2 . Доказать, что в множестве R имеются единственные нуль  к

24
Гл. 1. Введение в анализ
◄ Докажем, что произвольный элемент с £ R регулярен относительно сложения. В силу 
коммутативности сложения (с + а = с + Ь) 
(а + с =
6
+ с). Поэтому достаточно показать, 
что (с + а = с + Ь) =>■ (а = Ь).
На основании предыдущего примера и ассоциативности сложения имеем 
а = — с + (с + Ь) = (—с + с )+
6
= 0 +
6
=
6
.
Аналогично доказывается, что Vc £ R\{0} регулярен относительно умножения. ►
2 5 .
Обозначим Е  = {/} — множество функций / : А —►
А, А С 
R. 
Пусть на этом 
множестве определена внутренняя бинарная операция
Е 
х 
Е 
- *
Е 
:
(/, 
д) 
/
о д.
а) Показать, что эта операция ассоциативна.
б) Определить регулярные элементы этой операции.
◄ а) Для доказательства равенства
( / °д) 
0
h = f  о (д о к)
достаточно показать, что образы любого элемента х € А совпадают. Пусть х € А, и = к(х), 
v = g(u). Имеем
( ( / о 
9
) о h)(x) = ( / о д)(Цх)) = ( / О д)(и) = f(g(u)) = f(v),
(д о h)(x) = g(h(x)) = д(и) = v,
следовательно, ( / о (д о h))(x) = f ((g о h)(x)) = f(v),  т. е. образы элементов х совпадают и 
ассоциативность доказана.
б) 
Отображение / назовем регулярным слева, если ( f o g = f oh) =>( g = h ) , u регулярным 
справа, если (д о / = h о / ) ^ (д = h). Ясно, что отображение регулярно, если оно регулярно 
слева и справа.
Покажем сначала,- что отображение / регулярно слева тогда и только тогда, когда оно 
инъективно.
В самом деле, если / инъективно и f о д = f о h, то для любого х Е А
(/(Ч *)) =>{9 = h).
Если же / не инъективно, то на множестве А  существуют различные числа х н у ,  образы 
которых совпадают: f ( x) = f(y)- Выберем отображения д и к  такими, чтобы д{а) = х, 
h(a) = у для некоторого а Е А. Поскольку х Ф у, то из f o g = f o h  не следует равенство 
д = к, т. е. / не будет регулярным слева.
Покажем теперь, что / регулярно справа тогда и только тогда, когда функция / сюръек­
тивна.
Если / сюръективно, то Vi £ А существует такое u Е А, что /(« ) = х. Тогда 
Х 
(д ° f = к о f ) => 
= к(х)) 
V® Е А.
Если же / не сюръективно, то j o / = ко f  для тех отображений д и к ,  сужения которых 
совпадают на множестве f ( A) .  Однако отображения д и к  могут быть различны, поскольку 
могут принимать различные значения на множестве A \ f ( A ) .
Таким образом, для того чтобы отображение / было регулярно, необходимо и достаточно, 
чтобы оно было биективным. >■
2 6 .
Множество А  С R называется ограниченным снизу, если 3m Е К такое, что Va Е А 
выполняется неравенство m ^ а; при этом число m называется нижней гранью. Нижняя 
грань т * множества А  называется точной нижней гранью множества А, если всякая другая 
нижняя грань m множества А  не больше т*. Точная нижняя грань множества А обознача­
ется символом inf А.
Доказать, что всякое ограниченное снизу множество А  имеет точную нижнюю грань, 
причем, inf А = — sup{—А], где —А = {—ж}, х Е А.
◄ Согласно условию, З т £ К такое, что х ^ m V® £ А, откуда —х sj — т, т. е. множество 
—А  ограничено сверху. Согласно аксиоме В.О, 3sup{—А] = М *. Тогда —х ^ М* 'ix £ А, 
поэтому —М ' ' < х 'ix Е А, следовательно, —А/* — нижняя грань множества А. Если N 
— любая другая нижняя грань множества А А, то —N — верхняя грань множества —А, а 
поэтому —N  ^ М* = sup{— А}, откуда N  sC — М , так что —М* = — sup{—А} является точной 
иижией гранью множества А. М

25
§ 3. Действительные числа
2 7 . Доказать теорему Архимеда: если а > 0, а b — произвольное действительное число,, 
то существует такое п g Z, что (я — 
1
)а ^.Ь, па > Ь.
■4 Докажем сначала, что Эя € Ъ такое, что па > Ь. Для доказательства предположим 
обратное, т. е. ka ^ Ъ \/k g Ъ. Тогда множество {fca} ограничено сверху и, согласно аксиоме 
В.О, имеет точную верхнюю грань sup{fca} = М * ^
6
. Поскольку число М* — а не является 
верхней гранью множества {A:a}, то 3pa g {to} такое, что М * — а < pa ^ М*. Отсюда 
(p + l)a > М *, (р + 1) g Ъ, что противоречит определению числа М *. Источник противоречия. 
в предположении, что ka ^ b Vk g Z. Следовательно, существует число fe g Z такое, что 
ka > b.
Аналогично доказывается, что Эш g X такое, что т а < Ь. Сегмент [т а , fca], содержащий 
точку Ь, делится точками (m +
1
)а, ( т +
2
) а ,. . . , (к — 
1
)а на к — т сегментов; одному из них 
принадлежит точка Ь. Следовательно, существует n g Z такое, что (п — 
1
)а <С 
6
< па. ►
2 8 . Доказать, что для произвольно заданного положительного числа е существует такое
натуральное число я, что
1
- < £.
Я 
1
■

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: