0 9 . ' х 3 + xi dx. ◄ Имеем при х > 0, а также при х < — 1 I =

240
Гл. 3. Неопределенный интеграл
Возвращаясь к переменной х, окончательно имеем
8
х
2 + 2
х
— 3
1 ,
у
/ \
+
х ~ 1
+ 1
I = \ J х + :
24
+
8
1П'
• /
\ / W\
+ с .
►
dx.
1 1 0 ' 
1
(i + ^ i
)2
Здесь р = — 
2
. Применяя первую подстановку х = te, получаем
^ _ с f  
*8
- Л
_
2<2
+ 3 - т ^ - L l ] Л =
^
( Г
^
Л, = 8/ ( Т Т Р ? = 6/ ( ‘
(1 + <2)2
= - t s - 4t
3
+
5
ш - ,8/ г ! ё - 6/
t
2
i t
(1
+ t
2)2
Поскольку
(1
+ t
2)2
то окончательно имеем
1 ^ - \ Н
т
Ь ) -
2(ТТё) + 5 “ с' 8‘'
' - ! * ' - “3 + ш + т т ё
■
21
arctg t + С, 
t = х6. ►
i n
J
x dx
\ J 
1
+ y *
2
◄ В нашем случае m = 1, n =
p = — j и 
= 3. Положим l + i ? = t2. Тогда 
I _ f
x dx 
_
3
L
f2
_  
^2
dt _ 3(S _
2<3
+ 3( + c\
J у
1
-j-
где t = \ z l - T v ^ . ►
П 2 . / {/Зт — T3 
dx.
^ Здесь m = i , к =
2
, p = j и 
1
+ p =
1
. Положим З г
-2
— 
1
= t3. Тогда 
Поскольку (см. пример 73)
t3 dt
(t
3
+ l
)2
3 
1
V
3t 
3 
f
dt
2
J
 
d U
3
+ l J ~
2
(t
3
+ l) 
2 
J
 
t
3
+
1
то окончательно имеем 
I =
/ : lt
= l l n
(t +
1)2
j  <3 + i
6
t2 - t + 1
31
- I l n
(t +
1)2
2
(t
3
+
1
)
t2 - t + 1
1
2t -
1
+ Ж
* ^ л ~ -
2 t -  
1
T
arc,s V3
И"
где t — ^''3~ a!~i 
0
< a: < л/3, a; ^ — л/З- ►
Упражнения для самостоятельной работы
Найти интегралы от иррациональных функций:
Й
7
Г 
v/g+r 
j x
оя 
Г л/(»+
1
)(»+
2
) 
j
9 9
г
а7, J fv^+1-l
)2
“1- 
J 
2.
т
З + 9 * 2 + 18
я
+ 9
“*• 
JJ- J
dx
■
d x .
(+х+1-1)2 
J 2.г:
3
+9.т
2
+ 15л:+9 
J (v^+2'+l)^/v^+5'-l ’
100
. f 
Z
3- 1
- d x .
10 1
. Г - £ ± - .
102
. r B»
4
+T«»+«»
3
+
2
»±a
^ xyx
4
+ 3x
2
+ l 
y l —
x
2
— . 
- 
---- , 
104. 
Г
----- JdJ;___ . 
105. f
2x3-*2+*+]----dx.
( х 4 + 4 х 3 + 6 х 2 + 4 х ) у x 2 -f-2x*f 2 
J f x - f 2 ) 3
л
/
л
2 + 1 
J ( s 2 - * + l ) v * 2 + * + 1
tc3 —1 
».. 
i nrr 
Г 
dx
\ / l —x
2
^ 
y ^ + ^ + l
r 
______ _________ dx
_______ __ 
Ю
4
f 
д 
105 f
2х""~Д?* + -г'
J fr
4
x
4
r
3
xfii;
3
x
4
r)i/ ?~
2
д
.
9
.Ы
5
* ^ (x-f 
2
) 
3
-\/x2+T 
(x
2
—
X+
1
) y/x^
108. f & $ M d x .
106.. f X- J = d x .  
107. f ----
J xy/x4 + l 
J I 11'.д/Г+а

§ 4. И нтегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида
J
 
sinm xcosn xdx,
где т и п — целые числа, вычисляются с помощью искусственных преобразований или при­
менением формул понижения степени.
Найти следующие интегралы:
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций 
241
Г
co s4 X 
I -r~i— ях.
J  sin X
гегрируя по '
f ф
. 4,  = - I / с о , - , J Ш
= - i
+ , f  £
2
l f t o )  =
J sm 
X 
2 J
\ su r x ) 
2 \  sin
2
x 
J an x 
J
1 1 3 .
◄ Интегрируя по частям, получаем
3 
cos
3
x 
3 .
= - - c o s x ------
-------- - I n
2 
2 sm2 x 
2
x
t g 2
x ф кж, 
к € Z. ►
1 1 4 .
/ =
dx
◄ Аналогично предыдущему
[ dx -
 
_
f d (ct8x)
 
_ _
ct6a: 
_
f
 
™s2 
x dx _
 
cos x 
f  
J
sin3 x 
J
 
sinx 
-
sinx 
J
sin3 x 
x ~ ~
 si
„ 2
X ~ J
f dx _
1
J
sin
3
x 
2
f
dx
J  sill3 
X COS
5
X
dx
+ In
X
t g 2
, 
X.
 
COS 
X
-
.
tg 
n
~ iT'-' 
2
+ ^> 
х ф к ж . * -
2 s m X
1 1 5 .
•4 Имеем 
dx
f
dx 
f n
 
1
. 2
 
\ 3
^ t g x
_
1
У sill
3
x cos
6
a: 
у ^ 
' 
' tg3x 
2
tg2x
+ 31n |tg x | + | tg2x + i tg4x +
c ,
I ^ J .
►
l i e . / ^ . . v
■4 Очевидно,
J
i f f x d x  = ~ 
J
(sec2x — 
1
)
;d(sec
2
x) 
sec4x
— sec x 
— ln(sec
2
x) +
6
' =
А 
О
tg x 
tg x 
, 
. 
ir . ..
= —--------- - ------ In I COS XI + C, 
X
Ф -j- -f fcir,
4 
2 
2
j
tsv i , = /
■
-
1
) * =
^
-
J
-■
1
) i t  =
tg4x 
tg2x 
, ,
, . r, .
= —---------=------ In cos x + C. ►
4 
2 
' 
'
1 1 7 .
J
c t f f x d x .
◄ После очевидных преобразований имеем
/ сц6*^ _ 
J ct* x
 ( i “*)da: - 
~ / ctg2a: 
=
= -
+ £ ^ |! i - ctg X - X 
+ C, * * * * .►
5
3

242
Гл. 3. Неопределенный интеграл
118.
/;
dx
■4 Полагая 
Г = sin я, х ф 
им еем
/
dx 
_
[
_____ d (sin х)________ ч [
dt 
_ 3 f
dt 
± 3 [
dt
cosx^ sin 2 x 
J
 
( 1 _ й п а * 4 ( ^ 2 X) |
J
 
1 _<6 
2 / l - l 3 + 2 j l + f 3
= - -
1
л
(1 
— sin
2
x)(sin
2
x)i
1 , 
(1
-
t f
л Д
A 
2
t + 1
1 . 
(1
+
t f
л/з 
2
t -
1
4
+ ^ “ C‘* ^
+ 4
i t l T T + T
-
-
1 . (1 +
t f ( t 2 + i
+ 1) 
1/3
\/3 t
= ; :"■ 
, + 1)(< -
1
, . +
1
-
r b ? + c ►
119. 
Вывести формулы понижения для интегралов:
/
„ 
. 
[
dx
sin"xdx; б) 
Кп = I
------ > 
п > 2 .
J  
cos" 
х
< Интегрируя по частям, получаем:
1„ =
—
 
J
 
sin
" -1
х d 
(cos 
х) 
— — cos 
х 
sin
" -1
х 
+ (n — 
1
) 
J
 
sin
"-2
x  
cos
2
x d x
=
= — cos x sin
" -1
X 
+ (ll — l
)/„_2
— (»* — 1)A>>
откуда
I„
= — ((» — l
)/„_2
— cos x s in " 1 x), 
n -
3, 4, 
n
r^- 
/ d(sinx) 
sinx 
.
' 
J
 
cos
n+1
x 
cos
n+1
x 
1 
' J
(
s
"+2
■
ЙХ :
— (n + l).ftn
+2
+ (n + l)^ n i
откуда
n
+ 2
(и + 1) COS
n+1
X 
11 + 1 
С помощью формул:
I. sin a sin fd = -(cos(« — Id) — cos(« + /3));
II. cos «cos fd = ~(cos(o: - fd) + cos(cv + /3));
III. sin cvcos fd = i(sin (« - fd) + sin(cv + /3)) 
найти интегралы:
120
n e :
S"+! :
x ^ - + fcir, fee:
/
X 
X
sin x sin — sin — 
dx.
4 Имеем
/
. x . x
1 f
( 
x
3 x \ . x ,
sin x sin — sin — ox = - / 
c o s ----- cos — sin 
— dx —
2 
3 
2 J \
2 
2 /
3
, 
1 /
( 
x 
. 5x 
. 7x
l l x \ ,
= i
J
t - sin6 +smT + sinT - sm“r J
dx =
i 
OX 
o 
IA 
<* 
_л±л> 
1 f t  ^
- COS - - — cos —----TT cos ~a----1" 7) COS ~K~ + ° ^
2 
6 
10 
6 
14 
6 
32 
6
l - / “
sin3 2x cos2 3x dx.
1 2 1
.
^ Используя формулу III, имеем
J
 
sin3 2x cos2 3x dx = 
~ 
J
{3 sin 2x — sin 6 x )(l + cos 6x) dx 
=
=
^ 
J
 
^3 
sin 2x — 
^ 
sin 4x +
^ 
sin 
8x 
— sin 
6x 
— 
^ 
sin 
12x^ 
dx =

§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
24а
3 
3 
3 
1 
1
= —— cos 
2
х Н-----cos 4 х --------cos 
8
х Н----- cos 
6
х + —— cos 12х + С. ►
16 
64 
128 
48 
192
Применяя формулы:
IV. sin(« — /У) = sin((x + cv) — (х + /У));
V. cos(« — /У) = cos((x + cv) — (х + /У)), 
найти интегралы:
1 2 2
. [  _
------ р — ----- -
J  sin(x + a) sm(x + о)
4  Имеем
[  
<Ух 
_ 
1 
/" sin((x + а) — (х + Ь)) ^ _
J  sin(x + a) sin(x + b) 
sin(a — b ) J  sin(x + a) sin(x + b)
_
1
( f  cos(x +
6
) ^ 
f  cos(x
sin (a — b) \ J
 
sin(x + ft) 
J
 
sin(x
x + a)
+ a)
dx I =
sin (a — b)
In
+ C,
sin(x +
6
) 
sin(x + a) 
sin(e — b) ^
0
. ►
1 2 3 .
/
-
J
Sill 
X
dx
■
sm a
◄ Из тождества cos a = cos 
следует
J  sin a :- s in a 
2
cos a J  
sin 
cos £±£ 
cos a
д г + а
+ Су
cos а ф 
0
, sin x ф sin a. ►
J
 
tg x tg (x + a) 
dx. 
еем
f (
c o s x c o s f x
+ a) + sin x sinfx + a)
t gxt g( x + a)dx = / 
---------- ---------—
i-------
- - 1
J \  
c o s x c o s ( x + a )
1 2 4 .
■4 Имеем
J
cos a
cos x cos(x + a)
dx =
dx — x = —x + ctg a In
cos(x + a)
+ c ,
sin а ф 0, 
cos x ф 
0
, 
cos(x + о) ф 
0
. ►
Интегралы вида
/
« » 
1
i
R
(sin 
x y
cos ж) 
d x y
где 
R
— р а ц и о н а л ь н а я ф у н к ц и я , в общ ем с л у ч а е п р и в о д я т с я к и н те гр и р о в а н и ю р а ц и о н а л ь н ы х
ф у н к ц и и с п о м о щ ью п о д стан о вк и tg
~ — t .
\
а ) Е сл и в ы п о л н ен о р а в е н с тв о
K (—sinx, 
cost
) = —К (siu а?, 
90
s а?)
и л и
R (sina?, — 
cost
) 
= —R ( s iiiT , 
cost
),
т о в ы го д н о п р и м е н я т ь п о д стан о вк у
cost
= t и л и со о тв етств ен н о s in T = t .
*
б) Е с л и вы п о л н ен о р а в е н с т в о
1 .. 
)
R ( —
siiiT , — c o s
т) 
= R ( s in T , 
cost
), 
т о п р и м е н я е м п о д стан о вк у tg T = t.
’ 
■
:,х «
Найти интегралы: 
'

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: