемые функции на сегменте
[
a
,
b
]
, а
?
и
?
любые вещественные числа, то функция
?f
(
x
) +
?g
(
x
)
также интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
и справедливо равенство
b
Z
a
(
?f
(
x
)
dx
+
?g
(
x
))
dx
=
?
b
Z
a
f
(
x
)
dx
+
?
b
Z
a
g
(
x
)
dx.
(5.14)

108
Гл. 5. Интегралы
Доказательство. Составим интегральную сумму для функции
?f
(
x
) +
?g
(
x
)
и запишем ее в виде
n
X
i
=
1
(
?f
(
?
i
) +
?g
(
?
i
)) ?
x
i
=
?
n
X
i
=
1
f
(
?
i
)?
x
i
+
?
n
X
i
=
1
g
(
?
i
)?
x
i
.
Переходя к пределу при
?
?
0, получаем формулу (
5.14
).
Отметим два частных случая формулы (
5.14
).
Если
?
=
1,
?
=
1 или
?
=
?
1, то
b
Z
a
(
f
(
x
)
±
g
(
x
))
dx
=
b
Z
a
f
(
x
)
dx
±
b
Z
a
g
(
x
)
dx
(интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности)
интегралов от этих функций);
если
?
6
=
0,
?
=
0, то из (
5.14
) получаем:
b
Z
a
?f
(
x
)
dx
=
?
b
Z
a
f
(
x
)
dx
(постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).
3. Если функция
f
(
x
)
интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
, то она
интегрируема на любом сегменте
[
c
,
d
]
?
[
a
,
b
]
. Докажите это
утверждение самостоятельно, опираясь на теорему 5.
4. Аддитивность интеграла.
Пусть функция
f
(
x
)
интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
и точка
c
?
(
a
,
b
)
. Тогда
c
Z
a
f
(
x
)
dx
+
b
Z
c
f
(
x
)
dx
=
b
Z
a
f
(
x
)
dx
(5.15)
Свойство интеграла, выраженное формулой (
5.15
), и называется
аддитивностью интеграла.
a
c
b
Рис. 5.8.
Доказательство. Рассмотрим такие разби-
ения сегмента
[
a
,
b
]
, для которых точка
c
является точкой разбиения (см. рис.
5.8
).
Для таких разбиений
X
[
a
,
c
]
f
(
?
i
)?
x
i
+
X
[
c
,
b
]
f
(
?
i
)?
x
i
=
X
[
a
,
b
]
f
(
?
i
)?
x
i
.
Переходя к пределу при
?
?
0, получаем равенство (
5.15
).

9. Свойства определенного интеграла
109
a
c
b
Рис. 5.9.
Отметим, что равенство (
5.15
) справедливо
и в том случае, когда точка
c
лежит вне
сегмента
[
a
,
b
]
. Пусть, например,
a < b < c
(рис.
5.9
), и функция
f
(
x
)
интегрируема на
сегменте
[
a
,
c
]
. Тогда, согласно доказанному, справедливо равен-
ство
b
Z
a
f
(
x
)
dx
+
c
Z
b
f
(
x
)
dx
=
c
Z
a
f
(
x
)
dx.
Отсюда следует, что
c
Z
a
f
(
x
)
dx
?
c
Z
b
f
(
x
)
dx
=
b
Z
a
f
(
x
)
dx
,
а так как
?
c
Z
b
f
(
x
)
dx
=
b
Z
c
f
(
x
)
dx
,
(свойство 1), то
c
Z
a
f
(
x
)
dx
+
b
Z
c
f
(
x
)
dx
=
b
Z
a
f
(
x
)
dx
,
то есть формула (
5.15
) верна и в этом случае.
5. Если функция
f
(
x
)
интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
и
f
(
x
)
>
0
на
[
a
,
b
]
, то
I
=
b
Z
a
f
(
x
)
dx
>
0.
Доказательство. Так как
f
(
x
)
>
0, то любая интегральная сумма
неотрицательна:
I
(
x
i
,
?
i
) =
n
X
i
=
1
f
(
?
i
)?
x
i
>
0
.
(5.16)
По определению
lim
?
?
0
I
(
x
i
,
?
i
) =
I
, то есть
?
? >
0
?
? >
0, такое,
что для любого разбиения сегмента
[
a
,
b
]
, у которого
?
< ?
,
выполняется неравенство
|
I
(
x
i
,
?
i
)
?
I
|
< ?
, или
I
?
? < I
(
x
i
,
?
i
)
< I
+
?.
(5.17)

