2 5 . 1 = [ — ------ ^ -----------

М Полагая t = tg | , (2п -  
1
)
7
Г < х < (2п + 1)ж, п £ Z, получаем
244 
Гл. 3. Неопределенный интеграл
1 
. 3< + 1 , ^
1 
, 3 tg | + 1 ,
-------- -- = —p r a r c t . g — т=— Ь С п = —т = a r c t g -------
7
= ---------г ^ п -
2t + 2 
у/5 
х/5 
х/5 
л/5
/ = / ____ *
J
3<2 +2
Из непрерывности первообразной следует
1{2пж + ж — 0) = 1(2пж + ж + 0), 
—
+ 6'п = — т= + C'„+i,
2\/5 
2V5
откуда находим Сп =
+ С, где С = Со — произвольная постоянная. Из неравенств
2шг < * + я < (
2
?t +
2
)тг; м < 
< п +
1
следует, что п = [ ^ - ] • Таким образом,
, 
1
3 tg - +
1
ж
I = 
arctg ------—------
1
- —
7
=
у/Е 
у/Е 
у/Е
X + ж
2ж
+ С, 
х ф (
2
п +
1
)тг;
I  -
Jim 
/(.г) =
ж, 
х = (
2
н + 
1
)тт, п £ Z. ►
.г*—*(2п+1)тг 
2л/5
1 2 6 . /
■ / >
sin
8
ж + cos
8
ж
- dx.
М Положим t = tg2x, 
— т < х < f + ^ r , w £ Z. Тогда
Г _ f
t2 dt 
=
1
+ л
/2
у
J
<4 +
8
t
2
+
8
2
J
dt
у / 2 -  
1
_____________
Z l f
________
t
2
+ 4 + 2 л / 2
л / 2
i 1 Н 4 - 2 л / 2
t
dt
V 2 + V2
arctg
t 
_ y / 2 - y / 2
\ / л + Ь Д  
4
t 
tg 
2
x
: —---------- a r c t g --------
a r c t g
\ Л -
2
л
/2
V/ i +
2
V l 
4
Из условия непрерывности первообразной следует
г /тг 
пэт 
\
г /тг , ?гтг , п\
^ ^
Чт + т ~ и) = Чт + т + 0) ’ ие2,
\ j 2 + y/2 ж 
y/'l + у
/2
\ / 2 - у Д
t 
t g
2
х
, ^
------- — ------a r c t g — , 
+ С „ .
\ / 4 - 2
у
Д
- + Сп = -  
4 
2 
4 
2
откуда (по аналогии с примером 125) находим
\ / 2 + \ / 2
тг 
\ / 2
\ / 2
7г
4
2 +
4
2 + С " + 1 ’
С'„ = ^ \ / Г + 7 ! - \ / 2 - у / 2 ] п + С, 
С = Со,
C'n = J
(\/2
+ 
^2
- \ / 2 - у ! )
4 т + 7Г
Следовательно,
/ ( I ) = V ^ + Z arctg . 
tg 
2
.r
^ 4 + 2x72
Ч
2
- V
2
tg 
2
®
4 
* 
+
+ I ( '
v
/2
+ ^ - \ / 2 - V 5
'(1 + т ) =Л “ - ,(11-
1 2 7 .
Доказать, что
dx
/ _____
J ( a s iiu
A sin x + В
: + b 
cost
)7* 
(asinx + icos 
где И, В, С — неопределенные коэффициенты.
1
cos х 
, [ __
1
ST)”- 1 +
' J {as
dx
sin х + b cos x)
i - 2 >

§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
245
М Интегрируя по частям, получаем
* _ [ d(—act
п J
 
