Математика пәнінің жаңа бағдарламасында «кез келген адам өз өмірінде кездесетін күрделі есептерді орындау: кесте, диаграмма, график түріндегі ақпаратты оқи алуы қажет» делінген
жүктеу/скачать 1,94 Mb.
|
ТУЫНДЫ ҰҒЫМЫ
- Бұл бет үшін навигация:
- , . Соңғы шаманы
| 1.2 Функцияның туындысы
Функцияның туындысы деген не? Шек ұғымы функциялық тәуелділік ұғымы сияқты математикалық талдаудың маңызды концепцияларының бірі. Математикалық талдауда негізгі үш амал бар, олар: қосу, көбейту және шекке көшу. Басқа амалдардың барлығы осы амалдарға туынды амалдар болып табылады. Қосу мен көбейту мектеп математика курсының негізгі амалдары болып табылатыны баршаға аян. Шек ұғымының негізгі қолдануларының бірі – туынды, дәлірек айтқанда, функцияның туындысы шекке көшу амалы арқылы анықталады. Дифференциалдау мен интегралдау ілімдері математикалық талдаудың негізгі (орталық) бөлімдері болып табылады. Туынды туралы көптеген тұжырымдарды білеміз, соған қарамастан біз, біріншіден, оны тереңірек түсіну үшін, екіншіден, өзіміз үйренген туынды концепциясын толықтырып, тереңдетіп және кеңейту үшін бұл ұғыммен тыңғылықты және тиянақты айналысуымыз керек. тәуелсіз айнымалысының нүктесінің қандай да бір маңайында анықталған функция болсын. Егер біз нүктесінен осы маңайға тиісті нүктесіне көшетін болсақ, онда функциясы өсімшесіне ие болады, ал аргументтің өсімшесі деп аталады; оң да, теріс те бола алатынын атап кетеміз, яғни нүктесі нүктесінің оң жағында да, сол жағында да жата алады. Егер біздің тәуелсіз айнымалысы өзгергенде шамасы (функциясы) қаншалықты тез өзгеретіндігі жөнінде мәлімет алғымыз келсе, яғни функциясы аргументтің осындай өзгерісіне қаншалықты сезімтал екендігін білгіміз келсе, онда біз, әрине, қандай да бір тәсілмен тәуелсіз айнымалысының өзгеруі мен функциясының оның ( тәуелсіз айнымалысының) өзгерісі салдарынан пайда болған өсімшесін сәйкестендіріп салыстыруымыз керек. Бұл мақсатта функциясының тәуелсіз айнымалысының өсімшесінің бірлігіне есептелген орташа өсімшесін беретін (1) қарастырады. Бірақ бұл есептеу -тың нақты мәні арқылы жүргізілген болғандықтан, жалпы алғанда, -тың әртүрлі мәндерінде әртүрлі нәтиже беретін болады. Қойылған мәселе бірмәнді шешілуі үшін шамасын қандай да бір бірыңғай принципке негіздеп таңдап алуымыз қажет. Егер мақсатымыз ретінде функциясының нүктесіне жақын жердегі мінезін зерттеу болатын болса, онда шамасын неғұрлым кішкентай етіп алсақ, функциясының «өзгергіштік» мөлшері ретінде алған (1) шамасы біздің талабымызды соғұрлым көбірек қанағаттандыратын болады. Шын мәнінде, (1) шамасы функцияның кесіндісіндегі «орташа өзгергіштігін» көрсетеді, ал ол кесінді шамасы неғұрлым кіші болған сайын нүктесіне соғұрлым жақындай түседі. Осы пайымдаулардан кейін, шекке көшу ұғымымен таныс бізге, қойылған мәселені неғұрлым қанағаттанарлықтай етіп шешу үшін функциясының нүктесіне жақын жердегі өзгеруінің сипаттамасы ретінде (1) шамасының жағдайындағы шегін (бұл шек бар деп есептей отырып) қарастыру керек екендігін, яғни (2) шамасын қарастыру керек екендігін түсінуімізге болады. Өзге де жалпы