Закон для функционала. Например, 40) Где -дифференцируемая при функция. Например, 41) Тогда 42) Для обычной функции под приращением функции понимается
жүктеу/скачать 104,92 Kb.
|
|
Пусть функция Лагранжа указанной системы.Определим величину (3.36) -действие системы. Принцип наименьшего действия:механическая система между двумя моментами времени (в которые нам известны координаты) движется таким образом,чтобы действие Sбыло минимальным. Отметим, что S-функционал.Это значит, что некоторой функции можно поставить в соответствие число по правилу Ф( Это и есть функционал. Примеры.Пусть дана функция ,непрерывная на .Зададим функционал Ф(y(x)) (3.37) С помощью этот закона каждой функции мы ставим с соответствие некоторое число. Например, возьмем функцию (3.38) Для нее функционал (3.39) Можно взять другой закон для функционала. Например, (3.40) Где -дифференцируемая при функция.Например, (3.41) Тогда (3.42) Для обычной функции под приращением функции понимается (3.43) При этом производная приращения есть приращение производная (3.44) Рассмотрим разность функционалов (3.45) Здесь мы воспользовались разложением в ряд Тейлора до первого члена. Полученное выражение есть вариация функционала (3.46) Если есть функционал Ф(y),то вариацию функционала определяется как (3.47) В случае нескольких аргументов вариация функционала определяется как (3.48) Вернемся к принципу наименьшего действия. Изобразим на графике координату частицы от времени (рис. 4.1). Между указанными точками частица может двигаться по любой траектории. Принцип же наименьшего действия утверждает, что частица будет двигаться по той траектории, для которой действие минимально. Итак, у нас есть различные функции , по которым может двигаться частица. Чтобыопределить конкретный закон, нужно сравнить функционал действия (3.49) для разных кривых. Найдем разность (3.50) Здесь мы использовали разложение в ряд до первого члена.Таким образом, вариация равна (3.51) Преобразуем полученное выражениe (3.52) Второй член в данном интеграле был проинтегрирован по частям. Учтем, что положения системы в моменты времени и фиксированы, поэтому приращения (3.53) Значит, первый член в (3.52) равен нулю. Поэтому получаем, что вариация равна (3.54) Отметим, что из сказанного выше вариация (3.55) Покажем, что на самом деле . Предположим обратное. Пусть при (3.56) Тогда получаем, что при (3.57) Поэтому получаем, что (3.58) Значит, уравнение (3.54) имеет место только если (3.59) А это и есть уравнение Лагранжа системы с одной степенью свободы. жүктеу/скачать 104,92 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|