Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл



Pdf көрінісі
бет122/135
Дата31.10.2022
өлшемі16,21 Mb.
#46579
1   ...   118   119   120   121   122   123   124   125   ...   135
Байланысты:
Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s

( j ( i 2 - 1 ) 1 -
\*у
/ ^ т + |М * +

(t'n(1+
- f ) = 
И ‘"(1+^ - ТГ
2) Возьмем луч ^ = f в качестве полярной оси системы (р', #) ^ ,
(рис. 67). Тогда р( в ) = р(у), $ = - ( Z - i p ) = < p - j .
Применим теперь формулу, доказанную в примере 135, при­
няв при этом во внимание, что плоская фигура симметрична и 
что sin# < 0. Имеем
Рис. 67

4
= 
(p'(#))3|sin#|rf# =
(cos2
[р -
dtp =
ар
4ж а'

4
/

^ 3 у 
3
c o s ? 2у> 
cos 
ipd

(
1 —2 sin2 
^ ) ?
<1(л/2 sin 
у») =
47ГЙГ
Зл/2
о ч - .. 
4тга3
* ) , , n = v f
2
J
 
cos* z dz —
4яа3 3!! я _ я 2а3 
3 v ¥ 4!Г 2 ~ 4
л
/ 2 ‘


3 3 0
Гл. 4. Определенный интеграл
3) 
Возьмем луч р = в качестве полярной оси системы (р', в) (рис. 
68
). При этом имеем 
р\9) = р(<р), 0 = р - f .
Принимая во внимание симметрию фигуры и неравенство sin в ^ 0, согласно формуле 
примера 135, получим
V
О 
4
= Т~ 
J
( / 9 ,( ® ) ) 3 I S“ 1 ^I 
 
cos 2  

sin ( р  — ^

dp.

4
Произведем в интеграле подстановку р — у = —t. При этом имеем
V =
ка‘
2
/
sin 
2
2
1 sin tdt =
8^2тгa3 f
 
. 5 
, . .. 
8^2 
3 £ „
2, i
I cos 
2
t sin 
2
t d(sin t) = —-—та
-
Z
2
(1 — Z ) 4 dz.


После замены Л- — 1 =
«4
находим, что V
1 6 V ?
3 г
—j— та / , где
+ оо 
+оо
/ = / (i + « «)3desB / ( Т Т ^

dii
Интегрируя по частям, получаем
+ оо
/ — 1
8 (1 + «4)2
+ оо
+ оо 
+ о о
3 /
и2 du 
_ 3 f
и2 di
+ 8 
J
(1 +u4)2 "8 
J
(14 «'
2 du 
4)2-
+ о о
При решении примера 133 показано, что 
J
^*
4
^
4
“ а 

^ 5 -
Сле'
довательно,  = 64V? V =
Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить длину кривой у, если:
105. 
7
= {(ж, у) € R
2
у = In ж, л/3 ^ ж ^ л/
8
}-
• 
7
= {(*> ») € 
К2 
у = ach 
0 ^ ж ^ ж0, а > 0} .
106
107 • 7 = {(*. У)
108.
€ R
2
: ж = a In 
-м~ _
^/а2
— у2, Ь ^ у ^
.
Г 



'l
}. 7 = j (ж, У) € К
2
: жз 
4
уз = аз,  |ж| ^ а >.
100. 
7
= {(ж, у) € К
2
: ж = а cos
5
t, у = a sin
5
t, 
0
^ < 
2
т}.
110. 
7
= {(ж, у, 
2
) € R
3
: ж = а cost, у = а sint, z = bt, 
0
^ f ^ to}.
111. 
7
= {(ж, у, г) € К
3
: ж
2
= 3у,у = 9z, 0 ^ ж ^ ж0}.
112. 
7
= {(я, 
2
/, г) € R3 : у = aarcsin f , z = l n f ^ f , 0 < ж ^ ж0}.
113. 
7
= {(ж, у, z) € R
3
: ж = at, у = л/ЗаЬ t2, z = 2bt3, 0 ^ t ^ to}.
114. Найти длину кривой, заданной уравнением ,/ж 
4
л/у = ,/а , от точки (
0
, а) до точ­
ки (а, 
0
).
115. Парабола у = {(ж, у) £ R
2
: 4ау = ж2, ж 
6
R} катится по оси Ох. Доказать, что ее 
фокус описывает цепную линию
7 = {0е, 
У )
€ R2 •• 
У =
ach | , ж € R} •
Найти площадь плоской фигуры Ф ограниченной:
2
2
2
116. Графиком астроиды жз 
4
уз = аз .


§ 6. Приложение определенного интеграла
331
117. Графиком функции, заданной уравнением ж4 + у4 = ж2 + у2.
118. Графиком подэры эллипса (ж2 + у2)2 = а2х2 + Ь2у2.
119. Графиками функций у2 = 4аж, ж2 -f у2 = 2ах, 2х — у = 4а и лежащей над осью Ох.
120. Петлей строфоиды (а — ж)«/2 = (а + ж)ж2.
121. Графиком функции, заданной уравнением (у — х)2 = х3 и отрезком оси Ох.
122. Графиком функции, заданной уравнением \ / ^ + \ / j  = 1> и отрезками осей коорди­
нат.
123. Эллипсом 
= 1 и лежащей вне круга ж2 + у2 = ab.
124. Графиком кривой, заданной уравнением р — a cos 4<р.
125. Графиком равнобочной гиперболы р2 cos2<р = а2, — ^ V ^ Vo-
126. Графиками функций, заданных уравнениями р2 cos 2<р = 4а2 cos4  и р2 cos 2<р = а2.
127. Петлей кривой, определяемой уравнением х 7 -f у7 = ах3у3.
128. Графиком функции, заданной уравнением х2у2 = 4(х — 1) и прямой, проходящей 
через точку перегиба графика.
129. Вычислить площадь криволинейного квадрата, принадлежащего обоим эллипсам
2
2

+
< 1
а2 + Ъ2 ^ ’
2
2
— + ^ - < i
Ь2 + а2 ^
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями, полученными в результате вращения 
следующих кривых:
130.
у =
{(ж, у) 
€ R2 

у 
= sin ж, 0 ^ х ^
я} 
вокруг оси Ох.
131. 
7
= {(ж, у) € R
2
: (
2
а — х)у2 = ж3, 0 ^ ж < а ^ 2} вокруг оси Ох.
132. 
7
= ( ( i , t / ) £ i J : i = a ( ( - sin t), у = а(1 — cost), 0 ^ 1 ^ 2jra) вокруг пересекающей
ее прямой у — ка, 
0
< к <
2
(вычислить объемы получающихся двух тел вращения).
133.7 = {(*, 
У) € R2 : у = 
х^ а2
, ж 
€ 
вокруг своей асимптоты.
134. Кривая, заданная уравнением 
р3
= a3 cos 
Z
вращается вокруг полярной оси. Опре­
делить объем тела, полученного в результате вращения фигуры, ограниченной петлей, лежа­
щей в третьем квадранте.
135. Сегмент круга радиуса R, соответствующий центральному углу 2а, вращается во­
круг своей хорды, Определить объем тела вращения.
136. Куб с ребром а вращается вокруг своей диагонали. Определить объем тела, полу­
ченного в результате вращения одной из граней куба.
137. Ребро куба а. Определить объем тела, полученного в результате вращения одной из 
граней куба вокруг диагонали противоположной грани.
138. Кривая, заданная уравнением ж
4
+ у
4
= 2аху2, вращается вокруг оси Оу. Определить 
объем тела, ограниченный полученной поверхностью вращения.
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:
139. S = {(ж, у, z) 6 R
3
: ж
2
+ 4у2 = 
8
г, ж
2
+ 4 у2 = 
1, z = 0).
140.  = {(ж, у, z) € R
3
: у2 
=
2
р(а — ж), ж — г =
0

ж — 
2
z =
0
).
141. S = {(ж, у, z) € R
3
: г2 = (а — ж — у)а, х = 0, у =
0
, z =
0
}.
142. S = {(ж, 
у, 
z) € R3 : г2 
= Ь(а — ж), ж2 + у2 = аж}.
143. S = {(ж, 
у, 
z) S R3 : У2 
+ z2 = a
2
ch
2
f , -Ь < ж 
sC b).
144. В прямой круговой цилиндр (стакан) радиуса г налита вода. Ось наклонена под 
углом а к горизонту. Часть дна, покрытая водой, является сегментом с центральным углом 
2<р. Найти объем воды.
145. Три взаимно перпендикулярные прямые являются осями трех круговых цилиндров 
одинакового радиуса г. Определить объем общей части всех трех цилиндров.


332
§ 7. Общая схема применения определенного 
интеграла. Задачи из механики и физики
Гл. 4. Определенный интеграл
7.1. Аддитивная функция промеж утка.
Бели всякому сегменту [tv,/9], содержащемуся в фиксированном сегменте [а, 
6
], отвечает 
значение определенной физической или геометрической величины Р([а, /9]), то Р  называют 
функцией промежутка.
О п ред елен и е. Функция Р : [tv, /9] i-v P([tv, /9]), [tv, /9] С [и, b], называется аддитивной, 
если
Vy € 
]tv, 
/9[ => 
P([tv, 
/9]) =
P([tv, 
7
]) + Р([у, /9]).
Теорема. Пусть Р : [tv, /9] 
1

> P([tv, /9]), [tv, /9] С [о, Ь], — аддитивная функция, а р : 
[а, 
6
] —►
К, рС\а, Ь], такая функция, что Р([хо, х]) = р(х — 
Х о )
+ о((х — х0)), х —►
х0, 
Vxo € [о, 
6
]. Тогда справедлива формула
ь
Р([а, 
6
]) =
J
p(x)dx. 
(
1
)
а
7.2. Вычисление статических моментов, моментов инерции, координат центра 
тяж ести плоских кривых и фигур.
Пусть {Mj(xj, У] )} — система материальных точек плоскости хОу с массами т 3,  =
1
, п. 
Величины
П 
П
= £
»п,у>, 
I* = ^ 2 тзУ2
1>
9 = 1
9 = 1
называются соответственно статическим моментом и моментом инерции этой системы то­
чек относительно оси Ох.
Если на гладкой кривой 
7
= {(х, у) € М
2
: у = /(х ), а 
х ^
6
} равномерно распределе­
на масса с линейной плотностью р = 
1
, то статическими моментами и моментами инерции 
кривой 
7
относительно осей координат называются соответственно величины
М х
+ / '( х ) 2 dx,
I Х
ь
/ 2 ( * ) \ Я
+ / '( х ) 2 <2х,
4
а координаты ее центра тяжести 
6
'(£, ?/) вычисляются по формулам
,
М у 
М х
* = ~ Г
V = — ’
1)
(
2
)
(3)
где J — длина кривой 
7
.
Предположим, что криволинейная трапеция Ф лежит по одну сторону оси Ох и что она 
однородна. Статическими моментами и моментами инерции этой трапеции относительно осей 
Ох и Оу называются соответственно величины
ь 
ь
Мх = s-
g
J
f a(x)dx, 
My = sg u /(x ) 
J
xf (x )d x ,
а координаты ее центра тяжести С(£, »/) вычисляются по формулам
(4)
(5)
(6)


§ 7. Применение определенного интеграла
333
u S t l U
где Р  — площадь трапеции.
Если плоская однородная фигура имеет ось симметрии, то ее центр тяжести лежит на 
этой оси.
143. 
Определить координаты центра тяжести плоской 
фигуры.
-2 
£
62
Ф
= j o e J/)eR2 :^3- + | 7 ^ l , 0 ^ я ^ а, 0 < у < 6
< Применяя последовательно формулы (4) и (6), получим
а
3
" ' = т
=

а
му =ь J
х \ / 1  — 
dx =
Ьа
3
За2
т2
1 ---- 2
аг
об2
аЧ
3 ’

тгаб 
4 а 
, ,
тгаб 
46
^ =
=
ч = м * : — = з7
(поскольку площадь фигуры Ф равна 7га6). ►
1 4 4 . Найти моменты инерции 

и 

параболического сегмента Ф, ограниченногр 
2ах — х~
графиком функции х t—
r ----------- , 0 ^ х ^ 2а, и отрезком оси Ох,
а
4
Согласно формулам (5), имеем
2 а

1х = ~1
^ / (2“Х ~ 
dx


= / ** ( 2Х " т )
dX
= 5°4' *
145. 
Найти координаты центра тяжести однородного полушара радиуса а.
Ось 
Ог 
является осью симметрии полушара
Т  = {(я, у, z) € 
R3 

Я2 +
у2 + г 2 
^ a2, 

> 0},
поэтому центр тяжести находится на этой оси. Приняв шаровой пояс, нижнее основание ко­
торого находится на расстоянии z от плоскости я Оу и высота которого равна dz, за цилиндр, 
высота которого равна высоте шарового пояса, а основание равно нижнему основанию ша­
рового пояса (кругу радиуса г = у/а2 — г2), вычислим приближенно статический момент dM 
шарового пояса относительно плоскости я Оу, равный тг(а2 — z2)zdz.  Тогда
а
0
Поскольку объем полушара равен |jr a 2, го 
' 1

М _ 
2-па3 
8 ° ’
Следовательно, С'(£, »/, С) = (о, 0, |а ) . ►
146. 
Определить силу давления воды на вертикальную перегород- 
д 
в
ку в канале, имеющую форму полукруга радиуса а, диаметр которого % 
находится на поверхности воды.
Л Обозначим через /(я) длину горизонтальной прямой, проведенной 
на расстоянии х от А В  (рис. 69). Приняв полоску, содержащуюся меж­
ду горизонтальными прямыми, отстоящими от А В  на расстояниях х и 
x-\-dx, за прямоугольник с основанием /(я) и высотой dx, можем прибли­
женно вычислить давление Р([я, 
я
+ dx]), испытываемое этой полоской, применив правило




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   118   119   120   121   122   123   124   125   ...   135




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет