Математика класс Всероссийская олимпиада школьников «Высшая проба» этап, 2022

Математика 
 
7 класс 
Всероссийская олимпиада школьников «Высшая проба» 2 этап, 2022 
1 
Время выполнения заданий – 240 минут 
Максимальное количество баллов - 100 
 
Задание 1 (10 баллов) 
 
Гражданин Сидоров на 6 лет старше своей жены гражданки Сидоровой. Однажды Сидоров 
обнаружил, что ровно половину своей жизни он провёл в браке с Сидоровой. Ровно через 
14 лет после этого Сидорова обнаружила, что она провела в браке с Сидоровым ровно две 
третьих своей жизни. Сколько лет будет гражданину и гражданке Сидоровой, когда они 
отпразднуют золотую свадьбу – пятидесятилетие своей супружеской жизни? 
 
 
Задание 2 (15 баллов) 
 
Петя записал в ряд 2021 число, отличное от нуля, и перемножил все пары соседних чисел. 
Среди полученных произведений оказалось 1010 положительных и 1010 отрицательных 
чисел. Вася записал все исходные числа в том же порядке, но по кругу, и тоже перемножил 
все пары соседних чисел. Сколько среди этих чисел будет положительных и сколько 
отрицательных? Ответ необходимо обосновать. 
 
 
Задание 3 (15 баллов) 
 
Можно ли разрезать прямоугольник 6х7 на кресты из пяти клеток, фигурки Г-тетрамино и 
фигурки Т-тетрамино (см. картинку в конце текста)? Если можно, то сколько 
пятиклеточных крестов может быть в таком разрезании? 
Задание 4 (20 баллов) 
Пара различных натуральных чисел (a,b) называется удачной, если сумма наибольшего 
собственного делителя числа a и наименьшего собственного делителя числа b равна сумме 
наименьшего собственного делителя числа a и наибольшего собственного делителя 
числа b. Существует ли миллион удачных пар? Собственный делитель натурального числа 
– любой делитель, отличный от 1 и самого числа. 
 
 
Задание 5 (20 баллов) 
 
Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. На стороне AC 
выбрана точка K такая, что угол CBK составляет 15°. На луче BK отмечена точка M такая, 
что угол ACM составляет 90°. Докажите, что AC=BM. 

Математика 
 
7 класс 
Всероссийская олимпиада школьников «Высшая проба» 2 этап, 2022 
2 
Задание 6 (20 баллов) 
Имеется 999 палочек длин 1, 2, 3, …, 999. Их выкладывают по кругу в некотором порядке. 
Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить 
треугольник? 
Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.