Н. И. Лобачевского Графики функций Учебно-методическое пособие
Построение графиков функций, заданных в параметрической форме
жүктеу/скачать 1,37 Mb.
|
GRAF (1)
| 2.3. Построение графиков функций,
заданных в параметрической форме Уравнения вида , устанавливающие зависимость текущих координат точки от некоторого параметра , определяют кривую на плоскости. Подобные уравнения называются параметрическими, они дают параметрическое представление кривой. В параметрической форме удобно представлять кривые, имеющие точки пересечения, точки возврата. А также легче построить график заданной неявно функции, если представит функцию в параметрической форме. Например, уравнение, которым задаётся астроида , можно параметризовать следующим образом: . Наклонные асимптоты кривых, заданных в параметрической форме, находятся по формулам: 1. и , если ; 2. и , если . Уравнение асимптоты: . Пример. Построить график кривой . Решение. 1. Функции и определены и непрерывны при . Графики этих функций можно построить исследованием, показанным в п.1. Рис.15. Рис.16. На рисунках 15 и 16, показаны их графики. Используя рисунки, определяем области существования и изменения функции . 2. Кривая проходит через точку (0,0) при . 3. Из рисунков видно, что кривая имеет вертикальную (при ) и горизонтальную (при ) асимптоты. Других асимптот здесь нет, т.к. и одновременно к бесконечности не стремятся. 4. Найдем первую и вторую производные . , . Подозрительные на экстремум точки: , Подозрительные на перегиб точки: , , . Дальнейшее исследование необходимо проводить на двух интервалах изменения параметра : и . Т.к. на интервале дважды пробегает промежуток , и - точка возврата кривой , у которой две однозначные ветви. 4.1. Рассмотрим промежуток . На этом промежутке , и, следовательно, в точке имеем краевой максимум . 1/e (t= -1) 0(t→∞) x При этом ==. Т.е. в точке имеем вертикальную касательную к кривой. (t= -1) 0(t→∞) x Знаки второй производной показывают, что - точка перегиба. Для наглядности сведем в таблицу полученные результаты и построим график кривой на промежутке изменения параметра .
Рис.17. 4.2. Рассмотрим промежуток . На этом промежутке , при и при , следовательно, в точке имеем максимум , в точке - краевой минимум . (t= -1) (t=1) x При этом ==. Т.е. в точке имеем вертикальную касательную к кривой. (t= -1) (t=) x При этом ==. Знаки второй производной показывают, что - точка перегиба. Рис.18. Для наглядности сведем в таблицу полученные результаты и построим график кривой на промежутке изменения параметра .
Окончательный график имеет вид: Рис.19 Пример. Исследовать функцию (Лист Декарта) и построить график. Решение. 1. Функция задана неявно. В этом случае для построения графика рекомендуется либо ввести параметризацию, либо перейти к полярным координатам. 1.1. Введем параметр следующим образом: пусть , тогда уравнение принимает вид , откуда получаем параметрическое задание кривой . Функции и определены и непрерывны при и . Графики этих функций можно построить исследованием, показанным в п.1. На рисунках 20 и 21, показаны их графики. 1.2. У функции есть вертикальная асимптота, - горизонтальная асимптота. Т.к. , то - точка максимума, а =; Т.к. , то и - точки перегиба ( ). Рис.20 1.3. У функции есть вертикальная асимптота, - горизонтальная асимптота. Т.к. , то - точка минимума и =, - точка максимума и =. Т.к. , то и - точки перегиба. Рис.21 1.4. Из анализа функций и вытекает, что кривая определена при и её область изменения . 2. Начало координат кривая проходит при и при . Т.е. (0;0) – точка самопересечения. 3. Поскольку при и и стремятся к бесконечности, то встает вопрос о наклонной асимптоте графика . ===-1, === ==-а. Итак, - наклонная асимптота кривой при 4. Найдем первую и вторую производные . , . Анализ первой производной дает следующие результаты.: при - минимум, при - максимум, при - точка возврата, т.к. здесь принимает максимальное значение. Кроме того, в этой точке кривая имеет вертикальную касательную, потому что в ней бесконечна. Анализ второй производной показывает, что ещё и точка смены выпуклости: при - кривая выпукла вниз, при - кривая выпукла вверх. Построение графика кривой удобно разбить на три участка, соответствующие трем интервалам изменения параметра : , и . 4.1. Рассмотрим промежуток . Для наглядности сведем в таблицу полученные результаты и построим график кривой на промежутке изменения параметра .
4.2. Рассмотрим промежуток . Для наглядности сведем в таблицу полученные результаты и построим график кривой на промежутке изменения параметра .
Рис.23 4.3. Рассмотрим промежуток . Для наглядности сведем в таблицу полученные результаты и построим график кривой на промежутке изменения параметра .
Рис.24 Окончательный график кривой изображен на рис.25. Рис.25 жүктеу/скачать 1,37 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|