Лекция Шешімнің Ляпунов бойынша орнықтылығы. Бірінші жуықтау бойынша орнықтылық. Жоспар: Шешімнің Ляпунов бойынша орнықтылығы Бірінші жуықтау бойынша орнықтылық
жүктеу/скачать 95,19 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Негізгі ұғымдар
- Өзің – өі тексеруге арналған сұрақтар
|
№15 Лекция Шешімнің Ляпунов бойынша орнықтылығы. Бірінші жуықтау бойынша орнықтылық. Жоспар: Шешімнің Ляпунов бойынша орнықтылығы Бірінші жуықтау бойынша орнықтылық Негізгі ұғымдар: орнықтылық, асимптотикалық орнықтылық, орнықсыз, Ляпунов функциялары Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесін қарастырамыз Мұндағы tG R, x=colon (x1,….xn) белгісіз вектор функция берілген вектор функция Ол функция белгілі бір ашық Д шартын қанағаттандырады деп есептейміз. Бұл жағдайда Д облысының -н (-)-сі арқылы 1 жүйнеің жалғыз ғана шешімі өтеді. анықтама . Егер кез-келген Е>О ж/е бастапқы t0Є мәні я/н саны табылып, (1) жүйенің белгілі шешімімен мына теңсіздікті ( :x0 (2) қанағаттандыратын барлық х=x(t) үшін шешімдері 1) мәндерінде анықталса [яғни (t,x(t))єD, және 2) : (3) теңсіздігін қанағаттандырса, онда х= шешімі Ляпунов бойынша t кезде орнықты д.а. толады. Орнықтылық ұғымының геометриялық түсініктемесі мынадай. Кез келген бастапқы t0 мезетінде х= интегралдық қисығына жақын болатын (1) жүйенің кезгелген интегралдың қисықтары шексіз ұзартылмалы болса және х= қиығын айналдыра қурған барынша тар түтікшенің ішінде толығынан орналасса, онда х= шешімі орнықты деп аталады. (2) (3)теңсіздіктердің мағанысынан барлық кезде етіп таңдап алуға болады. 2- анықтама. Егер санын бастапқы мезетінен тәуелсіз етіп таңдап алуға болса онда ортақтылық бірқалыпты д.а. 3. Егер х= шешімі Ляпунов бойынша орнықты болса және кез келген ү/н саны табылып теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х=х(t) шешімдері үшін теңдігі орындалатын болса онда х= шешімі кезде асимптотикалық орнықты болды. Асимптотикалық орнықтылық мағынасы: Кез келген бастапқы шарт де х= интегралдық қисығына жақын болатын (1) жүйенің барлық интегралдық қисықтары да х= қисығына шексіз ұмтылатын болса онда х= шешімі асимптотикалық орнықты. 4-анықтама. Егер кейбір мен және кез келген >0 ү/н ең болмағанда бір х0(t ) шешімі және Т=T( >t0 мезеті табылып, мына теңсіздіктер және орындалатын болса, онда х= шешімі Ляпунов бойынша орнықсыз деп аталады. * анықтама. Егер кезгелген және ү/н Саны табылып теңсіздігін қанағаттандыратын (1) жүйенің нөльдік шешімі – х0(t) х0(t)=0 : орнықты д.а. нөльдік шешімінің 2* Егер ( * анықтамадағы) >0 санын бастапқы мезетінен тәуелсіз, тек қана санынан тәуелді етіп алуға болатын болса, онда нөлдік шешім бірқалыпты орнықты д.а. 3* Егер нөлдік шешім орнықты болса және кезгелген ү/н табылып, мына теңсіздікті қанағаттандыратын барлық х=х(t) шешімдері ү/н теңдігі расталатын болса, онда нөлдік шешім асимптотикалық орнықты д.а. Мысалдар. Төмендегі теңдеулердің берілген шартты қанағаттандыратын шешімінің орнықтылығын зерттеу к/н. 1) { жүйенің Коши түріндегі жалпы шешімі Мұнда х0:=х(0) у0:=у(0) Берілген шартты қанағатттандыратын шешім { Сондықтан ү/н саны табылып Шешім орнықты және де саны тек қана -нен тәуелді яғни орнықтылық бірқалыпты. Өзің – өі тексеруге арналған сұрақтар: Шешімнің Ляпунов бойынша орнықтылығы Бірінші жуықтау бойынша орнықтылық жүктеу/скачать 95,19 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|