Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
Гл. 4. Определенный интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| 334
Гл. 4. Определенный интеграл гидростатики, согласно которому давление воды на полоску, погруженную в нее, равно пло щади полоски, умноженной на глубину погружения: Р([х, х -+• dx]) и xl(х) dx = 2 x \ J а,2 — х 2 dx. Согласно формуле (1), п. 7.1, имеем Р = а О а ► 147. Диск толщиной h и радиусом г состоит из вещества с плотностью 6 и совершает п оборотов в секунду. Какую работу нужно затратить, чтобы его затормозить? ◄ Согласно теореме об изменении кинетической энергии, ее приращение за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной приложенными к телу силами за тот же промежуток времени: Т - Т0 = А. Здесь Т — кинетическая энергия в конечный момент, То — начальная кинетическая энергия тела, А — работа внешних сил. Поскольку тело абсолютно твердое, то работа внутренних сил равна нулю. В конце промежутка времени тело остановилось, значит, Т = 0. Следовательно, То = —А. Знак минус соответствует затрачиваемой работе. При вычислении кинетической энергии выделим кольцевой цилиндр радиуса р, 0 < р ^ г, толщина которого dp и высота h. Его объем с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем dp, равен 2жhpdp, а масса dm равна 2nShpdp (рис. 70). № Рис. 70 Линейная скорость v точек диска, находящихся на расстоянии р от оси вращения, равна top, где ш — угловая скорость диска. Так как диск совер шает п оборотов в секунду, то и = 2жп с ' 1. Следовательно, v — 2жпр. Кинетическая энергия кольцевого цилиндра приближенно равна 2 1 2 2 2 3 dTo == — dm = — ш р dm = tt S lj hp dp. Согласно общей схеме применения интеграла, получаем Т о Г = ж&к J ш2 р3 dp — 4ir3 6п2 h Г J Р3 dp ■ ■ я 3 6II2 hr*. Следовательно, А = —То —ж3Sn2hr4. ► е2 Fj R dr 9 Рис. 71 148. Электрические заряды отталкивают друг друга с си- ^ ej «г лои —— , где ej и с2 — величины зарядов, а г — расстояние г2 между ними. Определить работу, необходимую для того, что бы приблизить заряд ег = 1 к заряду ej из бесконечности на расстояние, равное R. М Элементарная работа dA равна произведению силы на элементарное перемещение и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения: dA = F cos or dr (рис. 71). В рассматриваемом случае имеем dA = dr cos ж = —Ft dr = dr, гак как Fi = Сг. Согласно общей схеме применения интеграла, находим л ОО Упражнения для самостоятельной работы 146. Однородная прямоугольная пластина со сторонами а и Ь разбивается на две части параболой, вершина которой совпадает с одной из вершин прямоугольника и проходит через его противоположную вершину. Найти центры тяжести верхней Si и нижней б'г, частей прямоугольника. |