қабылданған белгілеулер бар: , , . Соңғы шаманы функциясының нүктесіндегі (немесе « жағдайындағы») туындысы деп атайды. Сонымен, берілген функцияның берілген нүктедегі туындысы бұл функцияның берілген нүктенің оған өте жақын маңайындағы салыстырмалы өзгергіштігін сипаттайды; неғұрлым үлкен болған сайын шамасы шамасының бастапқы мәнінен өте аз ауытқуының өзіне өте сезімтал болады; шамасының таңбасы осы өзгергіштіктің бағытын сипаттайды: шамасының бастапқы мәнінен өте аз ауытқуының салдарынан функциясының өсуі немесе кемуіне байланысты, сәйкесінше, шамасы оң немесе теріс болады. Егер функциясын графиктік түрде бейнелейтін болсақ, яғни аталған функцияның графигін тұрғызатын болсақ, онда бізді қызықтырып отырған өзгергіштік шамасы өзінің мәнінен өткенде сызылған қисық қаншалықты тік көтерілетіндігін немесе түсетіндігін бейнелейді. Дәл терминдерде туынды функциясының графигіне аргументі нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті арқылы бейнеленеді; бұл қасиетті математикада туындының геометриялық мағынасы деп атайды. Туындының ең нақты және қарапайым түсіндірілуі тәуелсіз айнымалысы уақытты білдірген жағдайда мүмкін болады. Бұл жағдайда (1) шамасы шамасының уақыт аралығындағы өзгеруінің орташа жылдамдығын білдіреді, ал туындысы бұл өзгерістің уақыт мезетіндегі «нақты жылдамдығын» білдіреді. Дербес жағдайда, егер функциясы қозғалыстағы нүктенің (материалдық нүктенің) тұрақты уақыт мезетінен уақыт мезетіне дейін жүрген жолын білдіретін болса, онда туынды ұғымы механикадағы лездік жылдамдық ұғымымен дәл келеді, яғни бұл жағдайды функцияның нүктедегі туындысы қозғалып келе жатқан нүктенің осы нүктедегі (уақыт мезетіндегі) лездік жылдамдығына тең болады; бұл қасиетті ғылымда туындының механикалық мағынасы деп атайды. Зерттеліп отырған құбылыстың локальдік (жергілікті) сипаттамасын нағыз маңызды қатынаста – өзара байланыстағы екі айнымалы шаманың бірінің өзгерісі салдарынан екіншісінің өзгеруін сандық қатынаста бағалауы туындының математикалық талдаудың қолдану өрісінде: механика, астрономия, химия, биология және де жаратылыстану ғылымдарының басқа салаларында маңызды рөлге ие болуына мол мүмкіндік ашады. Адам (оқушы) туынды ұғымын бірінші рет естігенде «неге туынды деп аталады? Әңгіме шек, сан, өсімше туралы болып отырған жоқ па?» деген сұрақтарды қоюы әбден мүмкін. «Туынды» деген сөз «функцияның туындысы» дегеннің қысқаша түрі. Барлық пайымдаулар мен есептеулер кесіндісінің (тұйық аралығының) ерікті түрде алынған (бір ғана) нүктесінде жүргізілгендіктен, біз осы пайымдаулар мен есептеулерді осы аралықтың кез келген нүктесі үшін (әр жолы есептегелі отырған шек бар деп санай отырып) жүргізе аламыз. Осы тәсілмен алынған функциясы функциясының туындысы деп аталады. Бұл барлық ойқорытулар туынды функцияның тұтас кесіндісіндегі емес, ал оның жекелеген нүктелерінің нақты өте кішкене маңайындағы мінезін сипаттауға бағытталған және берілген аралықтың әр нүктесінде ерекше есептелінетін берілген функцияның локальді (жергілікті) сипаттамасы деген негізгі фактіде ештеңе өзгертпейді. Егер нүктесінде функциясының