1/2 𝑉=∫1_0^𝑅〖𝜋(𝑅^2−𝑥^2)𝑑𝑥〗=𝜋(𝑅^2∙𝑥−𝑥^3/3)|𝑅¦0┤=2𝜋/3 𝑅^3 теңдігімен, ал шар көлемі: 𝑉_шар=4𝜋/3 𝑅^3 формуласымен анықталады.
Шардың әрбір қимасы оны екі бөлікке бөледі. Осы бөліктерді
шар сегменті деп атайды (2 – сурет). Енді кіші шар сегментінің көлемін анықтайық. 𝑂𝑥𝑦𝑧 тік бұрышты координаталар жүйесін 2 – суретте көрсетілгендей орналастырайық. Онда CD кесіндісін шар сегментінің биіктігі деп атайды. Биіктігі CD=h және радиусы R бойынша осы сегмент көлемін табу керек. OC=R–h болғандықтан, интегралдың шектері R–h – тан пен – ге дейін өзгереді:
𝑉_сег=𝜋∫1_(𝑅 – ℎ)^𝑅〖(𝑅^2−𝑥^2)𝑑𝑥〗=𝜋(𝑅^2∙𝑥−𝑥^3/3)|𝑅¦(𝑅 – ℎ)┤=𝜋ℎ^2 (𝑅−ℎ/3), яғни 𝑉_сег=𝜋ℎ^2 (𝑅−ℎ/3) формуласымен анықталады.
Ал шар секторының көлемі кіші шар сегменті мен конус көлемдерінің қосындысына тең (3 – сурет). Егер CD =h болса, онда OC =R –h және 𝐶𝐵=√(𝑅^2−(𝑅−𝑥)^2 ). Олай болса,
𝑉_сектор=𝑉_сег+𝑉_конус=𝜋ℎ^2 (𝑅−ℎ/3)+1/3 𝜋∙〖𝐶𝐵〗^2∙𝑂𝐶= =𝜋ℎ^2 (𝑅−ℎ/3)+1/3 𝜋∙(2𝑅ℎ−ℎ^2 )∙(𝑅 –ℎ)=2𝜋/3 𝑅^2 ℎ, яғни 𝑉_сектор=2𝜋/3 𝑅^2 ℎ формуласымен анықталады.
Сфераның ауданы Айталық, бізге Ф беті берілсін және оның бетін бояумен біркелкі бояп шығу қажет болсын. Бояу берілген бетке қаншалықты жұқа жағылса да, оның белгілі қалыңдығы (биіктігі) бар, яғни дене болады. Осылай алынған денені Ф бетінің қабыршағы деп атайды. Сонымен, бет қабыршағы деп оның әрбір нүктесіндегі жанама жазықтыққа перпендикуляр болатын ұзындығы 𝜀 санына тең кесінділер жиынынан құралған денені айтады (4 – сурет). Егер Ф бетінің ауданы S – ке тең болса, онда 𝜀 қалыңдықпен жағылған бояу көлемі (қабықшақ көлемі) шамамен 𝑉_𝜀≈𝑆∙𝜀 теңдігімен анықталады. Мұнда 𝜀 саны неғұрлым кіші болған сайын теңдік соғұрлым дәлірек болары анық. Олай болса, жуық шамамен 𝑆≈𝑉_𝜀/𝜀 теңдігі орындалады деп есептеуге негіз бар.Сондықтан бет ауданына мынадай анықтама беруге болады: 𝑉_𝜀 қалыңдығы 𝜀 санына тең қабыршақ көлемі болсын. Онда бұл S бет ауданы 𝜀→0 болғандағы 𝑉_𝜀/𝜀 қатынасының шегіне тең.
Мысалы, егер Ф – ауданы S – ке тең жазық бет (көпбұрыш, дөңгелек және т.с.с.) болса, онда 𝑉_𝜀≈𝑆∙𝜀 болып, lim┬(𝜀→0)〖𝑉_𝜀/𝜀〗 =lim┬(𝜀→0)〖(𝑆∙𝜀)/𝜀〗=𝑆 теңдігін аламыз.
Енді осы формуланы пайдаланып, сфера бетінің ауданын анықтайық.
Мысалы, бізге радиусы R – ге тең концентрлі сферамен шектелген дене болады (5 – сурет).
