§ 3. Действительные числа
21
Аксиомы умножения
У.О. В
множестве R определена внутренняя бинарная операция — умножение
1 х Е -* К : (a, i) w а ■ к,
.
. ‘ *
которая каждой паре элементов
а, b € R однозначно ставит в соответствие некоторый
эле
мент множества R,
называемый их произведением и обозначаемый символом
а ■ Ь. При'этом
выполняются следующие аксиомы:
У.1.
(а ■ Ь) • с = а ■ (Ь ■ с) Va, b, с е R (ассоциативный закон).
У.2. В R существует элемент, называемый
единицей и обозначаемый символом 1, такой,
что Va € R справедливо равенство
а •
1
=
а.
У.З. Va € R \{
0
}
существует элемент a
-1
€ R, называемый
обратным числу
а, такой, что
а ■ a
-1
=
1
.
У.4.
а ■ Ь = Ь ■ a Va,
b € R.
Следовательно, множество ненулевых элементов множества R является
мультиплика
тивной абелевой группой.
Д.
1
. Операция умножения дистрибутивна относительно сложения, т. е.
a-(b +
c)
= a- b + a-
c
Va, Ь, с
6
R.
Множество
{а, Ь, с, . . . }, удовлетворяющее аксиомам С, У и Д, называется
числовым по
лем. Это же множество без аксиомы У.4 называется
телом.
А кси ом ы п о р яд ка
П.
0
. В
множестве R задано отношение
которое вполне упорядочивает R:
П.1. a ^ a Va € R (рефлексивность).
П.2, (а ^
Ъ
Л
Ъ ^
а) =*■ (а =
6
) (антисимметричность).
П.З. (а <
Ъ
Л
Ъ < с)
=> (а ^ с) (транзитивность).
П.4. Va,
Ь € R или a <
6
, или
Ь ^ а, или то и другое.
Следующие две аксиомы связывают отношение порядка и бинарные операции:
ПП.1. Если а,
Ь, с € R и а ^
Ь, то а + с ^
6
+ с.
ПП.2. Из
0
^ а и
0 ^ 6
следует
0
^
ab Va,
6
€ R.
А кси ом а о вер х н ей гр ан и
О п ред елен и е
2
.
Множество А С R
называется ограниченным сверху, если существу
ет элемент М С R
такой, что а ^ М Va € А , при этом число М называется верхней .
гранью множества А .
.. г*
О п ред елен и е 3.
Верхняя грань М* множества А называется т очной верхней гранью
множества А , если всякая другая верхняя грань М множества А не меньше числа
М *.
Точная верхняя грань множества
А обозначается символом sup А.
В.О. Всякое ограниченное сверху множество
А С R имеет точную верхнюю грань.
3.3. Расширенное множество действительных чисел.
О п ред елен и е.
Множество R = RU {—оо, +оо},
состоящее из элементов множества К
и двух символов —оо и +оо,
называется расширенной системой действительных чисел;
причем выполняются следующие условия:
а) —оо < a < +оо,
а
а
а — оо = —оо,
а + оо = +оо,
-----= - —
= 0
Va £ R;
—
00
+00
б)
если а >
0
,
то а ■ (—оо) = —оо, a • (+оо) = +оо;
в)
если а < 0, то а ■ (—оо)
= +оо, a
• (+оо)
= —оо.
Символ —оо +оо называется
минус (плюс бесконечностью.