Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015

болады.  Дэл  осындай  жолмен  егер 
х >
 О  болса,  онда 
г2
  = - я  + 
°
 дг,  ал  егер
а
'
 ' 
. ’УУ
*' * 
Q
 
' -  f  . - 
Ц/-Д-  r_ , 
.*./ : ;• ^ 
?.  I  j,'-'
x
 < 0  болса, онда 
г2
  = 
а
 —  
х
  болатынын табамыз.
а
Сонымен карастырып отырған 
М( х , у )
  нүктесі үшін
rx =  - х  + а\, 
r2
  =i
- x - a ,
 
(5.23)
a 
a
 
j 
, 
v 
f.
яғни 
rx - r 2 = 2 a
  теңдігі  орындалады  да, 
M( x , y )
  нүктесі  гиперболада 
жататындығын көреміз. 
‘. “-г1
-
  •  ! 
..
(5.23) 
теңдеулеріндегі 
гх
  жэне 
г2
  гиперболаның  кезкелген 
М
(*, 
у )  
нүктесінің фокальдык радиус-векторлары, яғни
болады.
rl = F lM,  
r2 = F 2M
(5.23)  теңдеулеріндегі  —  шамасы 
гиперболаның  эксцентриситеті
  деп
аталады жэне 
е
  аркылы белгіленеді. 
■
Гиперболаның  эксцентриситеті  эруакытга  £ > 1,  себебі  гиперболаның 
анықтамасынан 
2с > 2а
  болатынын білеміз.
теңдеулерін
Г\  — ex + а
  жэне 
г2
  = 
ех — а
 
(5.24)
түрлеріне
формулалары
 деп аталады.
5.3.2  Гипербола пішінін оның канонды к
теңдеуі бойынш а зерттеу
Гиперболаньщ (5.22) канондык теңдеуін
4
. ^ 
2
 
2 
у 
=
 
±
~
х
 
~
а
 
(5.25)
түрінде  жазып, 
х
 
-ке  кез  келген  мэн  беру аркылы, 
у
 
-тің  сэйкес  мәнін  табуға 
болады.
Енді  гиперболаның  пішінін  оның  (5.22)  жэне  (5.25) теңдеулері  бойынша 
зерттейік.
а)  Егер 
х
 
= 0  болса,  онда 
у
 = 
±Ьі9
  ягни  гипербола 
Оу
  өсімен 
қиылыспайтынын көреміз;
б) егер  .у = 0  болса,  онда 
х
 = 
±а,
  ягни гипербола 
Ох
  өсімен екі 
А, ( - а,
 0)
жэне 
А2(а,
 0)  нүктеде киылысады.  Бұл нүктелер озара симметриялы абсцисса 
бойында жатқан гиперболаның нүктелері;
в)  (5.25)  теңдеуі 
х  > а
  мәндерінде  ғана  орын  алады,  себебі 
х 2 -  а 2
  > 0  
болуы керек, осыдан 
х 2  > а 2,
  ал 
х  > а
;
76

г) 
с 2
  - а 2  = 
Ь2
  теңдігінен: 
с >  b9  с >  а
  немесе 
2 с > 2 Ь,   2 с > 2 а .
  Мұндағы
2 а
-   глперболаның  накты  өсі, 
2 Ь -
  онын  жорамал  өсі,  ал  2с -   фокустык 
аралык;
19-сурет
д) 
(5.22)  теңдеуі  ағымдағы  координаталардын  тек  квадраттарынан  гана 
тұратын  болгандыктан,  координат  өстері  гиперболаның  симметрия  өстері 
болады.  Гиперболаның  фокустары  орналаскан  симметрия  өсі 
фокустык,  өсі 
деп  аталады.  Симметрия  өстерінің  киылысу  нүктесі  -   симметрия  центрі  -  
гиперболаның  центрі
 деп аталады. (5.22) теңдеуімен берілген гипербола үшін 
фокустык  өс 
Ох
  өсімен  беттеседі,  ал  координат  басы  -   0 (0, 0)  нүктесі
гиперболанын  центрі  болады.  Гиперболанын  фокустык  оспен  киылысу 
нүктелері  Л |(-а ,0 )  жэне 
А2(а,0)  гиперболаның  төбелері
 деп  аталады.  Бұл
екі  нүктенін  аракашыктығы  2а-га 
(А]А2 = 2 а )
  тең,  ал  осы 
А}А2
  кесіндісі
т
гиперболаның нақты  (фокустық) өсі
 деп аталады (19-сурет).
Егер  гиперболанын  жорамал  симметрия  өсі  бойынан  центрдің  екі 
жағынан  ұзындығы 
6 - ғ а  
тең 
ОВх
  және 
ОВ2
  кесінділерін  өлшеп  салсак,
онда 
В}В2
  кесіндісі  гиперболанын  жорымал  өсі  деп  аталады, 
В]В2 =2Ь.
Гипербола 
х
 = 
±а
  түзуінен  сырт  орналаскан,  ол  екі  тармактан  тұрады.  Егер 
М(х, у )
  нүктесі  он  жак  тармагында  жатса,  онда 
г{
  > г2,  демек 
гх - г 2
  = 2
а.
Егер 
М( х, у )
  нүктесі  сол  жак  тармагында  жатса,  онда 
гх < г 2.
  Олай  болса, 
і'
2 — rj = 2
а
  болады.
5.3.3  Г иперболанын асимптоталары
Қабырғаларының  ұзындыктары  2
а
  жэне  2 6 -га  тен  координат  өстеріне 
параллель  болатын,  диагональдарынын  киылысу  нүктесі  координат  басында 
жататын  тіктөртбұрыштын  диагональдары  гиперболанын  асимптоталары 
болатынын  көрсетейік.  Алдымен  карастырып  отырган  тіктөртбұрыштын
диагональдарынын тендеулері 
у - ± ^ х
  түрінде жазылатынын білуіміз керек.
а
Жоғарыда көрсетілген (5.25) тендеуін кайта карастырамыз:
V  =  ±
Ъ
а
•С2  -  а 2
(5.25)
77

жэне 
х
 > 0, 
у >
 О  болсын  деп,  гиперболаның 
М(х,  у )
 
нүктесімен 
у  —
Енді  осы  теңдеудің  оң  таңбалы  жағын,  яғни 
у = -   х 2 - а 1
  түрін  алып
а
Ь
—
х 
а
түзуінің 
нүктесін  салыстрамыз  (20-сурет).  Бұл  нүктелердің
абсциссалары  бірдей  болғандыктан,  біз  олардың  тек  ординаталарын 
салыстырамыз.  Суреттен 
у х > у
  болатыны  көреміз.  Онда  бұл  нүктелердін
ординаталарының айырмасы 
у х -  у
  олардың аракашыктығын көрсетеді, яғни
MN = у г  - у .  
’ 
*
Біздің  ендігі  максатымыз  абсцисса  мәні  шексіз  өскен  сайын  осы  ара 
кашыктык мәнінің азая беріп, нөлге ұмтылатындығын көрсетеміз.
Қарастырып  отырған 
N ( x , y x)
  нүктесі  тузуде  болғандыктан,  оның 
координаталары түзудің теңдеуін канағаттандьфады, яғни
Ъ
У і = ~ х
a
теңдеуі орындалады.
Ал 
М(х, у )
  нүктесі  гиперболада  жаткандыктан,  оның  координаталары 
(5.25) теңдеуін канағаттандыратьш болады, яғни
Ъ 
2 
2
У = —   х   - а  
а
теңдеуі орындалады.
Демек,
W m m 7 y m
\  
a 
a
немесе
MN = - ( x -   :Х2 - а 2 )
a
болады.
Осы  теңдеудегі  иррационалдыктан  кұтылу  үшін  теңдеудің  оң  жағын 
жакша ішіндегі айырымның түйіндесіне көбейтеміз жэне бөлеміз. Сонда
20-сурет
MN
_  Ь  ( х -   х 2  - а 2 Ц х +  х 2 - а 2 )  Ь
1
а~
а
78

немесе
а • Ь
Ш  =
-----
-г
' 2
х +   х  - а
теңдеуін аламыз.
Осы  формуладан  х-тің  мәні  шексіздікке  ұмтылса,  бөлшектің  шамасы 
нөлге  ұмтылатындығын  көреміз.  Бұл  дегеніміз,  егер 
М
  нүктесі  гипербола
бойымен 
козғалып, 
шексіздікке 
ұмтылса, 
оның 
у  -
 — 
х
 
түзуімен
а
аракашыктығы  азайып,  нөлге  ұмтылатындығын  білдіреді.  Г ипербола
нүктесі
жүиесінің  басына  Караганда  симметриялы  болғандыктан, 
М
.•___  
.  . 
Ь
нші  ширекте  орналасса  да,  өзінщ  козғалысында 
у
 = — 
х
  түзуіне
а
жакындай  беретінін  дәлелдеуге  болады. 
Оу
  өсіне  Караганда  гиперболаның 
симметриялыгын  ескерсек, 
М
  нүктесі  екінші  немесе  төртінші  ширектерде
_
 
.  
Ъ
орналасып  козғалатын  жағдаиларында  да 
у -
 —  
х
  түзуіне  жакындаи
а
беретінін дәл жоғарыдағыдай дэлелдеуге болады.
Сонымен  тіктөртбұрыштың  диагональдары  болатын  бұл  екі  түзу 
гиперболанын 
асимптоталары
  деп  аталады  жэне  олардын  теңдеулері 
жоғарыда көрсеткеніміздей
b 
Ьт
У - - х
  жэне 
у  -
 —  
х
 
(5.26)
а 
а
түрлерінде жазылады.
(5.22) теңдеуімен берілген гиперболаға түйіндес гипербола деп
у 2 
х2
і
 
&  V
 
— Г - 1 
(5.27)
о 
а
теңдеуімен 
аныкталатын 
гиперболаны 
айтады. 
Бұл 
гиперболанын
беттесіп
аныкталады
0 \
нүктелерінде
21-сурет
гиперболанын төбелері деп аталады (21-сурет).  21-суретте (5.22) теңдеуімен 
аныкталған гипербола бөліктелген сызыктармен көрсетілген де, ал оган
7 9

түйшдес  (5.27)  теңдеуімен  аныкталған 
Оу
  өсімен  киылыскан  гипербола 
кескінделген.
Егер 
а = Ь
  болса, онда гипербола тең кабырғалы (тармакты) деп аталады 
(22-сурет).  Бұл жағдайда оның канондык теңдеуі
(5.28)
түрінде жазылады да,  асимптоталарының теңдеулері
V = ± 
X
болады. 
.  ,  . 
ш
 
Б  і
22-сурет
5.3.5 Г иперболанын директрисалары
Гипербола центрінен, яғии координат жүйесінің басынан қашықтығы
а
шамасына  тең  болатын, 
Оу
  өсіне  параллель,
екі
а
х = ± -
  түзулерін 
€
жүргіземіз.  Гипербола  үшін  * > 1  болгандыктан, 
^ < а ,
  демек  ол  түзулер 
гиперболанын төбелерінің арасында орналаскан болады (23-сурет).
23-сурет
Гиперболанын  кезкелген 
М( х , у )
  нүктесінен  х = -   түзуіне  дейінгі 
кашыктыкгы  |   аркылы  белгілеп,  егер 
М
  нүктесі  гиперболанын  оң  жак
80

. 
а
тармағында  жатса,  онда 
а
 = 
х
 — ,  ал  ол  нүкте  гиперболанын  сол  жак
s
тармагында жатса, онда 
d
 = 
— х
  болады.
£
j■
 
v;--  v ,   ^  ,  ■
-  * 
\ %
-■
 
'Шк&АшШ
Енді 
МҒ2
  = г2  екенін ескеріп,  —  катынасын карастырамыз:
d
r7 
ex — a 
tj 
a — ex
— = ------- немесе  — = ---------.
d
o
 
d a
x -  — 
— - j c
£ 
£
Осы екі жағдайда да  —  катынасы бірдей және 
е
 -ге тең, яғни
d
e x - a
-------- = 
е
, сонымен  — = 
е
ex- а  
d
болады.
Гиперболанын  фокустары  координат  басына  Караганда  симметриялы
орналаскандыктан,  сол  жак  фокус 
F*
  мен
а
х =
 —  
түзуі  үшш  де  осы
I
катынастын тұракты жэне 
е
 - ге тен болатынын дэл  осы лай  корсетуге болады.
4
-анықтама.
  Г иперболанын  фокустык  өсіне  перпендикуляр,  онын
а
 
___
центрінен 
кашыктыкта жаткан екі түзу
е
х = ±
а
гиперболаның директрисаяары
 деп аталады (23-сурет).
5.4 Парабола
5.4.1  Параболанын канондык тендеуі
5
-анықтама.
  Берілген 
фокус
  деп  аталатын  нүкте  мен  берілген 
директриса
  деп 
аталатын 
түзуден 
бірдей 
кашыктыкта 
орналаскан 
жазыктыктын нүктелер жиыны 
парабола
 деп аталады.
24-сурет
81

Параооланын  канондык  теңдеуін  қорытып  шығару  үшін 
Ох
  өсі  есебіне 
оның  фокусы  аркылы  өтетін  директрисасына  перпендикуляр  түзуді  аламыз 
(24-сурет).  Координаттар  жүйесінің  бас  нүктесі  үшін  фокус  пен  директриса 
аралығының  ортасын  аламыз.  Ал  директриса  мен  фокус  аралыгы 
DF
 = 
р
аркылы  белгіленіп, 
параболаның  параметрі
  деп  аталады.  Онда  фокустын
координаталары 
х
 = — 
жэне 
у
 = 0,  яғни 
F ( — ;0),  ал  директрисасынын
Ш
 
? 
2 
*1-
р  
р
теңдеуі 
х
 — — —  немесе 
х
 + — = 0  болады.  Енді 
параболаның  кезкелген 
М( х 9у )
  нүктесін  аламыз.  Осы 
М ( х , у )
  нүктесінен  директрисаға  жүргізілген
перпендикулярдың директрисамен қиылысу нүктесі 
N ( - —:y)
  болады.
г'  ‘ 
J  ч * 
2
Демек аныктама бойынша 
МҒ
 = 
MN.
  Ал егер 
МҒ
 = 
г
  жэне 
MN = d
  деп 
белгілесек, онда соңғы теңдік
r = d
 
(5.29)
түрінде  жазылады.  Бұл  теңіктің  орындалуы 
М
(х, 
у )
  нүктесінің  параболада
жатуының қажетті жэне жеткілікті шарты болады.
Ал,  екі нүкте аракашыктығының формуласы бойынша
г -
  I * -  
—
+ у 2\ 
d  =
  [х  + —
болады.  Сондыктан (5.29) теңдігі
f  
Р } 2 
2 
(  
Р л1 
х - ~  
+ y z
  = 
х + 
—
v 
2 J 
^  
A 
2 
j
(5.30)
түріне келтіріледі.  Осы теңдеудің екі жағын квадраттап,
2
 
р 2 
2 
2 
Р 2
X  - p X  +  ^ -  +  y Z - X 1  + р х  +  
;
4 
4
теңдеуін аламыз, бұл теңдеуден
У2 = 2 р х
 
(5.31)
теңдеуі  шығатынын  көреміз.  Бұл  теңдеу 
параболаныц  канондык,  тещдеуі
 деп
аталады.
5.4.2 Параболаның пішінін оның канондық 
\  
теңдеуі бойынша зерттеу
Параболаның канондык (5.31) теңдеуінен
у  = ±  '2рх,
 
(5.31')
мұндағы 
р  >
 0,  ендеше 
х >
 0  тэуелсіз айнымалы шама. Айнымалы 
х
  шамасы 
( 0 ,  +  о о ) 
аралығында өзгеретін болады.
1) 
Егер 
х
 = 0  болса, онда 
у
 = 0.  Демек парабола координат жүйесінің бас 
нүктесінен өтеді екен;

2)  х-тің  әрбір  оң  мәніне 
у
-тің  екі  мәні  сәйкес  келеді.  Демек  парабола
нүктелері 
Ох
  өсіне  карағанда  симметриялы  больш  орналасады  екен.  Ал  х - 
тің мәні өскен сайын 
у
 -тін  абсолют мәні де өсіп отырады (25-сурет);
3) параболаның бір ғана симметриялык өсі болады.  Оны парабола өсі деп 
Ітаймыз.  Ол  (5.31)  теңдеуімен  берілген  парабола  үшін 
Ох
  өсі  болады; 
Параболаның симметрия  өсімен киылысу нүктесін оның төбесі деп атаймыз;
4) параболанын директрисасы 
х
 = -   ~  теңдеуімен аныкталады.
25-сурет
26-сурет
5.4.3 Параболанын канондык тендеулерінін түрлері
Параболанын келесі түрдегі
2
У  =
= 
—2рх
(5.32)
тендеуін  карастырамыз  (26-сурет).  Бұл  тендеуде
айнымалы 
х
  шамасы 
(0 ,+  со) 
аралығында өзгереді, 
Ох
  өсі  онын  симметрия 
өсі,  ал  төбесі  координат  жүйесінің  бас  нүктесінде  жататын  болады.
Ғ ( - —;  0)  нүктесі  онын  фокусы,  ал  х = --  түзуі  оның  директрисасы  болып 
?  ? 
'f 
с
 
л 
' '"J, J
 »Д V 
2 
Jji  -- r-A 
i
  '* 
“* 
1 
j
табылады.  Ал, 
Oy
  өсіне  Караганда симметриялы  болатын төбелері  координат
жүйесінін  бас  нүктесінде  жататын  параболалар  мына  түрде  жазылады  (27- 
сурет):
х2 = 2ру,  X2
 = - 2
р у   ( р >
0).
27-сурет

Е н д і  
канондык теңдеуіне кайта оралайык.  Осы теңдеумен берілген 
параболанын  фокусы  мен  кезкелген 
M ix ,у )
  нүктесінің  аракашыктыгы
ҒМ
 = 
г
  параболанын 
М
  нүктесінің радиус-векторы деп аталады.
Г = 2 +Х 
(5,33) 
себебі аныктама бойынша 
г  = d ,
  ал 
d  = р / 2  + х
  болады.
Параболанын эксцентриситеті эр уакытта
£ =  — = 1. 
d
5.5 №6  өздік жүмыс тапсы рм алары
№1
Центрі 
0 {х \ у )
  нүктесінде  орналаскан,  радиусы 
R = a
 
тең  шеңбер 
теңдеуін  жазыңыз  жэне  сызбасын  салыңыз. 
А(х
1; 
у
х), 
В(х2; у2)
  және
С(хъ, у 3)
  нүктелері шеңберде жататынын немесе жатпайтынын тексеріңіз.
1.1. 
0(2,4); R
 = 3; 
А(
3;2), 
В ( -
1;2), С(2;1).
1.2.  <Э(-2;1); 
R
 = 4; 
А(
2;-1), Я(3;1),С(-3;-2).
1.3.  0 (-3 ;-2 ); 
R =
 5; Л(3;0), Я(1;-1),С(-8;1).
1.4.  0(-4;1); 
R =
 3; /1(-7;1), Я(-3;4),С(-2;1).
1.5.  0 (2 ;-6 ); Я = 4; Л(3;1), Я (4;-4),С (-2;-6).
1.6.  0 (-1 ;-3 ); Д = 5; 
А(2;1), В (4;4),С (-2;-3).
Я   0 ( - - ; 4 ) ;  /г = 6;  Л(2;3), 5(-5;2),С(1;2).
1.8.  0(-2;2,5); 
R = 7; А(5;2,5), В(-7;7),С(0;0).
1.9.  О М ;-5 ) ;Л  = 5 М М ;0 ),
1.10.  0(4;2); 
R =
 3;  ^(1;2), Я(0;0),С(-2;-3).
1.11.  0(3;-1); /? = 1; Л(0;0), 5(-2;-2),С (4;-1).
1.12.  0 (-2 ;-7 ); 
R =5; А (-
3;-2), й(2;4),С(-2;4)
1.13.  0 (-4 ;-1 ); Л Ц 6; 
А(
2;-1), £(4;1),С(-6;-2).
1.14.  0(2;8);  Я = 3; Л{-2;3), Д(1;7),С(4;6).
1.15.  0(4;  4); 
R =
 4;  Л(3;-6),  fi(-l;0),C (l;-2).
1.16.  0(6;0); Л = 5; Л(2;2), 5(0;3), С (-3;-4).
1.17.  0 (-4 ;2 ); 
R
 = 3; ^(-6;4),  5(-2;4),С (-6;6).
1.18.  0(7;2); Я = 6;  Л(1;2), 5(4;3),С(8;-1).
1.19.  0(4;-3); 
R = 7; А ( -
3;-2), 5(3;-3),С(2;4).
1.20.  0 (-1 ;-3 ); |  = 5; Л(-5;0), 5(-2;-2),С (2;3).
1.21.  0(-7;1); 
R =
 3; ^ (-2 ;-4 ),
84

1.22.  0(4;5); 
R = 4; А ( -
1;2), Я(0;5),С(3;2).
1.23.  0(8;1); 
R =
 4; 
А(
2;5), £(7;3),С(5;-2).
1.24.  0 (-7 ;-2 ); Л = 5; Л(0;2), Я (-6;-1),С (-4;2).
%  1.25.  0 (-6 ;-5 ); R = 4; 
А ( -
5;-1), Д (-1;-3),С (-3;-2)
1.26.  0(-2 ;4 ); Л = 7; Л(4;1), Я(5;2),С(-1;3).
1.27.  0(4;-5 ); Л = 6; Л(5;1), Д(0;0),С(4;1).
1.28.  0 (-2 ;-7 ); Л = 5; Л(4;2), 5 (^ ;-3 ),С (-2 ;-1 ).
1.29.  0 (-2 ;-5 ); Л = 7; 
А ( - 1 - 2 ) ,
 Я(-5;3),С(1;-2).
1.30.  0(-8;1); Л = 5; Л(0;3), ДМ ;0),С(-6;1).
№2
Келесі теңдеулермен берілген шеңберлерді салыңыз.
2.1  1 х 2
•у
+ у
' — 6
jc
- 1 0 ^  + 30 =
3
2
X
2
+ У
- Ю у + 9 = 0.
2.2  1
X2
+ г
1+ 2 х
-4 j>  +  4  =  0;
3
2
X + у 2
— 
+ 
5 
= 
0.
2.3  1
2
X + у 2
-  8
jc
 + 
2 у
 +
11 
= 
0;
3
х2 + у 2
+ 8 
у -
2 0 = 0 .
2.4  1
х 2 + У 2
+ 
6х
 + 
%у
 +
16 
= 
0;
3
2
X
+ у 2
+ 6 у  -
40 = 0.
2.5  1
2
X
2
+  У - 6 х  —
й
 с-
О
M
l
1
О
3
х 2 + у 2
- 1 6 ^  + 15 = 0.
2.6  1
2
X + у 2
+ 4
jc
- Юу + 9 = 0;
3
х 2
2
+ у
+ 4
у -
45 = 0.
2.7  1
х 2
2
+ г + 8* + і0у + 40 = 0;
3
х 2
+ 14
v
 + 40 = 0.
ң н
2.8  1
2
X
+ / - 4
jc
 
+ 
8 v -  
20 = 0;
3
х 2 + у 2
+ 10у
т
-11 = 0.
2.9  1
X
2
2
+ 
V
W
+ 10*
-  2 y  +   2 2  =  
0;
3 X2
+ у 2 + 2 у -
48 = 0.
0;
2
2.10  1) 
х  + у
4  +8дг-6>-+24 = 0; 
3) 
х 2 + у 2
 
+12^ 
+ 35 = 
0.
2.11  I) дг2 
+ у 2  + 2х + 2 у  + \ - 0 ;
2)  х 2
 + 
у 2
 
-  
4х
 
-  211  0;

жүктеу/скачать 12,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: