Обратные тригонометрические функции
жүктеу/скачать 1,56 Mb. Pdf көрінісі
|
| Обратные тригонометрические функции. Пояснительная записка
Предлагаемый элективный курс для учащихся 11 класса посвящен одному из важнейших понятий математики. Понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса вводятся в курс алгебры и начал анализа во время изучения учащимися простейших тригонометрических уравнений. При этом следует заметить, что практически все старшеклассники плохо знают, а тем более понимают, эти определения. Что же тогда говорить об обратных тригонометрических функциях? В последнее время в материалах ЕГЭ и вступительных экзаменов в высшие учебные заведения, часто предлагаются задания по данной теме. Такие задачи вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по этой теме в школьных учебниках мало. Цель данного элективного курса – повысить математическую культуру учащихся в рамках школьной программы по математике, прояснить и дополнить школьный материал, связанный с обратными тригонометрическими функциями, представить его систематизацию и помочь старшеклассникам успешно сдать ЕГЭ по математике. В курсе заложена возможность дифференцированного обучения, как путем использования задач различного уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельности осваивания нового материала. Следовательно, программа применима для самых различных групп школьников, в том числе не имеющих хорошей подготовки. На изучение всего курса отводится 11 часов, по окончании предусмотрено зачетное мероприятие на 2 часа, а также возможны и другие формы комбинированной диагностики.
№ п/п Тема Количество часов Форма контроля 1. Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса 1 Математический диктант 2.
Функции у=arcsin x, y=arccos x их графики и свойства. 1 Работа с таблицами с последующей взаимопроверкой 3. Функции у=arcsin x, y=arccos x их графики и свойства. 1 Самостоятельная работа обучающего характера 4. Функции у=arcsin x, y=arccos x, их графики и свойства. 1 Тест (различные уровни сложности) 5.
Функции у=arctg x, y=arcctg x, их графики и свойства. 1 Самостоятельная работа обучающего характера 6. Функции у=arctg x, y=arcctg x, их графики и свойства. 1 Урок взаимопроверки 7.
Функции у=arctg x, y=arcctg x, их графики и свойства. 1 Тест (различные уровни сложности) 8.
Обобщающий урок по теме: «Обратные тригонометрические функции, их графики и свойства» 2 Практикум, работа в группах. Домашняя контрольная работа. 9. Итоговый контроль 2 Зачет (тест) Содержание
На первом занятии учащимся сообщается цель и значение данного курса. Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Основное внимание здесь нужно уделить на идеально точное воспроизведение определений, так как даже самое маленькое отличие от «идеала» влечет за собой большие ошибки.
Свойства функций: область определения, область значений, непрерывность, четность и нечетность, возрастание и убывание, экстремумы, наибольшие и наименьшие значения, сохранение знака. Графики функций и их преобразование.
Свойства функций: область определения, область значений, непрерывность, четность и нечетность, возрастание и убывание, экстремумы, наибольшие и наименьшие значения, сохранение знака. Графики функций и их преобразование.
Решение различных заданий, связанных с понятием обратных тригонометрических функций, из вариантов ЕГЭ (группа В и С).
Итоговая диагностика может быть проведена в виде зачета, виде тестовых заданий, но обязательно дифференцированного характера.
1. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. Том 1.М.: МЦНМО, 1997 2. Звавич Л,И. и др. Алгебра и начала анализа:3600 задач для школьников и поступающих в вузы.- М.:Дрофа, 1999. 3. Насыров З.Х. От уровня тестов до задач с параметром. Учебное пособие по математике для поступающих в вузы. – 3-е изд. доп. – Обнинск:ИАТЭ,2001. 4. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. изд. 6-е, доп. и перер. – Ростов н/Д: «Феникс», 2004. 5. Горнштейн П.И. Мерзляк А.Г. и др. Экзамен по математике и его подводные рифы.- М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998. 6. Дыбов П.Т., Забоев А.И. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учеб. пособие. – М.: Высш. школа,1982. 7. Тематические тесты. Часть 1,2. Математика. ЕГЭ-2009.:/Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. – Ростов-на-Дону:Легион,2008.
Занятие 1. Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. При решении тригонометрических уравнений простейших (кроме частных случаев) или более сложных неизменно приходишь к формулам корней, в которых есть несколько «магических» слов: арксинус, арккосинус, арктангенс или арккотангенс. Эти четыре слова почти для всех старшеклассников становятся «камнем преткновения», большинство школьников (в том числе и те, кто потом блестяще сдают математику) не могут точно определить эти функции. Итак, попробуем разобраться в этих запутанных определениях.
Продемонстрируем на задачах, как применяется это определение. №1.
которого равен ½. Можно сделать вывод, что у=π/6. arcsin ½ = π/6. б) arcsin√3/2=? Решение: Рассуждаем аналогично. √3/2= х. Значит, мы должны найти такое число у, из отрезка [-π/2;π/2], синус которого равен √3/2. Можно сделать вывод, что у= π/3. arcsin√3/2= π/3. в) arcsin (-√2/2)=? Решение: К этому моменту, почти все старшеклассники (особенно те, которые чуть слабее в знаниях), понимают, что ответ гораздо быстрее найти в учебнике, на первых страницах (есть там такие «замечательные» таблицы). И тут начинаются ошибки. Их надо сразу пресечь, четко повторяя, что у – число из отрезка [-π/2;π/2]. Для того, чтобы
найти это
число у, можно
воспользоваться такой
формулой arcsin(-х)= - arcsin х. Теперь, решение будет гораздо проще. arcsin (-√2/2)= - arcsin √2/2= - π/4. y=arccos x: у – это число (а не угол!), причем у∈ [0; π], такое, что cos у = х. Здесь нужно констатировать еще один факт: х ∈ [-1; 1]. у=arctg x: у – это число (а не угол!), причем у∈ (-π/2;π/2), такое, что tg у= х. Причем для х здесь ограничений нет. y=arcctg x: у – это число (а не угол!), причем у ∈ (0; π), такое, что ctg у= х. Причем для х здесь ограничений нет. №2. а) arccos ½=? Решение: ½=х. Значит, мы должны найти такое число у, из отрезка [0; π], косинус которого равен ½. Можно сделать вывод, что у=π/3. arccos ½= π/3. б) ) arccos√3/2=? Решение: Рассуждаем аналогично. √3/2= х. Значит, мы должны найти такое число у, из отрезка [0 ; π], косинус которого равен √3/2. Можно сделать вывод, что у= π/6. arccos√3/2= π/6. в) arccos(-√2/2)=? Решение: Для того, чтобы школьники опять не воспользовались таблицами, следует сразу им дать формулу: arсcos( -х ) = π – arсcos х. arccos(-√2/2)= π - arccos√2/2= π-- π/4= 3π/4.
Для вычисления отрицательных значений арктангенса и арккотангенса применимы формулы: arctg( - x) = - arctg x аrcctg( - x) = π – аrcctg х. № 3. Вычислить:
№ 4. Найти область допустимых значений переменной для выражений:
№5. Вычислить:
Пусть у= arсcos (-1/4). Значит, мы должны найти sin y. По определению арккосинуса у – это число, из отрезка [0; π], косинус которого равен -1/4. Итак, у= arсcos (-1/4), у∈ [0; π], т.е. у может принадлежать I и II четвертям. При этом, cos у = -1/4. Теперь можно уточнить, у принадлежит II четверти, т.к. cos у<0. Используем формулу sin
sin 2 y= 1 - cos 2 y sin y = ± y 2 cos 1− , т.к. у ∈II ч., то sin y>0. Значит, sin y= 4 15 16 1 1 ) 4 1 ( 1 2 = − = − −
Ответ: sin
4 15 . №6.
Произведите указанные действия: а) arcsin 3/5 + arcsin 12/13 б) arсcos 7/25 + arсcos 3/5 в) arсctg 5 - arсctg 4 г) arctg4 + arctg 5. Решение:
Пусть arcsin 3/5 + arcsin 12/13= у, тогда cos у=cos(arcsin 3/5 + arcsin 12/13). Применим формулу косинус суммы и получим: cos у= cos (arcsin 3/5) cos(arcsin 12/13) – sin(arcsin 3/5) sin(arcsin 12/13) Вычисляя каждое выражение в отдельности, получим cos у=-16/65, значит у=arсcos(-16/65) Ответы: 3. а) 0 б) 2π/3 в) 3π/4 г) π/2 д) -π/6 е) - π/6 ж) 0. 4. а) [ 0;2] б) [ 2;6] в) [ -1 - √2; -1 + + √2] г) (-∞ ; +∞) ж) [0; +∞) 5. б) -2 / √5 в) 4√2/9 г) 4√2 /7. 6. а) arсcos(-16/65) б) arсcos(-3/5) в) – arctg1/21 г) arсctg(-19/9)
Итогом этого занятия должен быть математический диктант с последующей проверкой. Проверка может осуществляться через проецирование с помощью оверхеда, ответы могут быть заранее готовы на дополнительных досках, а также к проверке можно привлечь и учащихся.
Занятия 2-4. Функции у=arcsin x, y=arccos x, их графики и свойства. Данные занятия следует начинать с понятия обратная функция. Определение. Пусть каждому значению у ∈ Е(f) соответствует только одно значение х € D(f), для которого у= f (х). Указанное соответствие у→х задает функцию с областью определения Е(f) и областью значений D(f). Эту функцию называют обратной к функции f (х). Обозначив обратную функцию через g, имеем: если у= f (х), то х = g(у). Примерами обратных функций могут служить показательная и логарифмическая функции. Для каждой из этих функций всегда можно найти обратную функцию. А вот для функции у=х 2 есть обратная функция только при определенных условиях. При каких? (Монотонность функции. y=х
имеет обратную ей у= √х только для х ∈[0; +∞)). Каким свойством обладают графики взаимообратных функций? (Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х). Используя эти определения и свойства, построим графики функций у=arcsin x,
- π/2
π/2 1 -1 х наим = -π/2, у наим = -1, (-π/2; -1) 6.
наиб = π/2, у наиб =1, (π/2;1) 5.
4.
3.
E(y)= [-1;1] 2.
1. -1
- π/2 π/2
х наим = -1, у наим = -π/2, (-1; -π/2) 6.
наиб = 1, у наиб = π/2, (1; π/2) 5.
(0;0) 4.
3.
2.
1. x
y x
С помощью средств анимации построение графика функции у= arcsin х будет выполнено пошагово и наглядно.
Аналогично поступаем и с функцией у= arccos x. Слайд 2. Функции у=cos x и y=arccos x π/2
х наим = π, у наим = -1, (π; -1) 7.
наиб = 0, у наиб =1, (0;1) 6.
5.
4.
3.
2.
1.
7.
наиб = -1, у наиб =π, (-1; π) 6.
5.
4.
3.
2.
1. π
-1 1 1 -1 π y y x x Далее необходимо напомнить учащимся о возможных преобразованиях графиков функций и выполнить с классом устную работу.
1. Установить соответствие между графиком и формулами.
4. y= cos (x+1) 3. y= -cos (x+1) 2. y= arccos (x-1) 1. y=arccos (x+1) 4. y= -2 sin x 3. y=2 sin x 2. y= -2 arcsin x 1. y=2 arcsin x 2 π/2 -π/2 π/2
π 1 -2 2 y x y x
2. Указать для каждой из данных функции область определения и область значений. 3. Решить уравнения: а) arccos x= 3 х + 3,15 б) arcsin х= (½) х + 1,58
№1. Построить графики функций: а) у=2 arccos (х+2) – 2 б) у= -0.5 arcsin (x-1) +1 в) y= | 3 arccos (х+1,5)- 5 | Это задание может быть выполнено школьниками с помощью таблиц Эльконина – Давыдова с последующей взаимопроверкой. Таблица выглядит следующим образом.
Построить графики функции: а) у=2 arccos (х+2) – 2 б) у= -0.5 arcsin (x-1) +1 в) y= | 3 arccos (х+1,5)- 5 | Построить график функции у=2 arccos(x+4) +1 1, Введем вспомогательную систему координат О 1 х 1 у 1 , таким образом, что О 1
2. В системе О 1 х 1 у 1 построить график функции y= arccos x 3. Выполнить растяжение графика функции от оси О
1 х 1 в 2 раза. 1. Построить вспомогательную систему координат О 1 х
у 1,,
, таким образом, что О 1 (n,m) 2. В новой системе координат О 1 х 1 у 1 построить график функции y=arcsin x или y=arccos x. 3.Выполнить растяжение в k раз от оси О 1 х 1 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМ. РАБОТЫ ОБРАЗЕЦ
ТЕОРИЯ -4 -3 -2 -1 1 O 1 x x 1 y y 1 O 1 2
№2. Укажите все точки на оси Ох, являющиеся проекциями точек графика функции: x x y в x y б x x y а ln arccos ) ) 4 (arcsin ) lg arcsin ) 1 + = − = + = − π
Текст задания поставит в тупик многих школьников. Смысл этого задания состоит в том, что процесс нахождения области определения функции совпадает с заданием в этом номере.
