Н. Ш. Альжанова Х. К. Сәбит

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
34
Ζ
Ζ
Ζ
Ζ
Ζ′
⋅
−
=
rk
ik
ij
ij
ij
 
Мысал: 
f(х)= 3x
1 
+ 2х
3 
-6х
6    
→ max      
6
,
1
,
0
36
4
3
24
2
2
3
18
6
3
2
6
5
3
1
6
4
3
1
6
3
2
1
=
≥
=
−
+
+
=
−
+
+
−
=
+
−
+
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
j
 
шарты жағдайында. 
Шешімі. Шектеулер жүйесін вектрлық формада жазамыз: 
А
1
х
1
+А
2
 х
2
,+ А
3
 х
3
 +А
4
х
4
+А
5
 х
5
+ А
6
 х
6
 =В, мұндағы 
 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
36
24
18
;
4
2
6
;
1
0
0
;
0
1
0
;
3
2
3
;
0
0
1
;
1
3
2
6
5
4
3
2
1
B
A
A
A
A
A
A
 
Көріп  тұрғанымыздай,  осы  векторлар  арасында  жекелеген 
А
2
,А
4
,А
5
    кездеседі,  сонымен  қатар  осы  векторлардан  құрылған 
матрица – жекелеген матрица: 
 
(
)
Е
А
А
А
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
,
,
5
4
2
 
Демек,  осы  векторларды  бастапқы  базис  ретінде  алуға 
болады.  Бұл  базиске  х=(х
1
,х
2
,х
3
,х
4
,х
5
,,х
6
)  тірек  жоспары  сəйкес 
келеді (анықтама бойынша), ондағы нольдік емес компоненттер 
сəйкесінше  х
2
,,х
4
,х
5 
  болады,  яғни  тірек  жоспары  х=(0,х
2
,0,х
4
, 
х
5
,0).  Жоғарыда  айтылғанға  сəйкес,  х
2
=18,  х
4 
=24,  х
5 
=  36.  Бұл 
нəтижені,  сонымен  қатар,  х=(0,х
2
, 0, х
4
,  х
5
,0)  тірек  жоспарын 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
35
шектеулі  есептер  жүйесіне  қою  арқылы  да  алуға  болады.  Шын 
мəнінде, тірек жоспарын бірінші теңдікке қоялық: 
2 · 0 + х
2
  - 3 · 0 + 6 · 0 = 18, шығатыны   х
2  
 =18 
Тірек  жоспарды  екінші  жəне  үшінші  шектеулерге  қоя 
отырып,  аламыз:  х
4
=24,  х
5
=36.  Осылайша,  бастапқы  базисті 
А
2
,А
4
,А
5,
 векторлары құрайды, бұл базиске х=(0, 18, 0, 24, 36, 0) 
бастапқы тірек жоспары сəйкес келеді. 
Бастапқы симплексті кесте құрайық. 
4-кесте 
 
С
0 
В 
А
1
 
А
2
 
А
3
 
А
4
 
А
5
 
А
6
 
Θ 
А
2
 0 
18 2 1 -3 0 0 6 9 
А
4
 0 24 -3 0  2  1  0 -2 - 
А
5
 0 
36 1 0 3 0 1 -4 36 
Δ   0 -3 0 -2 0  0  6   
 
Бастапқы  симплексті  кестенің  қалай  толтырылатынын 
сипаттайық.  Бірінші  бағанда 
)
6
,
1
(
=
j
j
A
-ның  бастапқы  базис 
құратын    векторлары,  яғни  А
2
,А
4
,А
5 
  векторлары  жазылады. 
Келесі  С
0 
бағанында  базис  векторы  секілді  индекске  ие  f(x) 
желілік  формасының  белгісіздері  жағдайындағы  коэффициент-
тер  орналастырылады,  яғни  с
2
=0,  с
4
=0,  с
5 
=0.  B  бағанында 
х
2
=18,  х
4
=24,  х
5 
=  36  жоспарының  нольдік  емес  компоненттері 
жазылады,  ал  осы  бағанның  соңғы  жолында  (∆-жолында) 
желілік  форманың  берілген  жоспар  жағдайында  қабылдайтын 
мəні енгізіледі. Бұл мəн В  векторының С
0 
 векторына скалярлық 
туындысына тең. Бұл жағдайда төмендегіні аламыз: 
f(x)= с
2
х
2
 +с
4
х
4 
+
 
с
5
х
5 
= 0 · 18+0 · 24 + 0 · 36 =0 
Кестенің  келесі  бағандарында  (алғашқы  үш  жолында)  A
j
 
(
n
j
,
1
=
) векторларының базис векторлары бойынша ыдырау 
коэффициенттері  орналасады.  Жоғарыда  көрсетілгендей,  егер 
базис жекелеген векторлар құратын болса, онда А
j 
 векторының 
базис 
бойынша 
ыдырау 
коэффициенті 
6
,
1
,
3
,
1
,
=
=
=
Ζ
j
i
ij
ij
a
.  Сондықтан  кестенің  бұл  бөлігі 
тапсырманың  бастапқы  деректері  негізінде  құралады.  А
1 …
,  А
6 
 
бағандарының  соңғы  жолында 
6
,
1
,
:
=
−
Ζ
=
Δ
Δ
j
C
j
j
j
j
 

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
36
мəндері  жазылады,  Zj  мұнда  A
j
  (
n
j
,
1
=
)  векторының  С
0
 
=(с
2
,  с
4
,  с
5
)  векторына  скалярлық  туындысы  ретінде  тұр,  ал  С
j
 
)
6
,
1
(
=
j
-  бұл  желілік  форманың  коэффициенттері.  Мысалы, 
анықтайық  
∆
1
: ∆
1  
=  Z
1
 - С
1  
=  А
1
 ·С
0 
 -С
1  
= 2 ·0 + (-3) ·0 + 1 ·0 -3 = -3 
∆
2 
,
 
∆
3
  жəне басқалар осы секілді есептеледі. 
∆
2
 = Z
2
 -С
2
= А
2
 ·С
0 
 -С
2 
= 1 ·0 +0 · 0+0 ·0-0=0 
∆
3 
= Z
3
 - С
3
= А
3
 ·С
0 
 -С
3 
=(-3) ·0 +2 ·0+3 ·0 -2 = -2 жəне т.б. 
Симплексті  кесте  толтырылғаннан  кейін  бастапқы  тірек  жос-
пары  оңтайлылыққа  тексеріледі.  Егер  барлық 
6
,
1
,
0
=
≥
Δ
j
j
, 
онда тірек жоспары оңтайлы. Бұл жағдайда ∆
j 
 арасында теріс ∆
1 
= -3<0,
 
∆
3
 = -2<0  бар.  Сондықтан  бастапқы  тірек  жоспары 
оңтайлы  емес  жəне  оны  жақсарту  қажет  (егер  мүмкін  болса), 
яғни  желілік  форманың  көбірек  мəні  сəйкес  келетін  жаңа  тірек 
жоспарын құру керек. 
Жаңа тірек жоспарына өту үшін базис секторларының бірін 
шығарып, оның орнына берілген A
j
)
6
,
1
(
=
j
векторлар жүйесінің 
басқа векторын енгіземіз. Базиске енгізілетін векторды анықтау 
үшін минималды 
)
6
,
1
(
=
Δ
j
j
табылады. 
Δ
j
j
min
= min (-3,0,-2,0,0,6)= ∆
1 
=-3<0 
Демек,  A
1 
  векторы  базиске  енгізіледі  жəне  оған  сəйкес 
келетін  баған  бағыттаушы  болып  табылады.  Кестедегі  осы 
бағанды бөліп көрсетеміз. 
Одан соң базистен шығарылуы қажет векторды анықтаймыз. 
Осы  мақсатпен  В  бағанының  элементтерінің  бағыттаушы 
бағанның  оң элементтеріне қатынастары есептеп шығарылады, 
олар  симплексті  кестенің  соңғы  бағанына  жазылады.  Осы 
қатынастар  ішінен  минималдысы  ізделіп  табылады  да,  ол 
базистен шығарылатын векторды анықтайды. Берілген жағдайда 
аламыз: 
9
)
36
,
9
min(
1
36
;
2
18
min
0
,
min
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
>
Ζ
=
Ζ
ij
i
ij
i
x
θ
 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
37
Минималды қатынас A
2 
векторына сəйкес келеді, демек, осы 
вектор  базистен  шығарылады,  ал  сəйкес  жол  бағыттаушы  деп 
аталады. Осы жолды бөліп көрсетеміз. 
Содан  соң  симплексті  тəсілдің  алгоритміне  сəйкес 
симплексті кестенің Гаусс формуласы бойынша қайта құрылуы 
жүргізіледі. Келесі кестені аламыз (5-кесте). 
5-кесте 
 
С
0 
В 
А
1
 
А
2
 
А
3
 
А
4
 
А
5
 
А
6
 
Θ 
А
1
 3 9 1 ½ -
3
/
2 
0 0 3 - 
А
4
 0 51 0 
3
/
2 
-
5
/
2 
1 0 7 - 
А
5
 0 27 0 
-
½ 
9
/
2 
0 1 -7  
Δ  
27 
0 
3
/
2 
-
13
/
2 
0 0 15  
 
Гаусс формуласы бойынша есептеулерге нақтырақ тоқталып 
өтейік.  Жаңа  кестеде  базистегі  A
2 
векторының  орнына  A
1 
векторы қойылған, ал С
0 
 бағанында сəйкесінше С
1
 =3 тұр. 
Əуелі бағыттаушы жолдың элементтері анықталады, оларды 
бағыттаушы  элементке  бөлу  арқылы  аламыз  (бағыттаугы  элемент 
бағыттаушы  жол  мен  бағыттаушы  бағанның  қиылысында  тұр), 
яғни бастапқы кестеде бірінші жолдың (бағыттаушы) элементтерін 
2-ге бөлеміз. Сонымен жаңа кестенің бірінші жолын алдық. 
Содан соң бағыттаушы бағанның элементтерін анықтаймыз. 
Гаусс  формуласы  бойынша  олардың  бағыттаушы  элементтен 
басқасының барлығы 0-ге тең, ал бағыттаушы элементі 1-ге тең. 
Осылайша, жаңа кестенің A
1 
 бағанын алдық. 
Қалған  элементтер  жоғарыда  келтірілген  тікбұрыштың 
мнемоникалық  ережесі  көмегімен  анықталады.  Мысалы, 5-
кестенің В бағанында жəне A
4 
 жолында тұрған элементті қалай 
есептеп  шығару  керек  екендігін  көрсетейік.  Бұл  үшін  бастапқы 
4-кестеде  сəйкес  элемент  үшін  тікбұрыш  құрамыз,  оның 
шыңдарында  бағыттаушы  жолдың  жəне  баған  мен  бағыттаушы 
элементтің элементтері, яғни бағыттаушы элемент тұрады. 
 
 
 
 
 
 
 18  2 
 
 
 
 
 
 
 
 24  -3 
 
 
 
 
 
 
 
8-сурет 

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
38
51
27
24
2
)
3
(
18
24
=
+
=
−
−
 
 
Жаңа кестеде 24 санының орнына алынған 51 саны қойылады. 
4-кестенің  В  бағанындағы  келесі  элемент  былайша  қайта 
құрылады: 
 
 
 
 
 
 
 18 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 36 
 
1   
 
 
 
 
 
 
9-сурет 
 
27
9
36
2
1
18
36
=
−
=
⋅
−
 
 
5-кестенің  В  бағанындағы  соңғы  элементті  есептеп  шығару 
үшін мынадай тікбұрыш аламыз: 
 
 
 
 
 
 
 18    2 
 
 
 
 
 
 
 
 0    -3 
 
 
 
 
 
 
 
10-сурет 
 
27
27
0
2
)
3
(
18
0
=
+
=
−
−
 
Одан  əрі  қарай 4-кестенің  А
3 
  бағанында  жəне  А
4 
жолында 
тұрған элементті анықтаймыз. Бұл үшін 3-кестеде төменде кел-
тірілгендей  тікбұрыш  құрамыз. 4-кестенің  ізделінді  элементіне 
сəйкес келетін 2 элементінен баған бойынша бағыттаушы жолға 
қарай жүреміз, шың элементін (-3) табамыз жəне 2 элементінен 
жол  бойынша  бағыттаушы  бағанға  қарай  жүреміз,  тағы  да  шаң 
элементін (-3) анықтаймыз,  енді  тікбұрыштың  соңғы  элементі 
болып бағыттаушы 2 элементі, бағыттаушы баған табылады. 
 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
39
 
 
 
 
 
 
 
2 
 -3 
 
Бағыттаушы 
жол 
 
 
 
 
 
 
 
 -3 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11-сурет 
 
2
5
2
9
4
2
)
3
)(
3
(
2
−
=
−
=
−
−
−
 
4-кестенің  барлық  элементтерінің  Гаусс  формуласы  бойынша 
қайта құрылуы нəтижесінде 5-кестені аламыз. 
5-кестеде  жаңа тірек жоспары жəне  A
j
 векторларының  жаңа 
А
2
,А
4
,А
5
  базисі  бойынша  ыдырау  коэффициенті  жазылған. 5-
кестеден  көрініп  тұрғандай,  оның  нөлдік  емес  компоненттері 
х
1
,х
4
,х
5 
болады (жаңа базиске сəйкес), жəне де  
х
1 
= 9, х
4 
= 51, х
5 
= 27, х
 2 
= х
3 
= х
6  
= 0.   
Жаңа жоспарға сəйкес келетін желілік форманың мəні 27-ге 
тең. 
Бірақ, 5-кестеден көрініп тұрғандай, бұл жоспар да оңтайлы 
емес, себебі 
0
2
13
3
<
−
=
Δ
. Демек, симплексті процесс жалғасуда. 
∆
j
    арасында  бір  ғана  теріс  болғандықтан,  дəлірек  айтсақ, 
∆
3
,  онда  A
3 
  векторы  базиске  енгізіледі,  ал  оған  сəйкес  келетін 
баған бағыттаушы болып табылады. Оны бөліп көрсетеміз. 
θ-ні 
анықтаймыз.  Мұндағы  тапсырма  да  оңайланады,  себебі 
бағыттаушы бағанда бір элемент қана оң, сол элемент базистен 
шығарылатын  векторды  анықтайды.  Мұндай  вектор  А
5 
  болып 
табылады, ал оған сəйкес келетін жол - бағыттаушы жол, оны да 
бөліп көрсетеміз. 
5-кестені  Гаусс  формуласы  бойынша  өзгертеміз. 6-кестені 
аламыз. 
6-кесте 
 
С
0 
В 
А
1
 
А
2
 
А
3
 
А
4
 
А
5
 
А
6
 
А
1
 3 18 1 
3
/
9 
0
 
0 
3
/
9 
6
/
9 
А
4
 0 66 0 
12
/
9 
0 1 
5
/
9 
28
/
9 
А
3
 2  6  0 -
1
/
9 
1 0 
2
/
9 
-
14
/
9 
Δ  66 0 
7
/
9 
0 0 
13
/
9 
44
/
9 

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
40
Көріп тұрғанымыздай, 
6
,
1
,
0
=
≥
Δ
j
j
, демек, х=(х
1
,0,х
3
,х
4
0,0) 
= (18,0,6,66,0,0) жоспары  оңтайлы,  ал  f(х)=  66  мəні  берілген 
шектеулер жағдайындағы осы функция үшін максималды. 
Бір  симплексті  кестеден  екіншісіне  өту  барысында  соңғы 
жолдың  элементтерін  Гаусс  формуласы  бойынша  да,  бастапқы 
симплексті кестені  құру кезінде жүргізілген  есептеулерге ұқсас 
есептеулер жүргізу бойынша да анықтауға болады. 
 
1.6. Стандартты түрдегі желілік программалау  
есептерін шешудің симплексті əдісі 
 
  Стандартты  түрдегі  желілік  программалау  тапсырмалары 
былайша жазылады: 
 
 а
11
х
1 
+ а
12
х
2  
+…+  а
1n
х
n  
≤
 
 b
1 
а
21
х
1 
+ а
22
х
2 
+…+  а
2n
х
n  
≤
 
 b
2   
                    (22) 
………………………………… 
а
m1
х
1 
+ a
m2
 х
2 
+…+  а
mn
х
n  
≤
 
 b
m 
   
                 x
j
  ≥0, ,
n
j
,
1
=
                               (23) 
 
шарты жағдайында 
 
f(х)= с
1
х
1 
+ с
2
 х
2 
+ … + с
n
х
n   
→ max                (21) 
 
(21)-(23) есептерін канондық түрге келтірейік, ол үшін əрбір 
теңсіздік (22) теңдікке айналатын қосымша x
n+1
  ≥ 0, x
n+2
  ≥ 0,..., 
x
n+m
 ≥ 0 теріс емес ауыспалыларды енгіземіз: 
 
а
11
х
1 
+ а
12
х
2  
+…+  а
1n
х
n  
+ х
n +1 
=
 
 b
1 
а
21
х
1 
+ а
22
х
2 
+…+  а
2n
х
n  
+ х
n +2 
=
 
 b
2   
              (22
′) 
…………………………………………… 
а
m1
х
1 
+ a
m2
 х
2 
+…+  а
mn
х
n 
+ х
n+m 
 =
 
 b
m 
 
x
j
  ≥0, 
m
n
j
+
= ,
1
                        (23
′) 
 
Шектеулердің өзгертілген жүйесін векторлық түрде жазамыз: 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
41
А
1
х
1
+А
2
 х
2
,+…+ А
n
 х
n
 +А
n+1
х
n+1
+…+А
n+m
 х
n+m
 =В, мұндағы 
 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
+
+
b
b
b
В
A
A
A
a
a
a
A
a
a
a
A
a
a
a
A
m
m
n
n
n
mn
n
n
n
m
m
Μ
Μ
Λ
Μ
Μ
Μ
Λ
Μ
Μ
2
1
2
1
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
;
1
0
0
0
,
;
0
1
0
;
0
0
1
;
,
;
;
 A
j
 (
m
n
j
+
= ,
1
) векторларының арасында m бірліктері 
А
n+1 
,А
n+2 
,…,А
n+m
 , 
бар  болғандықтан,  оларды  бастапқы  тірек  жоспары  сəйкес 
келетін  
Х = 
)
,
,
,
,
0
,
,
0
(
)
,
,
,
0
,
,
0
,
0
(
2
1
1
b
b
b
x
x
m
m
n
n
n
Λ
Λ
Λ
48
4 7
6
Λ
=
+
+
  
 
бастапқы базис ретінде қабылдауға болады. 
Қосымша  ауыспалылардың  желілік  формаға  кірмейтінін 
есепке ала отырып, бастапқы симплексті кестені құрамыз, яғни 
С
n+1 
= С
n+2 
= …= C
n+m
 =0,  С
0
 = (С
n+1
,…, С
n+m 
)=(0,0,…,0), 
 
аламыз: f(х)= (С
0
 В) = (0 ·b
1 
 + 0 ·b
2 
+…+ 0  · b
m
 = 0 
∆
j 
= Z
j
 - с
j
,=(С
0 
·A
j
) - с
j 
= 0 – с
j
 = - с
j 
, 
m
n
j
+
= ,
1
  
 
Осылайша,  бастапқы  симплексті  кесте  мынадай  түрге  ие 
болады (7-кесте): 
 
7-кесте 
Базис 
С
0 
B
 
A
1
 
A
2
 
…  A
n
 
A
n+1
 
A
n+2
  … A
n+m
 
A
n+1
 0 b
1
 
a
11
 
a
12
 
…  a
1n
 
1 0 
… 0 
A
n+2
 0 b
2
 
a
21
 
a
22
 
…  a
2n
 
0 1 
… 0 
∶ 
∶ 
∶ 
∶ 
∶ 
∶ 
∶ 
∶ 
∶ 
… ∶ 
A
n+m
 0 b
m
 
a
m1
 
a
m2
 
…  a
mn
 
0 0 
… 1 
Δ  0 
-c
1 
-c
1 
…  -c
n 
0 0 
… 0 
 

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
42
Үлгі ретінде төменде берілетін есепті қарастыралық. 
Кəсіпорын төрт түрлі өнім шығарады жəне негізгі құрылғы-
лардың  үш  түрін  пайдаланады:  токарьлық,  фрезерлік  жəне 
тегістеуші.  Құрылғылардың  əрбір  түрінде  өнім  бірлігін  даярлауға 
жұмсалатын  уақыт  шығыны 8-кестеде  келтірілген.  Сол  кестеде 
құрылғылардың  əрбір  түріне  жұмсалатын  жұмыс  уақытының 
жалпы  қоры,  қандай  да  бір  өнім  бірлігін  сатудан  түсетін  пайда 
берілген. Өнімдердің əрқайсысының оларды сатудан түсетін жалпы 
пайдасы максималды болып табылатын көлемін анықтау керек. 
 
8-кесте 
Өнім бірлігіне жұмсалатын 
уақыт шығыны (станок-сағ)  
Құрылғы түрі 
1 2 3 4 
Жұмыс уақытының 
жалпы қоры 
(станок-сағ) 
Токарьлық 
2 1 1 3 
300 
Фрезерлік 1 
- 
2 
1 
70 
Тегістеуші 
1 2 1 - 
340 
Өнім бірлігін сатудан 
түскен пайда (тг) 
 
8 
 
3 
 
2 
 
1 
 
 
Есепті  шешу  үшін  оның  математикалық  моделін  құрамыз.    
1  өнімнің  ізделінді  шығарылымын  х
1 
деп  белгілейміз, 2-өнім-
дікін - х
2
,  3 өнімдікін - х
3
, 4 өнімдікін - х
4.
 Мақсатты функцияны 
жазамыз. 1-өнімді  сатқаннан  түсетін  пайда 8 теңге  болғандық-
тан,  біз көлемін х
1 
деп белгілеген
 
1-өнімнің барлығын сатқаннан 
түсетін пайда 8 х
1 
құрайды. Сондай-ақ, 2-өнімді сатқаннан түсе-
тін пайда - 3· х
2 
тең болса, 3-өнімді -2· х
3
, 4-өнімді - 1· х
4
. Сонда 
барлық  өнімдерді  сатқаннан  түсетін  пайда  аомасын  білдіретін 
мақсатты функция төмендегіше жазылады: 
 
f(х)= 8х
1 
+ 3х
2 
+2х
3
 + х
4 
 
Есептің  шектеулеріне  көшелік.  Тауарлық  станоктың  өнім 
бірлігіне  жұмсалатын  уақыт  шығыны 2 станок-сағатқа  тең  болса, 
демек, 1-өнімнің  жалпы  көлеміне  2  х
1 
станок-сағат  жұмсалады. 
Токарьлық станоктың 2-өнімді шығаруға жұмсалатын уақыты - 
1·  х
2
,
 
 3-өнімді - 1·  х
3
,  ал 4-өнімді - 3х
4
.  Токарьлық  станоктың 
өнімнің  барлық 4 түрін  шығаруға  жұмсалатын  уақыт  шығыны 
ондағы жұмыс уақыты қорын асып кетпейтіндей шама құрайды, 
яғни  токарьлық  станокты  пайдалану  мерзіміне  қойылатын 
шектеу мынадай теңсіздік түрінде жазылады: 
 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
43
2х
1 
+ х
2 
+х
3
 + 3х
4 
≤ 300 
 
Осыған  сəйкес,  фрезерлік  жəне  тегістеуші  станоктарды 
пайдалану  мерзіміне  қойылатын  шектеулер  мынадай  түрде 
болады: 
1 · х
1 
+ 0 · х
2 
+ 2 · х
3
 + 1 · х
4 
≤  70 
1 · х
1 
+2 · х
2 
+ 1 · х
3
 + 0 · х
4 
≤  340 
 
Өздерінің экономикалық мазмұны бойынша х
1
, х
2
, х
3  
жəне х
4 
 
ауыспалылары тек теріс емес мəн қабылдай алады, яғни 
4
,
1
,
0
=
≥
j
j
x
 
Осылайша, есептің математикалық моделі былайша  жазылады: 
 
f(х)= 8х
1 
+ 3х
2 
+2х
3
 + х
4
 → max 
 
    2х
1 
+ х
2 
+х
3
 + 3х
4 
≤ 300 
    х
1   
+   2х
3  
+    х
4 
≤  70 
    х
1   
+  2х
2   
+ х
3    
≤  340 
    
4
,
1
,
0
=
≥
j
j
x
 
Есеп  стандартты  түрде  жазылған.  Оны  канондық  түрге 
келтірейік: 
   
 
 2х
1 
+ х
2 
+х
3
 + 3х
4  
+ х
5    
= 300 
 х
1   
+   2х
3   
+    х
4 
+ х
6     
 = 70 
 х
1   
+  2х
2   
+ х
3        
+ х
7    
 = 340 
 
7
,
1
,
0
=
≥
j
j
x
 
 
f(х) желілік формасы өзгеріссіз қалады. Шектеулерді вектор-
лық формада жазайық: 
 
А
1
х
1
+А
2
 х
2
+ А
3
 х
3
 + А
4
 х
4
+ А
5
 х
5
+ А
6
х
6 
+ А
7
 х
7
 =В, мұндағы 
 
;
340
70
300
;
1
0
0
0
1
0
;
0
0
1
;
0
1
3
;
1
2
1
;
2
0
1
;
1
1
2
7
6
5
4
3
2
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
В
A
A
A
A
A
A
A
  

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
44
Көріп  тұрғанымыздай,  А
5
,А
6
,А
7 
жекелеген  векторларын 
бастапқы  базис  ретінде  қабылдауға  болады,  оған  төмендегі 
бастапқы тірек жоспары сəйкес келеді: 
 
Х = (0,0,0,0,х
5
, х
6
,х
7
 ) = (0,0,0,0,300,70,340) 
 
Бастапқы симплексті кесте былай жазылады: 
 
9-кесте 
 
С
0 
В 
А
1
 
А
2
 
А
3
 
А
4
 
А
5
 
А
6
 
А
7
 
Θ 
А
5
 
0 
300 
2  1 1  3 1 0 0 150 
А
6
 
0 
70 
1  0 2  1 0 1 0 70 
А
7
 
0 
340 
1  2 1  0 0 0 1 340 
Δ  0 -8 -3 -2 -1 
0 0 0  
 
1-қадам. Жоспарды оңтайлылыққа тексеру. 
)
7
,
1
(
=
Δ
j
j
арасында  терістері  бар  болғандықтан,  демек, 
бастапқы  тірек  жоспары  оңтайлы  емес.  Сондықтан  жаңа  тірек 
жоспарына көшеміз. 
2-қадам. Базиске енгізілетін векторды анықтау. 
Δ
j
j
min
= min (-8,-3, -2, -1)= -8 = ∆
1
<0  анықтаймыз. 
Бұл  А
1
  векторының  базиске  енгізілетінін  жəне  оған  сəйкес 
келетін бағанның бағыттаушы болатынын білдіреді. Симплексті 
кетедегі осы бағанды бөліп көрсетеміз. 
3-қадам. Базистен шығарылатын векторды анықтау шамасын 
табамыз. 
 
70
61
6
1
340
:
1
70
:
2
300
min
1
0
1
,
min
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
>
Ζ
=
Ζ
Ζ
x
x
i
i
i
i
θ
        
 
Минималды қатынас А
6
 векторына сəйкес келеді, демек, осы 
вектор  базистен  шығарылады,  ал  сəйкес  жол  бағыттаушы  болады. 
Оны кестеде бөліп көрсетеміз. 
4-қадам. Гаусс формуласы бойынша кестенің қайта құрылуы. 
Гаусс  формуласы  бойынша  бастапқы  кестенің  қайта 
құрылуы  нəтижесінде  келесі  симплексті  кестені  аламыз (10-
кесте). 
 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
45
10-кесте 
 
С
0 
В 
А
1
 
А
2
 
А
3
 
А
4
 
А
5
 
А
6
 
А
7
 
θ 
А
5
 
0 160 
0 1 -3 1 
1 
-2 0  160 
А
1
 
8 70 
1 0 2 1 
0 
1  0  - 
А
7
 
0 270 
0 2 -1 -1 
0 
-1 1  135 
Δ   560 
0  -3 14 7 0 8  0   
 
 
Жаңа кестеде басқа жоспар аламыз 
Х= (70,0,0,0,160,0,270),  оның  үстіне  f(х)  = 560. Бірақ  бұл 
жоспар  да  оңтайлы  болып  табылмайды,  себебі  ∆
2
 = - 3<0.  
Сондықтан  симплекстік  процесс  жалғасуда.  Сонымен  біз 
Δ
j
j
min
=  ∆
2 
= -3<0  екендігін  анықтадық,  бұл  А
2
  векторының 
базиске  енгізілетінін  білдіреді.  А
7
  векторына  сəйкес  келетін 
135
2
270
;
1
160
min
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
θ
  анықтап  алып,  вектордың  базистен 
шығарылатынын  қорытындылаймыз.  Кестені  Гаусс  формуласы 
бойынша қайта құрып, мынаны аламыз: 
 
11-кесте 
 
С
0 
В 
А
1
 
А
2
 
А
3
 
А
4
 
А
5
 
А
6
 
А
7
 
А
5
  0 25 0 0 
5
/
2 
3
/
2 
1 -
3
/
2 
-
1
/
2 
А
1
  8 70 1 0  2  1 0 1 0 
А
2
 3 
135 
0 
1 
-
1
/
2 
-
1
/
2 
0 -
1
/
2 
1
/
2 
Δ  
965 
0 
0 
25/
2 
11
/
2 
0 
13
/
2 
3
/
2 
 
Соңғы кестеден көрініп тұрғандай (11-кесте), алынған  тірек 
жоспары  х = (70,135,0,0) оңтайлы  болып  табылады,  себебі 
7
,
1
,
0
=
≥
Δ
j
j
.  
Осылайша, 1-өнімді 70-ке тең көлемде өндіруді жəне 2-өнімді 
135  көлемінде  өндіруді  қарастыратын  өнімді  шығару  жоспары 
оңтайлы болып табылады. Оның үстіне оңтайлы жоспар өнімнің 
3  жəне 4 түрін  өндіруді  қарастырмайды.  Беріліп  отырған  өнді-
рістің оңтайлы жоспарында фрезерлік жəне тегістеуші құрылғы-
лардың жұмыс уақыты қоры толығымен пайдаланылады (х
6 
= 0, 
х
 7 
= 0)  жəне  токарьлық  құрылғының 25 станок-сағаты 
пайдаланылмай  қалады  (х
5 
= 25),  ал  өндірілген  өнімді  сатудан 
түсетін пайда 965 теңгені құрайды. 
 

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
46

жүктеу/скачать 1,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: