Момент случайной величины
жүктеу/скачать 68,32 Kb.
|
| Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей px (x) вычисляется по формуле . При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.
Если случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f(x), то . Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины: , . Основные свойства математического ожидания: математическое ожидание константы равно этой константе, Mc=c ; математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h ); математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(x h ) = M(x )M(h ). Дисперсия случайной величины Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания. Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )2. Легко показать, что Dx = M(x - Mx )2= Mx 2 - M(x )2. Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам , . Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение , связанное с дисперсией соотношением . Основные свойства дисперсии: дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx 0; дисперсия константы равна нулю, Dc=0; для произвольной константы D(cx ) = c2D(x ); дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ). Моменты
Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени случайной величины x , т.е. a k = Mx k. Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m k, определяемая формулой m k = M(x - Mx )k. Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a 1 = Mx , а дисперсия - центральный момент второго порядка, a 2 = Mx 2 = M(x - Mx )2 = Dx . Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например: m 2=a 2-a 12, m 3 = a 3 - 3a 2a 1 + 2a 13. Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = Mx , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю. Асимметрия В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой , где m 3 - центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение. Эксцесс
жүктеу/скачать 68,32 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|