№3. Решить уравнение: ) 4 4 ( 2 3 ) 1 arcsin( 3 ) ) 1 ( 2 arccos 2 ) ) 1 ( arcsin 2 ) 2 2 2 + − + = − + + = − + =
x x в x x б x x а π π π Текст этого задания можно варьировать: найти нули функции, найти абсциссы точек пересечения графиков функций, определить значения х, при которых точки одного графика лежат на графике другой функции.
№4.
Найти область определения функции: 2 sin 3 ) 3 arcsin( lg ) 3 2 2 arcsin ) 1 2 arccos
) 2 2 x x x y в x x x y б x x у а + − = + + = + = №5.
Найти область значений функции : 2 2 2 ) 4 arcsin
50 ( ) 1 2 arcsin ) )) sin (cos 125
, 0 arccos( 3 )
y в x x y б x x y а π π = + − = − = Текст этого задания можно сформулировать иначе: найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции, указать число целых значений функции.
2.а) (0;1] б) [-1;1/√2)U(1/√2;1] в) (0;1] 3.а) 1 б) -1 в) 2 4. а) (-∞;+∞) б) [0;½] в) [2;3)U(3;4] 5. а) [1;2] б) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 ; 0 π
Задания для самостоятельной работы 1. Вычислить: ) 8
arcsin 4 1 sin( ) )) 9 ( arccos(sin ) ) 7 10 arcsin(sin ) ))
1 (arccos
)( )) 5 3 (arcsin
( 9 ) )) 8 1 (arcsin )( 2 2 2
д г ctg в tg б tg а π π − − − − 2. Найти область определения функции: ) 2
4 ) 1 2 ) 1 arcsin( ) arccos ) 2 − + − = − − = = x x y в x x y б x x y а
3. Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции: 3 ) 2 cos
1 arcsin(
4 ) ) ) 2 3 arccos( 16 ( ) ) ) 1 2 (arcsin 2 32 ( ) 6 6 2 + − = − = + + = x y в x y б x y а π π π
4. Решить уравнение: x x x x в x x б x x а 2 arcsin 30 5 2 arcsin 6 ) 3 arccos
4 arcsin
) 0 arcsin 8 sin
) − = − = = π π
Занятия 5-7. Функции у=arctg x, y=arcctg x, их графики и свойства. Объяснение материала рекомендую вести с помощью ИКТ, проводя сравнительный анализ между функциями у=tg x и у=arctg x, y=ctg x и y=arcctg x. С помощью средств анимации построение графиков функций будет выполнено пошагово и наглядно. Слайд 4. Функции у=tgx и у=arctgx возрастающая 4. C Oy (0;0) 3. E(y)=(-π/2; π/2) 2. D(y)=R 1. возрастающая 4. C Ox (0;0) 3. E(y)=R 2. D(y)=(-π/2; π/2) 1. π/2
-π/2 π/2
-π/2 x y y x
Слайд 5. Функции у=сtgx и у=arcсtgx убывающая 4. C Oх (π/2;0) 3. E(y)=R 2. D(y)=(0; π) 1. убывающая 4. C Oу (0; π/2) 3. E(y)=(0; π) 2. D(y)=R 1. π π/2 π π/2
x x y y
Далее необходимо напомнить учащимся о возможных преобразованиях графиков функций и выполнить с классом устную работу. Устная работа. 1.Установить соответствие между графиком и формулами: Слайд 6.
графику функции 4. y=arcctg(x-1) 3.y=arctg(x-1)+ π/2 2. y=arcctg(x+1) 1. y=arctg(x+1)+ π/2 4. y=2 arctg(x+ π/2) 3. y=-2 arcctgx 2. y=2arcctg x 1. y=2 arctg x π/2
1 π 2π π y x x y
2. Для каждой из предложенных функций указать область определения и область значений. 3. При каком значении а уравнения не имеют решений: а) arctg x=cos x+ a б) arcctg x - а = π х . №1.
Построить графики функций: а) у=2 arctg (х+2) – π/2 б) у= -0.5 arcctg (x-1) +π в) y= | 3 arcctg (х+1,5)- π/3 | Это задание может быть выполнено школьниками с помощью таблиц Эльконина – Давыдова с последующей взаимопроверкой. Таблица выглядит следующим образом.
Построить графики функции: а) у=2 arctg (х+2) – π/2 б) у= -0.5 arcctg (x-1) +π в) y= | 3 arcctg (х+1,5)- π/3 | Построить график функции у=2 arctg(x+1) +π/2 1, Введем вспомогательную систему координат О 1 х 1 у 1 , таким образом, что О 1
2. В системе О 1 х 1 у 1 построить график функции y= arctg x 3. Выполнить растяжение графика функции от оси О
1 х 1 в 2 раза. 1. Построить вспомогательную систему координат О 1
1 у 1,, , таким образом, что О
1 (n,m) 2. В новой системе координат О 1 х
у 1 построить график функции y=arcsin x или y=arccos x. 3.Выполнить растяжение в k раз от оси О 1 х
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМ. РАБОТЫ ОБРАЗЕЦ
ТЕОРИЯ 1 x 1 x -1 y 1 y O O 1 -π/2 3π/2
π/2
№ 2. Решить уравнения: x arctg x arctg в x x arcctgx б x x arctg а − = − = − − = + − 3 ) 3 ( ) 0 2 ) 2 )( 0 5 , 0 ) 1 ( ) 2 2 π
Опыт показывает, что нередко ученик, «берясь» за решение уравнения (впрочем, как и неравенства), концентрирует свое внимание только на поиске преобразований, сводящих исходное уравнение к более простому, забывая при этом, что не каждое преобразование безобидно. Нужно помнить и о свойствах функций, их области определения и области значений. При решении приведенных выше уравнений необходимо обязательно найти ОДЗ. № 3.
Найти множество значений функции: )) 2 cos 3 (sin
4 1 ( 12 ) ) 2 1 ) 4 sin(
2 1 ( 4 ) )) 2 cos
sin 3 ( 25 , 0 ( 8 ) − + = − − = + − = x x arctg y в x arctg y б x x arctg y а π π π π
№ 4.
Решить неравенство: 0 ) 3 2 )( 1999 )(sin
0 ) 2 )( 2010
)(cos 0 ) 64 8 )( 2 3 )( 6 ≤ + − ≥ − + ≤ − + − π π π
x в arcctgx x б arctgx а x
Решение: в) 0 ) 3 2 )( 1999 (sin
≤ + − π arctgx x
Решение данного неравенства опирается на свойства функций y=sin x и y=arctg x . Введем функции y 1 =sin x-1999 и y 2 =2arctg x + 3 π . Е(sin x) = [-1; 1], E(y 1 ) =[-2000; -1998]. Это значит, что выражение sin x-1999 < 0 при любых значениях аргумента. Поэтому, выражение 2arctg x + 3 π должно принимать неотрицательные значения, т.е. 2arctg x + 3 π ≥0. 2arctg x ≥ - 3 π . arctg x ≥ - 6 π . Так как функция y 2 =2arctg x + 3 π возрастающая, то знак неравенства при дальнейшем решении сохраняется. То есть
3 3
6 ( ) 6 ( ) ( − ≥ − ≥ − ≥ x tg x tg arctgx tg π π Ответ: х
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ +∞ − ∈ ; 3 3 . № 5. При каких значениях а уравнение имеет единственный корень: 0 ) 2 )( )( 0 ) )( 0 ) 4 ( ) )( = − + = − = + − π
a y в e a arcctgx б x arctg a y а x
Ответы: 2. а) 1 б) 0; 2 в) 2; 3 3. а) [0; 2] б) [-1; 0] в) [-3; 0] 4. а) (-∞; 8] б) (-∞;0] 5. а) (-π/2;π/2) б) (-π;+∞) в) (-π/2;π/2)
№ 1. Вычислить: ) 150
( ) )) 5 1 )(sin( )) 7 1 ( 2 sin( 2 5 ) )) 3 ( ) 2 1 (arccos( log
) )) 3 4 ( ( 3 4 ) ) 2 3 arcsin 25 , 0 3 3 5 ( ) 2 2 ! tg arcctg e arctg д arctg г arctg в arcctg tg б arctg tg а − − − − − − − − − − π π π
№ 2.
Найти множество значений функции: ) 3 cos 3 sin 1 ( 18 ) ) 2 ( ) 1 ) 6 ) 4 ( 2 ) 2 2 x x arctg y г x x arcctg y в x arctg y б x arctg y а − + = − = = + − = π π
№ 3. Решить уравнение или неравенство: 36 6 ) 0 ) 4 )( 0 ) 3 ( 2 ) 0 ) 64 2 )( 2 3 )( 2 2 2 2 2 − = + ≤ − = − − ≥ − − − x arctg x arctg г arctgx x в x arctg x x б arcctgx а x π
Занятия 8-9. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Эти два занятия я рекомендую провести как практикум, заранее разделив класс на группы. В каждой группе должны быть учащиеся с разной математической подготовкой, тогда работа класса будет более плодотворной и результативной. Приведу примерный вариант карточек для проведения этого практикума.
1. Построить графики функций: )) 3 (arccos( )) 3 (arccos( 2 ) arcsin cos arcsin
sin ) 3 ) 2 ( 2 ) 2 2 − ⋅ − = + = − − = x ctg x tg y в x x y б x arctg y a π
2. Вычислить: 5 )
3 sin
arcsin ) ) 12 5 2 1 sin(
) ) 3 1 arcsin
1 (arcsin
) arctgctg г в arctg б tg а π − 3. Вычислить значения следующих выражений: 25 24
5 3 arcsin ) 3 1 2 1 ) )) 2 ( 2 5 3 arccos 2 1 ( ) )) 2 1 ( 2 5 4 arcsin 2 1 cos( ) − + − − − −
arctg arctg в arctg tg б arcctg а
Карточка 2. 1.Найти область определения функции:
2
2 3 1 1 ) 5 , 0 ) 9 arccos(
) lg arcsin ) cos
5 ) 3 arcsin( 2 log ) x arctgx y г x x y в x y б x x x y а − + = + + − = = + − =
2. Найти множество значений функции: 2 1 2 arcsin
) ) ) 5 3 arccos( 2 ( ) 2 3 ) 2 arccos
3 4 ) 2 2 4 4 + − = − = − = − = x x y г x y в arctgx y б x y а π π π
3.Найти наименьшее значение функции:
) 2 2 2 arccos(
) ) 2 2 ( ) 2 2
y б x x arctg y а − = + − =
1. Решить уравнения: ) 2 9 arcsin(
) 1 3 arcsin( ) 2 ) 3 1 arccos( ) cos 2 1 arcsin( ) 3 arcsin 2 arcsin
) 2 arccos 3 arccos
) 2 − = + − = + + + = + = +
x x г tgx x в x x б x x а π π π
2. Найти сумму х 0 +у 0 , если (х 0 ;у
) – решение системы
2 ) arcsin( 1 1 1 2 2 π = + = + y x y x
3. Решить неравенства: 0 5 , 0 2 ) 6 2 )(arcsin 0 ) 2009 2 )( 6 )( ≥ − + ≤ + −
x б arcctgx а x π π
1.Сколько получится числовых промежутков, если из отрезка, определяемого множество значений функции 3 2 ) 2 2 3 sin(
2 sin
arcsin 4 ) ( + − − =
x x f π , удалить все целые числа? 2. Для каждого значения параметра а решить неравенство 0 ) 1 arccos(
) ( ≥ − −
a x .
Занятие 10-11. Зачет (тест) В качестве зачетных заданий предлагаются задания из разделов «Задания для самостоятельной работы». Школьникам заранее дать текст этих заданий, провести консультацию по возникшим вопросам.
Согласовано на заседании РИМК Протокол №_____ от «___»___________ 2009 г.
.
Утверждаю Директор школы: ____________ /В.А.Сидоров/ «__» _______________ 2009 г.
Элективный курс Обратные тригонометрические функции
Программу составила учитель математики МОУ «Средняя общеобразова- тельная школа №4 г.Боровск-1» Сироткина Г.М.
2009 жүктеу/скачать 1,56 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|