При решении ряда задач в кристаллографии, рентгеноструктурном анализе и других науках приходится вычислять межплоскостные расстояния, узлы между отдельными плоскостями, кристаллографическими направлениями, углы между прямой и плоскостью и т.п. В данной теме рассматриваются основные формулы и приемы определения подобных величин.
3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕЖПЛОСКОСТНОГО РАССТОЯНИЯ
Любое семейство параллельных плоскостей имеет определенные кристаллографические индексы (hkl) и характеризуется определенным межплоскостным расстоянием d. Под межплоскостным расстоянием понимают кратчайшее расстояние между двумя соседними параллельными плоскостями данного семейства параллельных плоскостей.
Между индексами (hkl) семейства параллельных плоскостей, его межплоскостным расстоянием и периодами решетки существует математическая связь. Формула, показывающая зависимость между этими величинами, получила название квадратичной формы. Вид квадратичной формы различен в разных сингониях. Для ортогональных сингоний (осевые углы прямые) квадратичные формы имеют следующий вид:
Из формул видно, что чем больше индексы плоскости, тем меньше межплоскостное расстояние для данного семейства плоскостей.
Межплоскостное расстояние является важнейшим признаком кристаллографически идентичных плоскостей. Пользуясь выражением квадратичной формы, можно проверить, принадлежит ли какая-то плоскость к данной совокупности идентичных плоскостей, так как у всех плоскостей, принадлежащих к одной совокупности, должно быть одинаковое межплоскостное расстояние.
Например, в кубической сингонии плоскость с индексами (310) будет принадлежать к совокупности {103}, так как для всех плоскостей этой совокупности межплоскостное расстояние одинаково:
В тетрагональной сингонии рассматриваемая плоскостьне будет принадлежать к совокупности {103}, поскольку для плоскостей совокупности {103}
а для плоскости (310)
Количество кристаллографически идентичных плоскостей равно числу возможных перестановок местами и знаками индексов, входящих в данную совокупность, без изменения величины межплоскостного расстояния. Кристаллографически идентичные плоскости симметрично расположены в пространстве. В качестве примера рассмотрим двенадцать плоскостей ромбического додекаэдра в кубической решетке:
Всe эти плоскости симметрично расположены в пространстве, образуя грани многогранника на рис. 11, характеризуются
одинаковым межплоскостным расстоянием
и кристаллографически идентичны, входят в одну совокупность.
Вторая совокупность {110} объединяет восемь плоскостей
для нее межплоскостное расстояние имеет другое значение:
Количество плоскостей в совокупности принято обозначать буквой Р. В кубической сингонии Р{110}=12. В тетрагональной сингонии Р{110}= 4 и Р{101}= 8. В ромбической сингонии, где
данная совокупность {110} разобьется уже на три. Наибольшее значение Р имеет в кубической сингонии и составляет 48 – для случая, когда все индексы hkl разные числа и не равны нулю.