110
Гл. 5. Интегралы
Предположим, что
I <
0, и возьмем
?
=
?
I
. Тогда правое
неравенство в (
5.17
) примет вид
I
(
x
i
,
?
i
)
<
0, что противоречит
неравенству (
5.16
). Полученное противоречие доказывает, что
I
>
0.
Следствие. Если функции
f
(
x
)
и
g
(
x
)
интегрируемы на сегменте
[
a
,
b
]
и
f
(
x
)
>
g
(
x
)
, то
b
Z
a
f
(
x
)
dx
>
b
Z
a
g
(
x
)
dx
.
В самом деле, так как
f
(
x
)
?
g
(
x
)
>
0, то
b
Z
a
(
f
(
x
)
?
g
(
x
))
dx
>
0,
откуда следует искомое неравенство
b
Z
a
f
(
x
)
dx
>
b
Z
a
g
(
x
)
dx
.
6. Если функция
f
(
x
)
интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
, то функция
|
f
(
x
)
|
также интегрируема на этом сегменте, и справедливо
неравенство
b
Z
a
f
(
x
)
dx
6
b
Z
a
|
f
(
x
)
|
dx.
Докажите это самостоятельно, опираясь на теорему 5.
Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из интегри-
руемости функции
|
f
(
x
)
|
на сегменте
[
a
,
b
]
не следует интегриру-
емость
f
(
x
)
на этом сегменте.
Пример.
f
(
x
) =
1, если
x
рациональное число,
?
1, если
x
иррациональное число,
x
?
[
a
,
b
]
.
Так как
|
f
(
x
)
|
=
1, то
|
f
(
x
)
|
интегрируемая функция, но при
этом
f
(
x
)
неинтегрируемая функция (это доказывается так
же, как для функции Дирихле).
7. Если функции
f
(
x
)
и
g
(
x
)
интегрируемы на сегменте
[
a
,
b
]
, то:
а) функция
f
(
x
)
g
(
x
)
также интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
;
б) если, кроме того,
inf
[
a
,
b
]
g
(
x
)
>
0 (либо
sup
[
a
,
b
]
g
(
x
)
<
0), то функция
f
(
x
)
g
(
x
)
также интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
.
Докажите это самостоятельно, опираясь на теорему 5.

10. Формулы среднего значения
111
џ 10. Формулы среднего значения
Теорема 9. Пусть функции
f
(
x
)
и
g
(
x
)
интегрируемы на сег-
менте
[
a
,
b
]
,
g
(
x
)
>
0
(
либо
6
0
)
?
x
?
[
a
,
b
]
,
M
= sup
[
a
,
b
]
f
(
x
)
,
m
=
= inf
[
a
,
b
]
f
(
x
)
. Тогда существует число
µ
?
[
m
,
M
]
, для которого
справедливо равенство
b
Z
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
=
µ
b
Z
a
g
(
x
)
dx.
(5.18)
Доказательство. Пусть (для определенности)
g
(
x
)
>
0 на
[
a
,
b
]
.
Так как
m
6
f
(
x
)
6
M
, то
mg
(
x
)
6
f
(
x
)
g
(
x
)
6
M g
(
x
)
. Отсюда
следует, что
b
Z
a
mg
(
x
)
dx
6
b
Z
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
6
b
Z
a
M g
(
x
)
dx
или
m
b
Z
a
g
(
x
)
dx
6
b
Z
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
6
M
b
Z
a
g
(
x
)
dx.
(5.19)
Так как
g
(
x
)
>
0, то
b
R
a
g
(
x
)
dx
>
0 (свойство 5). Если
b
R
a
g
(
x
)
dx
=
0,
то из (
5.19
) получаем, что
b
R
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
=
0, и, следовательно,
равенство (
5.18
) справедливо для любого
µ
. Если
b
R
a
g
(
x
)
dx >
0,
то, разделив на
b
R
a
g
(
x
)
dx
, получим неравенства
m
6
b
Z
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
b
Z
a
g
(
x
)
dx
6
M.

112
Гл. 5. Интегралы
Дробь, стоящая в средней части неравенства, является некото-
рым числом из сегмента
[
m
,
M
]
. Обозначив это число буквой
µ
,
приходим к равенству (
5.18
). Теорема 9 доказана.
Следствия.
1. Если выполнены условия теоремы 9, и, кроме того, функция
f
(
x
)
непрерывна на сегменте
[
a
,
b
]
, то
?
?
?
[
a
,
b
]
, такая, что
b
Z
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
=
f
(
?
)
b
Z
a
g
(
x
)
dx.
(5.20)
Доказательство. В силу непрерывности функция
f
(
x
)
принимает
все значения из сегмента
[
m
,
M
]
, в частности, для числа
µ
из формулы (
5.18
) найдется такая точка
?
?
[
a
,
b
]
, для которой
f
(
?
) =
µ
. Подставляя в формулу (
5.18
)
f
(
?
)
вместо
µ
, приходим
к равенству (
5.20
).
2. Если
g
(
x
) =
1 на
[
a
,
b
]
, то формулы
5.18
) и (
5.20
) дают
равенства
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
µ
b
Z
a
dx
=
µ
(
b
?
a
)
,
(5.21)
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
f
(
?
)(
b
?
a
)
.
(5.22)
Формулы (
5.18
), (
5.20
)-(
5.22
) называются формулами среднего
значения.
Задача. Пусть
f
(
x
) = cos
x
,
g
(
x
) = cos
x
,
a
=
0,
b
=
?
.
1. Докажите, что в этом случае равенство (
5.18
)) не выполняется
ни для какого числа
µ
.
2. Какое условие теоремы 9 не выполнено в этом случае?
џ 11. Формула НьютонаЛейбница

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: