Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

y
x
0
2
2
-
1
M
2
x
y x e
-
=
2
2
2
+
2
M
Рис. 8.4.
џ 5. Приближенное вычисление корней уравнений
Рассмотрим уравнение
f
(
x
) =
0
.
(8.1)
Число
c
называется корнем уравнения (
8.1
) если
f
(
c
) =
0. Мы
будем рассматривать только вещественные корни.
Корень
c
называется изолированным корнем уравнения (
8.1
),
если существует такой сегмент
[
a
,
b
]
, что
a < c < b
и на
[
a
,
b
]
нет
других корней этого уравнения.
В большинстве случаев точное значение корня
c
найти не
удается. Например, уравнение
x
+ sin
x
?
2
=
0
имеет ровно 1 корень, но точное значение этого корня ирра-
циональное число, поэтому можно найти только приближенное
значение корня.
Мы будем рассматривать методы приближенного вычисле-
ния изолированных корней уравнения (
8.1
). В каждом из мето-
дов будет строиться последовательность
{
x
n
}
, сходящаяся к
c
,
где
c
изолированный корень уравнения. Члены этой последо-
вательности и будут приближенными значениями корня
c
.

190
Гл. 8. Исследование поведения функций и построение графиков
Метод ѕвилкиї
Пусть выполнены следующие условия:
а) функция
f
(
x
)
непрерывна на сегменте
[
a
,
b
]
;
б)
f
(
a
)
f
(
b
)
<
0 (в этом случае сегмент
[
a
,
b
]
называется ѕвил-
койї);
в) на
[
a
,
b
]
имеется только один корень уравнения (
8.1
).
Метод ѕвилкиї это метод приближенного вычисления кор-
ня с помощью процедуры деления сегментов пополам.
Пусть ради определенности
f
(
a
)
<
0,
f
(
b
)
>
0. Разделим
сегмент
[
a
,
b
]
пополам: либо
f
a
+
b
2
=
0 и тогда найдено точное
значение корня
c
=
a
+
b
2
, либо
f
a
+
b
2
6
=
0 и тогда одна
из половин сегмента
[
a
,
b
]
образует вилку, которую обозначим
[
a
1
,
b
1
]
. При этом
f
(
a
1
)
<
0,
f
(
b
1
)
>
0. Далее разделим сегмент
[
a
1
,
b
1
]
пополам и т.д. Либо на некотором шаге получим точное
значение корня (если середина очередного сегмента совпадет с
корнем), либо процесс продолжится неограниченно. Во втором
случае получим стягивающуюся систему вилок
[
a
1
,
b
1
]
,
[
a
2
,
b
2
]
, ... ,
[
a
n
,
b
n
]
, ... ,
причем
f
(
a
n
)
<
0,
f
(
b
n
)
>
0. По теореме о стягивающейся си-
стеме сегментов существует единственная точка
c
?
[
a
n
,
b
n
]
?
n
,
причем
{
a
n
} ?
c
и
{
b
n
} ?
c
. В силу непрерывности
f
(
x
)
по-
следовательности
{
f
(
a
n
)
}
и
{
f
(
b
n
)
}
сходятся к
f
(
c
)
, а в силу
неравенств
f
(
a
n
)
<
0 и
f
(
b
n
)
>
0 имеем:
f
(
c
) =
lim
n
?
+
?
f
(
a
n
)
6
0,
f
(
c
) =
lim
n
?
+
?
f
(
b
n
)
>
0
.
Следовательно,
f
(
c
) =
0, т.е. последовательности
{
a
n
}
и
{
b
n
}
сходятся к корню уравнения (
8.1
).
В качестве приближенного значения корня
c
можно брать как
a
n
или
b
n
, так и
(
a
n
+
b
n
)
/
2. Оценка погрешности:
|
a
n
?
c
|
6
|
b
n
?
a
n
|
=
b
?
a
2
n
,
|
b
n
?
c
|
6
|
b
n
?
a
n
|
=
b
?
a
2
n
,
a
n
+
b
n
2
?
c
6
b
?
a
2
n
+
1
.

5. Приближенное вычисление корней уравнений
191
Метод последовательных приближений (метод итераций)
Уравнение (
8.1
)
f
(
x
) =
0,
где
f
(
x
)
непрерывная функция на сегменте
[
a
,
b
]
, эквивалентно
на этом сегменте уравнению
x
=
F
(
x
)
,
(8.2)
где
F
(
x
) =
x
+
k
(
x
)
f
(
x
)
,
k
(
x
)
произвольная непрерывная
функция, не равная нулю в точках сегмента
[
a
,
b
]
.
Вместо уравнения (
8.1
) будем рассматривать уравнение (
8.2
).
Для нахождения приближенных значений корня применим ме-
тод, который называется методом последовательных прибли-
жений (или методом итераций).
Пусть
x
0
?
[
a
,
b
]
. Положим
x
1
=
F
(
x
0
)
. Если
x
1
?
[
a
,
b
]
, то
положим
x
2
=
F
(
x
1
)
, и т.д. Если
x
n
?
[
a
,
b
]
, то положим
x
n
+
1
=
F
(
x
n
)
.
(8.3)
Отметим, что при этом
F
(
x
n
) =
x
n
+
k
(
x
n
)
f
(
x
n
)
. Последователь-
ность
{
x
n
}
, определенная таким образом, называется итераци-
онной последовательностью.
Пусть последовательность
{
x
n
}
сходится к некоторому числу
c
. Тогда в силу непрерывности
F
(
x
)
{
F
(
x
n
)
} ?
F
(
c
)
. Переходя
к пределу при
n
?
+
?
в равенстве (
8.3
), получим
c
=
F
(
c
)
,
т.е. число
c
является корнем уравнения
x
=
F
(
x
)
, и, следователь-
но, корнем уравнения
f
(
x
) =
0.
Итак, если итерационная последовательность сходится,
то она сходится к корню уравнения (
8.1
), и потому ее члены
x
n
служат приближенными значениями корня.
Возникает вопрос: при каких условиях итерационная после-
довательность сходится?
Теорема 8. Пусть:
1)
c
корень уравнения
x
=
F
(
x
)
, т.е.
c
=
F
(
c
)
;
2)
F
(
x
)
дифференцируема в некоторой
?
-окрестности точки
c
, причем
|
F
0
(
x
)
|
6
? <
1
?
x
?
(
c
?
?
,
c
+
?
)
, где
?
некоторое
положительное число;
3)
x
0
произвольное число из интервала
(
c
?
?
,
c
+
?
)
.
Тогда итерационная последовательность существует и схо-
дится к
c
.

192
Гл. 8. Исследование поведения функций и построение графиков
Доказательство. Докажем прежде всего, что все
x
n
?
(
c
?
?
?
,
c
+
?
)
. Это и будет означать, что последовательность
{
x
n
}
существует.
По условию
x
0
?
(
c
?
?
,
c
+
?
)
. Допустим, что
x
n
?
(
c
?
?
,
c
+
?
)
, т.е.
|
x
n
?
c
|
< ?.
Тогда
x
n
+
1
=
F
(
x
n
)
. Вычитая из этого равенства равенство
c
=
=
F
(
c
)
и применяя формулу Лагранжа, получаем
x
n
+
1
?
c
=
F
(
x
n
)
?
F
(
c
) =
F
0
(
?
)(
x
n
?
c
)
.
Отсюда следует, что
|
x
n
+
1
?
c
|
=
|
F
0
(
?
)
| · |
x
n
?
c
|
6
?
|
x
n
?
c
|
6
|
x
n
?
c
|
,
(8.4)
и, следовательно,
x
n
+
1
?
(
c
?
?
,
c
+
?
)
.
Остается доказать, что
{
x
n
} ?
c
. Применяя неравенство (
8.4
)
последовательно несколько раз и учитывая, что 0
< ? <
1, полу-
чаем:
|
x
n
?
c
|
6
?
|
x
n
?
1
?
c
|
6
?
2
|
x
n
?
2
?
c
|
6
...
6
?
n
|
x
0
?
c
| ?
0
при
n
?
+
?
. Поэтому
{
x
n
} ?
c
при
n
?
+
?
. Теорема 8 дока-
зана.
Оценка погрешности. Так как
|
x
n
?
c
|
6
?
n
|
x
0
?
c
|
, то чем
больше
n
, тем меньше
x
n
отличается от
c
. Удачный выбор
x
0
(нулевого приближения) также важен.
Выбирая различные функции
k
(
x
)
6
=
0 в выражении
F
(
x
) =
x
+
k
(
x
)
f
(
x
)
,
будем получать различные уравнения вида (
8.2
), эквивалент-
ные уравнению (
8.1
). Мы рассмотрим два специальных выбора
функции
k
(
x
)
, которые соответствуют методу хорд и методу
касательных.
Метод хорд
Снова рассматриваем уравнение (
8.1
):
f
(
x
) =
0,
x
?
[
a
,
b
]
.
Изобразим график функции
f
(
x
)
и дадим геометрическую ин-
терпретацию метода хорд (рис.
8.5
). Отметим какую-нибудь
точку
x
0
на отрезке
[
a
,
b
]
. Ей соответствует точка
A
0
на гра-

5. Приближенное вычисление корней уравнений
193
1
A
x
1
x
2
x
a
( )
y f x
=
A
2
A
B
0
A
C
0
x
b
Рис. 8.5.
фике функции
y
=
f
(
x
)
. Проведем отрезок
A
0
B
, он называется
хордой. Хорда
A
0
B
пересекается с осью
x
в точке
x
1
, которой
соответствует точка
A
1
на графике функции. Проведя хорду
A
1
B
, получим точку
x
2
на оси
x
и т.д. В результате получается
последовательность
{
x
n
}
.
Выведем рекуррентную формулу, выражающую
x
n
+
1
через
x
n
. С этой целью напишем уравнение прямой, проходящей через
точки
A
n
(
x
n
;
f
(
x
n
))
и
B
(
b
;
f
(
b
))
(рис.
8.6
):
Y
?
f
(
x
n
)
x
?
x
n
=
f
(
b
)
?
f
(
x
n
)
b
?
x
n
.
x
1
n
x
+
a
A
B
(
)
; ( )
n
n
n
A x f x
n
x
b
Рис. 8.6.
7 В.Ф. Бутузов

194
Гл. 8. Исследование поведения функций и построение графиков
Положим в этом уравнении
x
=
x
n
+
1
, тогда
Y
=
0, и мы получа-
ем рекуррентную формулу метода хорд:
x
n
+
1
=
x
n
?
(
b
?
x
n
)
f
(
x
n
)
f
(
b
)
?
f
(
x
n
)
.
(8.5)
Метод хорд является методом итераций, где
k
(
x
) =
?
b
?
x
f
(
b
)
?
f
(
x
)
,
а итерационная последовательность
{
x
n
}
определяется рекур-
рентной формулой (
8.5
).
При каких условиях итерационная последовательность
{
x
n
}
сходится к корню
c
уравнения
f
(
x
) =
0? Ответ дает следующая
теорема.
Теорема 9. Пусть:
1)
c
изолированный корень уравнения (
8.1
) на сегменте
[
a
,
b
]
:
f
(
c
) =
0;
2) функция
f
(
x
)
имеет на
[
a
,
b
]
производные
f
0
(
x
)
и
f
00
(
x
)
,
каждая из которых имеет определенный знак во всех точках
[
a
,
b
]
. Будем ради определенности рассматривать случай, когда
f
0
(
x
)
>
0 и
f
00
(
x
)
>
0 на сегменте
[
a
,
b
]
.
Тогда если взять
x
0
=
a
, то последовательность
{
x
n
}
, опреде-
ленная формулой (
8.5
), сходится к корню
c
.
Доказательство. Так как
f
0
(
x
)
>
0, то функция
f
(
x
)
возрас-
тает на сегменте
[
a
,
b
]
и, следовательно,
f
(
a
)
<
0 и
f
(
b
)
>
0.
Поскольку
f
00
(
x
)
>
0 на
[
a
,
b
]
, то график направлен выпуклостью
вниз и потому лежит ниже хорды
AB
(см. рис.
8.5
). Отсюда
следует, что
x
0
< x
1
< c
,
f
(
x
1
)
<
0. На сегменте
[
x
1
,
b
]
график
функции
y
=
f
(
x
)
также лежит ниже хорды
A
1
B
, а хорда
A
1
B
ниже хорды
AB
, и поэтому
x
1
< x
2
< c
. И так далее. Для любого
номера
n
выполняются неравенства
x
0
< x
1
< x
2
<
...
< x
n
< c
,
т.е.
{
x
n
}
монотонная ограниченная последовательность. Сле-
довательно, она сходится, а поскольку это итерационная по-
следовательность, то она сходится к корню
c
уравнения
f
(
x
) =
0.
Теорема 9 доказана.
Замечание 1. Тот факт, что
{
x
n
} ?
c
, можно установить и
непосредственно с помощью формулы (
8.5
). В самом деле, пусть
{
x
n
} ?
c
0
. Переходя в равенстве (
8.5
) к пределу при
n
?
+
?
,
получим
c
0
=
c
0
?
(
b
?
c
0
)
f
(
c
0
)
f
(
b
)
?
f
(
c
0
)
,

5. Приближенное вычисление корней уравнений
195
откуда следует, что
f
(
c
0
) =
0 и, следовательно,
c
0
=
c.
Замечание 2. Мы рассмотрели случай,когда
f
0
(
x
)
>
0,
f
00
(
x
)
>
0. В случае, когда
f
0
(
x
)
<
0,
f
00
(
x
)
<
0, нужно
использовать ту же рекуррентную формулу (
8.5
), а в случаях
f
0
(
x
)
>
0,
f
00
(
x
)
<
0 и
f
0
(
x
)
<
0,
f
00
(
x
)
>
0 нужно
a
и
b
поменять
ролями, то есть итерационная последовательность имеет вид:
x
n
+
1
=
x
n
?
(
a
?
x
n
)
f
(
x
n
)
f
(
a
)
?
f
(
x
n
)
,
x
0
=
b.
Метод касательных (метод Ньютона)
Мы вновь рассматриваем уравнение (
8.1
):
f
(
x
) =
0
.
Пусть функция
f
(
x
)
дифференцируема на сегменте
[
a
,
b
]
.
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода касательных.
Проведем касательную к графику функции
y
=
f
(
x
)
в точке
B
0
(
x
0
;
f
(
x
0
))
(рис.
8.7
). Она пересекается с осью
x
в точке
x
1
. Проведем теперь касательную к графику функции в точке
B
1
(
x
1
,
f
(
x
1
))
. Получим на оси
x
точку
x
2
. И так далее.
1
B
x
1
x
2
x
a
( )
y f x
=
A
B
0
B
C
0
x b
Рис. 8.7.
Напишем уравнение касательной к графику функции
y
=
f
(
x
)
в
точке
B
n
(
x
n
,
f
(
x
n
))
:
Y
?
f
(
x
n
) =
f
0
(
x
n
)(
x
?
x
n
)
.
Полагая
x
=
x
n
+
1
и учитывая, что при этом
Y
=
0 (рис.
8.8
),
приходим к рекуррентной формуле метода касательных:
x
n
+
1
=
x
n
?
f
(
x
n
)
f
0
(
x
n
)
.
(8.6)
7*

196
Гл. 8. Исследование поведения функций и построение графиков
Метод касательных является методом итераций, где
k
(
x
) =
?
1
f
0
(
x
)
,
а последовательность
{
x
n
}
, определяемая рекуррентной форму-
лой (
8.6
), является итерационной последовательностью.
x
1
n
x
+
a
( )
y f x
=
A
B
n
B
C
n
x b
Рис. 8.8.
Заметим, что если взять
x
0
близко к точке
a
, то
x
1
может
оказаться вне сегмента
[
a
,
b
]
и итерационный процесс прервется.
Как выбирать
x
0
? Ответ содержится в следующей теореме.
Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 9 (рассмат-
риваем случай, когда
f
0
(
x
)
>
0,
f
00
(
x
)
>
0 на
[
a
,
b
]
).
Тогда если взять
x
0
=
b
, то последовательность
{
x
n
}
, опреде-
ленная формулой (
8.6
), сходится к корню
c
.
Доказательство. Так как
f
0
(
x
)
>
0, то функция
y
=
f
(
x
)
возрастает на
[
a
,
b
]
, в частности,
f
(
a
)
<
0 и
f
(
b
)
>
0, а поскольку
f
00
(
x
)
>
0, то график функции направлен выпуклостью вниз
и, следовательно, лежит не ниже любой касательной. Отсюда
следует, что
x
1
> c
, а из формулы (
8.6
) получаем:
x
1
=
b
?
f
(
b
)
f
0
(
b
)
< b
=
x
0
.
Итак,
c < x
1
< x
0
.
Далее аналогично получаем, что для любого номера
n
c < x
n
<
...
< x
1
< x
0
,

5. Приближенное вычисление корней уравнений
197
т.е.
{
x
n
}
монотонная ограниченная последовательность. Сле-
довательно,
{
x
n
}
сходится, а так как эта последовательность
является итерационной, то
lim
n
?
+
?
x
n
=
c.
Теорема 10 доказана.
Замечание 1. В случаях
f
0
(
x
)
>
0,
f
00
(
x
)
<
0 и
f
0
(
x
)
<
0,
f
00
(
x
)
>
0 нужно брать
x
0
=
a
, а в случае
f
0
(
x
)
<
0,
f
00
(
x
)
<
0
нужно брать
x
0
=
b
.
Замечание 2. Метод касательных наиболее эффективный
метод из рассмотренных нами.
Пример. Рассмотрим уравнение
x
2
?
a
=
0, где
a >
0
.
Оно имеет 2 изолированных корня:
?
a
и
?
?
a
. Для отыскания
корня
?
a
применим метод касательных. Так как
f
0
(
x
) =
2
x
, то
по формуле (
8.6
) получаем:
x
n
+
1
=
x
n
?
x
n
?
a
2
x
n
=
1
2
x
n
+
a
x
n
,
x
0
>
0
.
Пусть
a
=
25. Тогда
?
a
=
5.
Возьмем
x
0
=
10. Тогда
x
1
=
1
2
10
+
25
10
=
6, 25;
x
2
=
1
2
6, 25
+
25
6, 25
=
5, 125
.
Таким образом, начав с весьма далекого от
?
a
=
5 значения
x
0
=
=
10, мы уже на второй итерации получаем хорошую точность:
x
2
?
?
a
=
0, 125. Оказывается, что
x
3
?
5, 002, а
x
4
?
5
+
2
·
10
?
7
.

Список литературы
1. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. М.: Физмат-
лит, 2009.
2. Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. М.: Дрофа, 2006.
3. С.М. Никольский. Курс математического анализа. М.: Физматлит, 2001.
4. В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин Математи-
ческий анализ в вопросах и задачах. СПб.: Лань, 2008.
5. Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому ана-
лизу. М.: Астрель, 2009.