Мера движения

Наблюдая движение шаров до столкновения и после него, можно заметить, что если в результате столкновения движение одного из шаров «уменьшилось», то движение второго шара «увеличилось» и притом тем более, чем существеннее «уменьшилось» движение первого шара. Представляется поэтому, что хотя мера движения каждого из шаров меняется во время соударения, сумма таких мер для обоих шаров остается неизменной, т. е. что при некоторых условиях происходит «обмен движением» при сохранении меры движения для системы в целом.

Понятие «соударение», т. е. короткое взаимодействие путем непосредственного контакта, можно обобщить, введя представление о «временном взаимодействии», т. е. о взаимодействии двух материальных точек (не обязательно обусловленном их непосредственным контактом), имеющем «начало» и «конец» и продолжающемся конечное время. Тогда естественно предполагать, что мера движения системы сохраняется в результате временных взаимодействий.

История механики связана с длительными спорами ученых о том, какая величина является мерой движения, в частности, является ли мера движения скалярной величиной или вектором. Спор этот имеет лишь исторический интерес, но именно в ходе этой дискуссии были введены две основные характеристики движения — кинетическая энергия и количество движения (импульс), которые играют центральную роль во всем построении механики. Попробуем поэтому точнее определить интуитивно введенное выше понятие о мере движения и из общих соображений выяснить некоторые свойства, которыми она должна обладать).

Будем исходить из предположения, что мерой движения материальной точки служит скалярная функция массы и скорости точки , удовлетворяющая следующим трем условиям.

1° Мера движения аддитивна. Это требование означает, что мера движения системы получается как сумма мер движения всех N точек, входящих в систему; .

2° Мера движения инварианта по отношению к повороту системы отсчета. Из этого интуитивно очевидного требования (естественно вытекающего из основных предположений о пространстве и времени) сразу следует, что мера движения не должна зависеть от положения точки, от направления ее скорости и может зависеть от положения точки, от направления ее скорости и может зависеть лишь от модуля скорости или, что то же самое, от квадрата скорости: .

3° Мера движения замкнутой системы материальных точек не должна изменяться при временных взаимодействиях(предполагается, что за время взаимодействия меняются лишь механическиехарактеристики материальных точек их – положения и скорости, но остаются неизменными прочие параметры, характеризующие их физические состояния, —температура, электрический заряд и т. д.). Это требование означает, что мера движения всей замкнутой системы материальных точек , подсчитанная да начала взаимодействия и после его окончания, должна быть одной и той же.

Разумеется, введенный выше постулат 3° - сохранение меры при временных взаимодействиях – должен быть инвариантен по отношению к преобразованиям Галилея. Это требование — прямое следствие принципа относительности Галилея.

Определим теперь, какой вид имеет скалярная функция , удовлетворяющая всем этим условиям. Оказывается, что условия 3° достаточно для того, чтобы составить функциональное уравнение, которому должна удовлетворять функция , и что это функциональное уравнение может быть решено.

Выберем систему отсчета, движущуюся относительно исходной поступательно и равномерно со скоростью — и. Эта система также инерциальна. Рассматриваемые точки имеют в ней скорости , в момент t и , в момент t’. В силу принципа относительности Галилея функция f должна быгь мерой движения и в этой системе, т. е. должно выполняться равенство

Выберем в «старой» инерциальной системе отсчета декартову систему координат х, у, z так, чтобы координаты вектора и были равны (и, 0, 0), т. е. предположим, что новая инерциальная система движется относительно старой со скоростью и вдоль оси х. Тогда

где – координаты вектора , и равенство (2) принимает вид

Разложим теперь функции, входящие в это равенство, в ряды Тейлора по степеням и. Выписав лишь линейные члены и заменив многоточиями члены высших порядков, получим

после подстановки в неевмсто координат векторов и соответсвенно. Отбросив равные (в силу (1)) свободные члены в правой и левой частях равенства (4), разделиврезультат на и, устремив и к нулю и отбросив поэтому члены, замененные многоточием, в пределе получим

Равенство (5) имеет совершенно такую же структуру, что и равенство (1), только вместо искомой меры движения в равенстве (5) стоит частная производная также удовлетворяет равенству (1).