туындысы бар болса, онда функциясы нүктесінде дифференциалданады деп аталады немесе дифферециалданатын функция деп аталады. Егер де кесіндісінің әрбір ішкі нүктесінде функциясының туындысы бар болса, онда функциясы кесіндісінің ішінде дифференциалданады деп аталады немесе дифферециалданатын функция деп аталады. Функцияның дифференциалдануы, оның үзіліссіздігі сияқты, локальді қасиет екендігі түсінікті. нүктесінде үзіліссіз функция ғана осы нүктеде дифференциалдануы мүмкін; бұл (1) өрнектегі бөлшектің бөлімі нольге ұмтылғанда шектің бар болуы үшін осы бөлшектің алымының да нольге ұмтылуы қажеттігінен көрініп тұр, ал бұл өз кезегінде функциясының нүктесінде үзіліссіздігін білдіреді. Кері тұжырым, жалпы жағдайда, дұрыс емес; үзіліссіз функция дифференциалданбайтын болуы да мүмкін. Осындай ең қарапайым мысалдардың бірі ретінде (1.1-сурет) функциясын келтіруге болады; бұл функцияның бүкіл сан түзуінде үзіліссіз екендігін дәлелдеу қиын емес. Нақты санның модулінің (абсолют шамасының) анықтамасын қолданып функциясын ашып жазамыз: Сондықтан , яғни . Демек , және және болады. Сонымен, оң жақты және сол жақты туындылар бар болып, олар нүктесінде өзара тең емес, демек, нүктесінде функциясының жай (екі жақты) туындысы жоқ. Егер нүктесінде функциясының оң жақты және сол жақты туындылары бар болып, бірақ жай туындысы болмаса, онда нүктесі функцияның сыну нүктесі деп аталады. нүктесі функциясының сыну нүктесі болады. Екінші мысал ретінде графигі 1.2-суретте келтірілген функцияны қарастыруға болады, бұл функцияның аналитикалық өрнегін келтіріп жатудың қажеті жоқ, функция үзіліссіз, бірақ нүктесінде (1) өрнектің және болғандағы шектері бар бола тұрып, өзара тең болмайды, бұны геометриялық тұрғыдан нүктесінде берілген қисықтың анықталған нақты жанамасы болмайды деп түсіндіруге болады. Жоғарыдағы екі мысал үзіліссіз функцияның жеке алынған нүктеде туындысы болмайтындығының мысалдары, дей тұрғанмен олардың осы туындысы жоқ нүктелерде сол жақты және оң жақты туындылары бар. Туындысы жоқ функциялар қарастырылғанда жағдай ылғи да осылай бола ма? Үзіліссіз функция бұдан да тереңірек мағынада дифференциалданбайтын жағдайлар бар екенін көрсетелік. функциясын қарастырайық. Графигі 1.3-суретте бейнеленген. Осы функцияның нүктесінің маңайындағы мінезін анықтайық. Кез келген үшін және болғандықтан , біз, берілген функцияның нүктесінде үзіліссіз екендігін көреміз. Бірақ нольге ұмтылғанда, мысалы, оң жағынан ұмтылғанда , ал 1 мен аралығында шексіз рет тербеледі; тізбегін алатын болсақ, онда , және жұп (яғни ) болғанда , ал тақ (яғни ) болғанда . Сондықтан және түзулері арасында шексіз рет тербеледі де, (1) өрнек түріне келтіріліп, өзінің дербес шектері ретінде кесіндісінің кез келген мәнін қабылдай алады; оның жоғарғы шегі -ге тең, ал төменгі шегі -ге тең. нольге сол жағынан ұмтылған жағдайда да тап осылай болады; сонымен нүктесінде берілген функцияның сол жақты туындысы да, оң жақты туындысы да жоқ. Жалпы жағдайда (1) өрнектің болғанда да, болғанда да жоғарғы және төменгі шектері бар болады; бұл төрт шекті берілген функцияның берілген нүктедегі туынды сандары деп атайды; олардың әрқайсысы сан да бола алады, және символдарының бірі де бола алады. Сонымен, кез келген функцияның кез келген нүктеде (нүктенің қандай да бір маңайында анықталған болған жағдайында) төрт туынды саны бар болады: оң жақты жоғарғы, оң жақты төменгі, сол жақты жоғарғы, сол жақты төменгі. Егер оң жақты екі туынды сандар тең болса, онда берілген функцияның берілген нүктеде оң жақты туындысы бар болады және ол туынды туынды сандарға тең болады. Дәл осылай, егер сол жақты екі туынды сандар тең болса, онда берілген функцияның берілген нүктеде сол жақты туындысы бар болады және ол туынды туынды сандарға тең болады. Төрт туынды сан да ақырлы болып, өзара тең болса (және тек осы жағдайда ғана) функция берілген нүктеде дифференциалданады. Қандай да бір нүктеде төрт туынды сандардың барлығы да шексіз болатын жағдайлар бар. Мысал ретінде функциясын келтіруге болады. Бұл функцияның нүктесіндегі төрт туынды сандарының барлығы да шексіз екенін көрсетуге болады. Егер жоғарыдағы суреттегі функция бейнесі әртүрлі нүктеде әрқилы екенін ескерсек, онда бір ғана функцияны дифференциалдауға қатысты қарастырғанда оның қандай күрделі құбылыс болатынын аңғаруға болады. 1.3-ші суретте бейнеленген құбылыс тек қана оқшауланған нүктелерге ғана тән деп айтуға болмайды. Әр нүктеге қатысты құрылымы өте күрделі болатын және тұтас бір аралықта немесе бүкіл сан түзуінің бір де бір нүктесінде дифференциалданбайтын функциялар бар. Бүкіл сан түзуінде үзіліссіз, бірақ ешбір нүктеде дифференциалданбайтын функция мысалы ретінде Вандер-варден алғаш қарастырған қатар мен тригонометриялық функциялар арқылы өрнектелетін функцияны атап кетуге болады. Туынды сандарды қолдану мысалын қарастырайық. Дифференциалданатын функциялар үшін олардың өсу мен кемуге қатысты сипаттамасы функцияның туындысының таңбасымен тығыз байланысты. Егер кесіндісінің барлық нүктелерінде болса, онда – осы кесіндіде (сегментте) кемімейтін функция, ал егер кесіндісінің барлық нүктелерінде болса, онда – осы кесіндіде (сегментте) өспейтін функция. Функцияның өсуі мен кемуінің бұл белгілері олардың қолдану аясы көлемінде, яғни берілген функция дифференциалданатын болған жағдайда артық ештеңені қолданбай-ақ қою мүмкіндігін қамтамасыз етеді; бірақ функция дифференциалданбайтын болған жағдайда бұлар тәріздес белгілер ештеңе бермейді; соған қарамастан онша терең емес зерттеулердің өздері функцияның өсуі мен кемуінің оларға ұқсас белгілері барлығын және ол белгілердің функцияның дифференциалданатын-дифференциалданбайтындығына тәуелсіз екендігін көрсетеді. Бұған көз жеткізу үшін келесі тұжырымды дәлелдейміз. Теорема. функиясы кесіндісінде үзіліссіз болсын және осы функцияның төрт туынды санының біреуі – оны арқылы белгілейік – барлық үшін теріс емес болсын, онда . Әрине, белгінің бұл түрдегі тұжырымдалуы әдеттегі тұжырымдалуынан едәуір күштірек, себебі мұнда мәселе кез келген үзіліссіз функция (ол дифференциалданбайтын болуы да мүмкін) туралы болып тұр. жүктеу/скачать 1,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|