(a sin х
— а cos х 
4
b sin х) _
— a cos х 
4
ft sin х 
4 b c o s x )n+I 
(а sin х + bcos i
)rl+1
- (н +
. f  ((l cos X
J
(a sin i
— bsin x
)2
dx _
_
— a cos x 
4
bsin x 
, 
. / (a
(asin x 
4
bcos x)"+* 
W 
J
откуда
In
=
/ (sin
(?г — l)(a
2
4
b2) 
dx
(n - 2)In-2 +
+ bcosx
)n+2
cos i — bsin x
)2
4
(b cos 
1
4
a sin г
)2 
(a sin x 
4
b cos x
)n+2
b sin x — a cos x
dx,
(a sin x + b cos x
)n_1
J
1 2 8 .
Найти , , .
i x +
2
cos x
)3
M Используя доказанную выше формулу, находим
/з
= ± ( 7 _
10
y j  sinx
dx
2
sin х — cos x
+
2
cosx 
(sin x 
4
2
cos x
)2
‘V f + W
l
■
( . i ^ + z o o , , ) 1
2
sin x — cos x 
1
, ,, 
, ,
+ >_•: T 
1
„ 
x ф kit — arctg 
2
. ►
/ ( “
1 2 9 .
Доказать, что
dx 
И sin
111
T + B [
os x
)n_1
J
dx
+ C J
dx
i + bcosx)n 
(a + bcosx)n 
1
' 
J  (a 
4
bcos x)"~l ' ^ J  (a 
4
bcos x
)"~2
’
и определить коэффициенты А, В и С, если п — натуральное число, больше единицы. 
◄ Интегрируя по частям, получаем
“I Ф 1М>
т 
— f  
dx 
_ f  
а
" 2 
J
(a + b cosx
)’1-2
J
(a 
4
4
bcos x
4
b cos x
)n_1
dx = a/„_i 
4
b
/
(a 
4
bcos x)n_l
_ r 
b sin x 
, 
. f
b2 sin
2
x
" 
1
( a
4
bcosx
)n_1
И 
^ 
J
( a
4
bcosx)n X>
(a 
4
bcos x)”
откуда, используя тождество b
2
sin
2
x = - ( a
2
- b2) 
4
2
a(a 
4
bcos x) - (a 
4
bcos x)2, находим
J Sill j] 
<5
(a 4~bcos x
)’*-1
+
~ b2Kn ~~ ^ In ~ 2a(n ~  
1)7n“ 1
+ (” “ У 1»-*,
b sin x 
(2n - 3)a 
T 
n — 2
■bn
—2
—
u l n —i
4
In = —
(n — l)(a
2
— b2)(a 
4
b cos x)
+ (n — l)(a
2
— b2)
bn-i —
Таким образом,
A = -
(n
 — l ) ( a
2
— b2) 
n — 2
In-2-
b 
в  =
(2и ~ 3)« 
r , _______________
(n —
 l)(a2 —
 b2) ’ 
(n-l)(a2-b2)’ 
( « - l)(a2 - b2)'
1 3 0 .
Найти
/г
dx
если: а) 
0
< e < 
1
; б) e >
1
.
4
с cos х
•4 Положим t = tg f , (
2
n - 1)тг < x < (2n 4 l )
7
r, n € Z. Тогда
a ) b =
V T ^
2 
t 
~ 
= arctg 
4
C,
_ f
dx______ 2 
f
dt
J  1 4 £ cos 
X 
1
— 
S 
J  
<2
_|_ i±£ '
Vi - £ tg I
VI 4 e
VT=V
: arctg •
V T + i
4 Cn.
Аналогично решению примера 125 находим
2 
V l - е tg I
/ =
v r
: arctg
Vi 4 £
4
27Г
v r
i 4 r
27Г
4 6
', 
x Ф (2n 4 l)?r,
Ь((2
п
4
1
)
7
г
) =
lim 
I (x),
X-^(2n+l)7T

246
Гл. 3. Неопределенный интеграл
б) 
1
=
: 1П
dx
+ С, 
х ф 2мг +
it
. ►
Ve2 -
1
1 3 1 .
Найти /
(1 + £ COS х ) 2
4
Применим формулу, полученную в примере 129. Полагая а = 1, 6 = е, п = 2, получаем
-, если 0 < е < 1.
/(* )
■
/
dx
1
| —£ sin х 
f
dx 
\ _
l 1 + £ 
COS 
X 
J
1 + 
£ COS 
X 
J
( l + £ C O S X
) 2
1 — 
£ 2
\ l + £ C O S X ' 
J  
1 + S C O S X
e sui x 
2 
y/\ — e tg |
2тг 
Г x + я
= —
f -
1 
- £ 2 
^1
+ - 7
=
a r c tg - / 
" 2 + - ^ = 1 ^ 1 1 ^ +C,
€
COS 
X
— £2 
1 -|- 
£ 
-\J\
— 
t 2
I- 2
jt
j
у
\ / 1 + e
\ / l — e 2 L 2 i r
x ф 2rnr + ir,
/(2
ht
+
t
) =
lim 
/(x). ►
x —»
2
n j r + j r
Упражнения для самостоятельной работы
Найти интегралы от тригонометрических функций:
1 0 9 - 
т- 
1 1 0 - 
I
s i n ^ x t ^ - 
11Х-
114- /
112
.
J 
(S1
dx
d x
sin х co s x - ^ s i n
4
x + c o s
4
x
r 
115. f
i n 4 
/r 
*■'
co s x + s i n x
\/ s i n
2
x
dx
( s in x
+ 2
se c x
)2
*
• 
1X6- /
it
£
f
§ 5. И нтегрирование различных трансцендентны х 
функций
1 3 2 .
Доказать, что если Р(х) — многочлен степени и, то
/
Р(х) еах dx = еах ( 
+ . .. +
) + С.
' 
' а
а2 
ап+1
М Доказательство проводится с помощью метода интегрирования по частям. Имеем 
J
Р{х) еах dx = —еахР(х) — — 
J
е.ахР'(х) dx =
Применяя метод математической индукции, находим
+ (-1)fc+1XTT 
J eaxpik+1Hx)dx<
к^ п-
Положив к = п и приняв во внимание, что Р<п+1)(х) = 0, получим требуемую формулу. ► 
1 3 3 .
Доказать, что если Р(х) — многочлен степени п, то
/
P (x)cosax dx =
sin ах
Р"{х) , P><*)
+ ^ 1 ( р Ч х ) _ ^ М
+ р ^ М
2 
а4
а*
.. + С и

i 5. Интегрирование трансцендентных функций
247
/
Р( х)
sin 
ах dx
Р ( х ) ~
Р"( х) , P (1V)(x)
М При доказательстве используем пример 132. Заменяя там 
а
на 
га,
где * =
л/—1,
полу-
/
Р(х) е'ах dx = е'
Р(х) | Р '(х) . ,Р " (х )
+ «-
+ • • • + С.
Пользуясь формулой Эйлера и разделяя действительные и мнимые части, находим требу­
емое. ►
1 3 4 .
Доказать, что интеграл 
J
R ( x ) e ax dx, где R — рациональная функция, знамена­
тель которой имеет лишь действительные корни, выражается через элементарные функции и 
трансцендентную функцию
где И
ii=7
/:
■ dx 
— li (еах) + С,
dx 
In х
◄ Рациональная функция представляется в виде
R ( x ) = *i
М
Щ х )
N ( x ) ’
где М ( х ) и N(x) — многочлены. Выделяя целую часть (если он4 имеется) рациональной 
функции, получаем 
. 
.
т » .
Aki
R(x) = P(*) + E Y , 7 T ^ b ’
(х - х ку
к 1=1 '
где т * — кратность корня х,, А ч — неопределенные коэффициенты. Наконец, интегрируя 
R (х), получаем
J
R ( x ) e ax dx =
J
P{x)eaxdx + 
^ ^ 2 A k i j
t Xky 
dx-
Первый интеграл вычисляется /-кратным интегрированием по Частям (/ — степень мно­
гочлена Р(х)). Вычисляя второй интеграл, находим
1
, _

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: