Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

11. Формула НьютонаЛейбница
113
обозначим буквой
t
, и рассмотрим интеграл
x
Z
a
f
(
t
)
dt
. Он называ-
ется интегралом с переменным верхним пределом. Обозначим
его
F
(
x
)
:
F
(
x
) =
x
Z
a
f
(
t
)
dt.
Теорема 10. Непрерывная на сегменте
[
a
,
b
]
функция
f
(
x
)
имеет
первообразную на этом сегменте. Одной из первообразных явля-
ется функция
F
(
x
) =
x
Z
a
f
(
t
)
dt.
Доказательство. Согласно определению первообразной нужно
доказать, что
?
x
?
[
a
,
b
]
существует
F
0
(
x
)
, равная
f
(
x
)
, то есть
lim
?
x
?
0
F
(
x
+ ?
x
)
?
F
(
x
)
?
x
=
f
(
x
)
.
Используя выражение для
F
(
x
)
и свойства определенного инте-
грала, получаем:
F
(
x
+ ?
x
)
?
F
(
x
) =
x
+?
x
Z
a
f
(
t
)
dt
?
x
Z
a
f
(
t
)
dt
=
=
a
Z
x
f
(
t
)
dt
+
x
+?
x
Z
a
f
(
t
)
dt
=
x
+?
x
Z
x
f
(
t
)
dt
=
f
(
?
)
·
?
x
,
где
?
?
[
x
,
x
+ ?
x
]
.
x
x
x
+ D
a
?
b
Рис. 5.11.
Последнее равенство получено с по-
мощью формулы среднего значения.
Следовательно,
F
(
x
+ ?
x
)
?
F
(
x
)
?
x
=
f
(
?
)
.
Перейдем в этом равенстве к пределу при
?
x
?
0. Поскольку
?
?
x
при
?
x
?
0 (см. рис.
5.11
), а функция
f
(
x
)
непрерывна в
любой точке сегмента
[
a
,
b
]
, то
lim
?
x
?
0
f
(
?
) =
f
(
x
)
. Таким образом,
lim
?
x
?
0
F
(
x
+ ?
x
)
?
F
(
x
)
?
x
=
f
(
x
)
,

114
Гл. 5. Интегралы
что и требовалось доказать. Теорема 10 доказана.
Любые две первообразные данной функции
f
(
x
)
отличаются
на постоянную, поэтому в силу теоремы 10 любая первообразная
?(
x
)
функции
f
(
x
)
, непрерывной на сегменте
[
a
,
b
]
, имеет вид
?(
x
) =
x
Z
a
f
(
t
)
dt
+
C
,
где
C
некоторое число.
Положив в этом равенстве
x
=
a
, получим
?(
a
) =
C
. Поло-
жив теперь
x
=
b
, приходим к равенству
?(
b
) =
b
Z
a
f
(
t
)
dt
+ ?(
a
)
,
откуда следует, что
b
Z
a
f
(
x
)
dx
= ?(
b
)
?
?(
a
)
.
(5.23)
Таким образом, интеграл от непрерывной функции
f
(
x
)
по
сегменту
[
a
,
b
]
равен разности значений любой первообразной
функции
f
(
x
)
, взятых в точках
b
и
a
.
Формула (
5.23
) называется формулой Ньютона-Лейбница и
считается основной формулой интегрального исчисления. Она
связывает определенный интеграл с неопределенным. Разность
?(
b
)
?
?(
a
)
часто записывают в виде
?(
x
)
|
b
a
.
Примеры. 1).
?
Z
0
sin
xdx
=
?
cos
x
?
0
=
1
?
(
?
1
) =
2
.
2)
+
1
Z
?
1
dx
1
+
x
2
= arctg
x
+
1
?
1
=
?
4
?
?
?
4
=
?
2
Задача. Найдите первообразную функции
e
|
x
|
на сегменте
[
?
1, 1
]
с помощью интеграла с переменным верхним пределом.

12. Замена переменной и интегрирование по частям...
115
Замечание. Рассмотрим интеграл, у которого нижний и верх-
ний пределы являются функциями аргумента
x
,
?
(
x
)
Z
?
(
x
)
f
(
t
)
dt.
Пусть
f
(
t
)
непрерывная функция,
F
(
t
)
ее первообразная,
?
(
x
)
и
?
(
x
)
дифференцируемые функции.
По формуле НьютонаЛейбница
?
(
x
)
Z
?
(
x
)
f
(
t
)
dt
=
F
(
t
)
?
(
x
)
?
(
x
)
=
F
(
?
(
x
))
?
F
(
?
(
x
))
.
Отсюда получаем, учитывая, что
F
0
(
t
) =
f
(
t
)
,
d
dx
?
(
x
)
Z
?
(
x
)
f
(
t
)
dt
=
F
0
(
?
(
x
))
·
?
0
(
x
)
?
F
0
(
?
(
x
))
·
?
0
(
x
)
,
то есть
d
dx
?
(
x
)
Z
?
(
x
)
f
(
t
)
dt
=
f
(
?
(
x
))
·
?
0
(
x
)
?
f
(
?
(
x
))
·
?
0
(
x
)
.
џ 12. Замена переменной и интегрирование по частям
в определенном интеграле
Теорема 11. Пусть: 1) функция
f
(
x
)
определена и непре-
рывна на сегменте
[
a
,
b
]
; 2) функция
g
(
t
)
определена и имеет
непрерывную производную на сегменте
[
?
,
?
]
, причем
a
6
g
(
t
)
6
b
при
t
?
[
?
,
?
]
,
g
(
?
) =
a
,
g
(
?
) =
b
.
Тогда справедливо равенство
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
?
Z
?
f
(
g
(
t
))
g
0
(
t
)
dt

116
Гл. 5. Интегралы
(оно называется формулой замены переменной в определенном
интеграле).
Доказательство. Пусть
F
(
x
)
первообразная для функции
f
(
x
)
на
[
a
,
b
]
, то есть
F
0
(
x
) =
f
(
x
)
. По формуле НьютонаЛейбница
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
F
(
b
)
?
F
(
a
)
.
(5.24)
Функция
F
(
g
(
t
))
является первообразной для функции
f
(
g
(
t
))
g
0
(
t
)
на сегменте
[
?
,
?
]
, так как
d
dt
F
(
g
(
t
)) =
F
0
(
g
(
t
))
·
g
0
(
t
) =
f
(
g
(
t
))
g
0
(
t
)
.
Применяя снова формулу НьютонаЛейбница, получаем
?
Z
?
f
(
g
(
t
))
g
0
(
t
)
dt
=
F
(
g
(
t
))
?
?
=
F
(
g
(
?
))
?
F
(
g
(
?
)) =
F
(
b
)
?
F
(
a
)
.
(5.25)
Сравнивая (
5.24
) и (
5.25
), приходим к искомому равенству.
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
?
Z
?
f
(
g
(
t
))
g
0
(
t
)
dt
Теорема 11 доказана.
Пример. Вычислить
I
=
+
1
Z
?
1
p
1
?
x
2
dx
.
Сделаем замену переменной
x
= cos
t
, 0
6
t
6
?
. Тогда
p
1
?
x
2
=
p
1
?
cos
2
t
= sin
t
,
dx
=
?
sin
tdt
,
I
=
0
Z
?
?
sin
2
t
dt
=
?
Z
0
1
?
cos
2
t
2
dt
=
1
2
t
?
1
4
sin
2
t
?
0
=
?
2
.

12. Замена переменной и интегрирование по частям...
117
1
O
y
x
1
1
-
Рис. 5.12.
Геометрический
смысл
этого интеграла: функция
y
=
p
1
?
x
2
задает на
сегменте
[
?
1, 1
]
полу-
окружность (см. рис.
5.12
)
с радиусом
R
=
1. По-
этому
I
=
+
1
Z
?
1
p
1
?
x
2
dx
есть площадь полукруга:
I
=
?R
2
2
=
?
2
.
Теорема 12. Пусть функции
u
(
x
)
и
v
(
x
)
имеют на сегменте
[
a
,
b
]
непрерывные производные. Тогда справедливо равенство
b
Z
a
u
(
x
)
v
0
(
x
)
dx
=
u
(
x
)
v
(
x
)
b
a
?
b
Z
a
v
(
x
)
u
0
(
x
)
dx.
(5.26)
Это равенство называется формулой интегрирования по ча-
стям в определенном интеграле.
Доказательство. Так как функция
u
(
x
)
v
(
x
)
является перво-
образной для непрерывной функции
[
u
(
x
)
v
(
x
)]
0
=
u
(
x
)
v
0
(
x
) +
+
v
(
x
)
u
0
(
x
)
, то, согласно формуле НьютонаЛейбница, справед-
ливо равенство
b
Z
a
u
(
x
)
v
0
(
x
)
dx
+
b
Z
a
v
(
x
)
u
0
(
x
)
dx
=
u
(
x
)
v
(
x
)
|
b
a
,
откуда следует искомое равенство (
5.26
). Теорема доказана.
Замечание. Так как
v
0
(
x
)
dx
=
dv
,
u
0
(
x
)
dx
=
du
, то равенство
(
5.26
) можно записать в виде
b
Z
a
u
(
x
)
dv
=
u
(
x
)
v
(
x
)
b
a
?
b
Z
a
v
(
x
)
du.
Пример.
?
Z
0
x
sin
xdx
=
?
Z
0
xd
(
?
cos
x
) =
?
x
cos
x
?
0
+
?
Z
0
cos
xdx
=
?
?
?
0
+ sin
x
?
0
=
?
.

118
Гл. 5. Интегралы
џ 13. Геометрические приложения определенного
интеграла
1. Длина кривой. Рассмотрим кривую на плоскости, коор-
динаты точек которой в прямоугольной системе координат
Oxy
заданы уравнениями (см. рис.
5.13
):
x
=
?
(
t
)
,
y
=
?
(
t
)
,
?
6
t
6
?.
(5.27)
Переменная
t
называется параметром, а уравнения (
5.27
) 
параметрическими уравнениями кривой. Если различным зна-
(
)
?(?),?(?)

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: