Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

7. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции 101
то
S
?
S
2
<
?
2
.
(5.11)
С другой стороны, согласно свойству II,
S
2
6
S
1
, а поскольку
S
1
< I
+
?
2
, то
S
2
< I
+
?
2
, или
S
2
?
I <
?
2
.
(5.12)
Складывая неравенства (
5.11
) и (
5.12
), приходим к неравенству
S
?
I < ?
, что и требовалось доказать.
џ 7. Необходимое и достаточное условие
интегрируемости функции
Теорема 4. Для того, чтобы ограниченная на сегменте функ-
ция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и доста-
точно, чтобы
I
=
I
.
Доказательство. а) Необходимость. Пусть функция
f
(
x
)
инте-
грируема на сегменте
[
a
,
b
]
, то есть существует
lim
?
?
0
I
(
x
i
,
?
i
) =
I
.
Тогда, согласно определению предела интегральных сумм,
?
? >
0
?
? >
0, такое, что для любого разбиения сегмента
[
a
,
b
]
, у кото-
рого
?
< ?
, и для любого выбора промежуточных точек
?
i
выпол-
няется неравенство
|
I
(
x
i
,
?
i
)
?
I
|
<
?
4
.
Зафиксируем какое-нибудь
одно из таких разбиений. Пусть его суммы Дарбу равны
s
и
S
.
В силу свойства I (см. равенства (
5.7
)) можно так выбрать
точки
?
i
(обозначим их
?
0
i
), что будет выполнено неравенство
I
(
x
i
,
?
0
i
)
?
s <
?
4
, и можно выбрать их так, что (обозначим этот
выбор через
?
00
i
), что
S
?
I
(
x
i
,
?
00
i
)
<
?
4
.
Используя эти неравенства, получаем, что для зафиксирован-
ного нами разбиения справедливы соотношения
S
?
s
= [
S
?
I
(
x
i
,
?
00
i
)] + [
I
(
x
i
,
?
00
i
)
?
I
] + [
I
?
I
(
x
i
,
?
0
i
)] +
+ [
I
(
x
i
,
?
0
i
)
?
s
]
< ?
,
поскольку каждое из выражений в квадратных скобках меньше
?
4
.
Воспользуемся теперь неравенствами (
5.10
):
s
6
I
6
I
6
S.

102
Гл. 5. Интегралы
Из этих неравенств и неравенства
S
?
s < ?
следует, что
0
6
I
?
I < ?.
Так как
?
произвольное положительное число, то
I
?
I
=
0, то
есть
I
=
I
.
Необходимость условия
I
=
I
для интегрируемости
f
(
x
)
на
сегменте
[
a
,
b
]
доказана.
Замечание. Попутно мы установили, что если
f
(
x
)
интегрируема
на сегменте
[
a
,
b
]
, то
?
? >
0 существует такое разбиение сегмента
[
a
,
b
]
, для которого
S
?
s < ?
.
б) Достаточность. Пусть
I
=
I
=
I
. По лемме Дарбу
lim
?
?
0
s
=
I
и
lim
?
?
0
S
=
I
, а так как для любого разбиения
s
6
I
(
x
i
,
?
i
)
6
S
(неравенства (
5.6
)), то
lim
?
?
0
I
(
x
i
,
?
i
) =
I
. Это и означает, что
f
(
x
)
интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
. Теорема 4 доказана.
Пример. Снова рассмотрим функцию Дирихле:
f
(
x
) =
1, если
x
рациональное число,
0, если
x
иррациональное число,
x
?
[
a
,
b
]
.
Для любого разбиения сегмента
[
a
,
b
]
имеем:
s
=
0,
S
=
b
?
a
.
Поэтому
I
= sup
{
s
}
=
0,
I
= inf
{
S
}
=
b
?
a.
Таким образом,
I
6
=
I
, поэтому, согласно теореме 4, функция
Дирихле не интегрируема ни на одном сегменте.
Теорема 5. Для того, чтобы ограниченная на сегменте
[
a
,
b
]
функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и
достаточно, чтобы
?
? >
0 существовало такое разбиение сегмен-
та
[
a
,
b
]
(хотя бы одно), для которого
S
?
s < ?
.
Доказательство. а) Необходимость. См. замечание после доказа-
тельства необходимости в теореме 4.
б) Достаточность. Пусть
?
? >
0 существует разбиение сегмента
[
a
,
b
]
, для которого
S
?
s < ?
. Снова воспользуемся неравенства-
ми (
5.10
):
s
6
I
6
I
6
S
,
из которых следует, что 0
6
I
?
I < ?
, откуда в силу произволь-
ности
?
получаем
I
=
I
. По теореме 4 функция интегрируема на
сегменте
[
a
,
b
]
, что и требовалось доказать. Теорема 5 доказана.
Замечание. Используя обозначения
M
i
=
sup
[
x
i
?
1
,
x
i
]
f
(
x
)
,
m
i
=
inf
[
x
i
?
1
,
x
i
]
f
(
x
)
,

8. Классы интегрируемых функций
103
введем величину
w
i
=
M
i
?
m
i
и назовем ее колебанием функ-
ции
f
(
x
)
на частичном сегменте
[
x
i
?
1
,
x
i
]
. Тогда разность
S
?
s
можно записать в виде
S
?
s
=
n
X
i
=
1
M
i
?
x
i
?
n
X
i
=
1
m
i
?
x
i
=
n
X
i
=
1
w
i
?
x
i
.
џ 8. Классы интегрируемых функций
1.Интегрируемость непрерывных функций. Предваритель-
но введем понятие равномерной непрерывности функции.
Определение. Функция
f
(
x
)
называется равномерно непрерыв-
ной на промежутке
X
, если
?
? >
0
?
? >
0, такое, что
?
x
0
?
X
и
?
x
00
?
X
, удовлетворяющих условию
|
x
00
?
x
0
|
< ?
, выполняется
неравенство
|
f
(
x
00
)
?
f
(
x
0
)
|
< ?.
В этом определении существенно то, что
?
одно и то же число
для всех точек из промежутка
X
.
Из определения следует, что равномерно непрерывная на про-
межутке функция является непрерывной в каждой точке этого
промежутка. Обратное неверно.
Пример.
f
(
x
) =
1
x
,
x
?
X
= (
0; 1
]
.
Функция
1
x
непрерывна в каждой точке промежутка
X
. До-
кажем, что она не является равномерно непрерывной на этом
промежутке, то есть
?
? >
0, такое что
?
? >
0
?
x
0
и
x
00
?
X
, для
которых
|
x
00
?
x
0
|
< ?
, а
|
f
(
x
00
)
?
f
(
x
0
)
|
=
1
x
00
?
1
x
0
>
?.
Возьмем
?
=
1 и положим
x
0
=
1
n
,
x
00
=
1
n
+
2
,
n
?
N
. Тогда
?
? >
0
?
n
, такое, что
|
x
00
?
x
0
|
=
1
n
?
1
n
+
2
< ?
. Но при этом
1
x
00
?
1
x
0
=
|
n
+
2
?
n
|
=
2
> ?
=
1
.
Таким образом, функция
f
(
x
) =
1
x
не является равномерно
непрерывной на промежутке
(
0; 1
]
.

104
Гл. 5. Интегралы
Особое место среди промежутков занимает сегмент.
Оказывается, что непрерывная на сегменте функция равномерно
непрерывна на этом сегменте. Это утверждение называется
теоремой Кантора и будет доказано в главе 7. Там же
будут доказаны еще две теоремы о непрерывных на сегменте
функциях.
1-ая теорема Вейерштрасса. Непрерывная на сегменте
функция ограничена на этом сегменте.
2-ая теорема Вейерштрасса. Непрерывная на сегменте
функция достигает на этом сегменте своих точных граней.
Это означает, что если
f
(
x
)
непрерывна на сегменте
[
a
,
b
]
, то
найдутся
x
0
и
x
00
?
[
a
,
b
]
, такие, что
f
(
x
0
) =
M
= sup
[
a
,
b
]
f
(
x
)
,
f
(
x
00
) =
m
= inf
[
a
,
b
]
f
(
x
)
.
Следствие из теоремы Кантора. Если функция
f
(
x
)
непрерыв-
на на сегменте
[
a
,
b
]
, то
?
? >
0 существует разбиение сегмента
[
a
,
b
]
, у которого каждое
w
i
< ?
(
w
i
колебание функции
f
(
x
)
на частичном сегменте
[
x
i
?
1
,
x
i
]
).
Доказательство. По теореме Кантора
f
(
x
)
равномерно непре-
рывна на сегменте
[
a
,
b
]
. Поэтому
?
? >
0
?
? >
0, такое, что
?
x
0
,
x
00
?
[
a
,
b
]
, удовлетворяющих условию
|
x
00
?
x
0
|
< ?
, вы-
полняется неравенство
|
f
(
x
00
)
?
f
(
x
0
)
|
< ?
. Возьмем какое-нибудь
разбиение сегмента
[
a
,
b
]
, у которого
?
< ?
, и рассмотрим произ-
вольный частичный сегмент
[
x
i
?
1
,
x
i
]
. Для этого частичного сег-
мента
x
i
?
x
i
?
1
< ?
,
w
i
=
M
i
?
m
i
, где
M
i
=
sup
[
x
i
?
1
,
x
i
]
f
(
x
)
,
m
i
=
=
inf
[
x
i
?
1
,
x
i
]
f
(
x
)
. Докажем, что
w
i
=
M
i
?
m
i
< ?
.
1

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: