9-лекция
Үзіліссіз кездейсоқ шамалар.
Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың үлестірім функциялары.
Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың интегралдық функциясы.
Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың дифференциалдық функциясы.
Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.
_____________________________________________________________
Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың үлестірім функциялары.
Үзіліссіз кездейсоқ шаманы үлестірім заңымен немесе үлестірім көпбұрышымен беруге болмайтындығы белгілі. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін үлестірім заңын берудің универсал жолы бар.
Анықтама.
Х кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы (немесе интегралдық функциясы, үлестірім заңы) деп әрбір х мәні үшін оқиғалар ықтималдығы X, яғни F(x)=P(X (1) анықталатын F(x) функциясы айтылады.
x1,x2,…,xn мәндерін қабылдайтын дискретті Х кездейсоқ шамасы үшін (1) формула келесі түрде жазылады F(x) = i) , мұндағы xiх-тен кіші барлық xi мәндеріне салыстырмалылығын білдіреді. Сонымен, дискретті кездейсоқ шамасы үшін бұл функция үзілісті, x1,x2,…,xn - оның үзіліс нүктелері. Үзіліссіз кездейсоқ шама үшін F(x) үзіліссіз.
2.Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың интегралдық функциясы.
F(x) функцияның қасиеттері
1) Барлық х үшін 0£ F(x) £ 1 .
Бұл қасиет ықтималдық сияқты F(x) анықтамасынан келіп шығады;
2) F(x) кемімелі емес, яғни егер x1 < x2 , онда F(x1) £ F(x2) .
Расында, x1 < x2 болсын. X < x2 оқиғасын екі оқиғаның қосындысы түрінде жазуға болады: (X < x2 ) = (X < x1 ) + ( x1 ≤ X < x2 ). Бұл оқиғалар үйлесімсіз болғандықтан, ықтималдықтарды қосу теоремасы бойынша:
P(X < x2 ) = P(X < x1 ) + P (x1 ≤ X < x2 ),
бұдан төмендегі теңдік келіп шығады:
F( x2 ) - F( x1 ) = P (x1 ≤ X < x2 ) (*)
Кез келген ықтималдық теріс емес болғандықтан F( x2 ) - F( x1 ) ≥ 0 болады, яғни F( x1 ) ≤ F( x2 ) болады. Қасиет дәлелденді.
Салдар 1.
Кездейсоқ шаманың [ a, b] аралығына түсу ықтималдығы
P (a ≤ X < b ) = F(a ) - F(b) болады, бұл (*) теңдігінен келіп шығады.
Салдар 2.
Кездейсоқ шаманың белгілі бір мәнді қабылдау ықтималдығы нолге тең. Егер (*) формуласында х2 = x1 + Δx деп алып, Δx→ 0 болған кезде шекке көшсек, онда F(x) және F( x + Δх ) - F( x1 ) → 0 функциялардың үзіліссіздіктерінен P(x1 ≤ X < x1 + Δх )→P (x1) → 0 екендігі келіп шығады.
Салдар 3.
P (a ≤ X < b ) = P (a < X ≤ b ) = P (a ≤ X ≤ b ) = P (a b ).
Салдар 4. Егер кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері [a,b] интервалында жатса, онда "х≤ a ұшін F(x) = 0 және "х ≥ b ұшін F(x) = 1 болады.
Бұл қасиеттер үзіліссіз кездейсоқ шаманың графигін салуға мүмкіндік береді:
1 сурет
Айта кетелік, үзіліссіз кездейсоқ шаманы көбінесе үзіліссіз үлестірім функциясы бар шама ретінде анықталады.
Достарыңызбен бөлісу: |
