Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015

х 2
  ~ хі 
У
2
  ~У\ 
z 2 - z l = 0
 
(4.29)
f e  --*1 
Уз ~У\ 
-  Щ
аныктауышымен  аныкталады.  Бұл  тевдеу 
уш  нүкте  арқылы  өтетін 
жазықтық теңдеуі
 деп аталады.
5)  Екі ж азы қты кты н арасындағы бурыш.
Кеңістікте екі жазыктык жалпы теңдеулерімен берілсін.
Мысалы, 
Рх
  : 
Ахх  + Bxy  + Cxz  + D x
  = 0   жэне 
Р2
1 
А2х  + B2y  + C2z  + D2
  = 0  
жазыктықтарыберілсе,  онда олардыңарасындағы бұрыш деп сэйкёс нормаль
векгорлары  |   |  Й ; I  ■
 1 1  жэне 
Ж
  |  
{Л2 Щ Ш
  арасындағы  бұрышты 
алуға болады, ол бұрыш
f e k  A
 
1  
А   * ,
 
I
; W  
' Щ Ш Ш ;   Ж в 1 * с 1
 
Ш
а р а с ы н д а ғ ы   б ұ р ы ш   о с ы
формуламен есептелінеді.  4 
1 
Г 
I 
.
Х - Х у  
у - у х
 
2 - г ,
Егер
A 1 A  j  
*   А
^2 
в 2 
&  
щ
(4.31)
шарты орындалса,  онда берілген  |   жэне  />2  жазыкгыкгары параллель, ал егер
А \ А 2 + В
г
В2 + С 1 С2 = 0 ,
 
(4.32)
шарты  орындалса,  онда  берілген 
Рх
  жэне 
Р2
  жазыкгыкгары  перпендикуляр 
болады. 
1  ' 
>/
6)  Ж азы қты қты ң нормальдық теқцеуі.
Егер  жазыктыктың  нормаль  векторы 
N
 
координат  өстерімен  сэйкес 
<х,р
  жэне 
у
  бұрыштарын жасайтын болса, онда ол келесі түрде жазылады:
N  = cos а
 • / + cos/? • 
j
 + 
cosy
 ■ 
k
. 
(4.33)
Жазыктыктан  кандайда  бір  М 0 (*0; j,0; z0)  нүктесін  алсақ,  онда  (4.28) 
теңцігщ паидалана отырып, жазыктык теңдеуін былай жазамыз:
c o s a  •(•*-*o) + cos/?-(> ’- .y 0) + c o s y - ( z - z 0) = 0 .
Жақшаларды ашып бұл теңдеуді мына түрде жазамыз:
co sa • 1 1  cosy? 
- y  + c o s y - z -
 (cos a  • x 0  + cosyS - ^ 0  + cosy • z0) = 0 .
ЖаКШа  ІШІНдегі  өРнек  координатаның  бас  нүктесінен 
жазыктыкка 
дешнп 
аракашықтыкты 
береді, 
сондыкган 
оны
р
  cos 
а  ■ х0
 + cos 
р
 • Xj + cos 
ү ■ z 0
  деп  белгілесек  жазыктык теңдеуін  былай 
жазамыз: 
,  ,V: / v  
^  ;  ;
c o s a -х + cos
/ ? - y  + c o s y - z - p  = 0.
 
(4.34)
Осы теңдеу жазықтыктың 
нормаль тецдеуі
 деп аталады.
60

/)
  муктеден  ж азы кты кка деиінп арақаш ы қты қ.
Кеңістікте  кандайда  бір 
M 0(x0; y 0;z0)
  нүктесі  жэне  жазыктык  жалпы
теңдеуі 
Ах + By + Cz + D =
 0  аркылы  берілсін.  Онда  нүктеден  жазыктыкка 
дейінгі ара кашыктык мына формуламен есептелінеді:
А2  + В 2 + С 2
(4.35)
4.5  Кеністіктегі түзу теңдеулері
Кеңістіктегі 
түзулердің 
берілу 
әдістеріне 
байланысты 
олардың
әртүрлі
тендеуі
Кеңістікте  /  түзуінің  бойында  жататын 
M 0(xQ; y 0;z0)
  нүктесі  мен  осы
түзуге  параллель 
s = {m,n\p}
  векторы,  яғни  бағыттаушы  векторы  берілсе,
түзудің теңдеуін толык аныктауға болады.  Ол үшін түзудін бойында жататын 
тағы  бір 
М(х;у; z)
 
нүктесін  алып, 
М 0
 (jc0 ; 
у 0
; 
z 0)
 
жэне 
M( x; y\ z)
нүктелерінің  радиус-векторларын  сэйкес  r0  = 
ОМ0
 
жэне 
г
 = 
ОМ
  деп
мұндағы
түзуінің
коллинеар болады.  Қарастырып отьфған 
M
q
M
 = 
ts
  тен болатындыктан
г = % *  
ts
 
‘ 
(4.36)
теңдеуімен  аныкталады.  Осы  теңдеу  жазыктыктың 
вектпорлық  теңдөуі
  деп 
аталады.
2)  Түзудің 
параметрлік тецдеуі.
Енді  (4.36)  теңдеуін  координаталык  түрде  жазамыз.  Ол  үшін
г = 
ОМ
 = 
хі
 + 
y j
 + 
z k
, 
r0
  = 
ОМ0
 = 
x0i
-f-
y 0j  + z Qk
  жэне 
ts
 = 
tmi + t nj
 + 
tpk 
болатынын ескеріп, (4.36) теңдеуінен
x
 = 
x0
 + 
mt
У = У
ъ
+
пі
 
(4.37)
теңдеулер  жүйесін  аламыз.  Бұл  теңдеулер  жүйесі  кеңістіктегі  түзудің 
параметрлік теңдеуі
 деп аталады.
3)  Түзудін канондық тецдеуі.
Түзудін  параметрлік теңдеуі (4.37) теңдеулер жүйесінің әрбір теңдеуінен 
параметр  / -ны табатын болсак, онда
£ = %   = »
  ,   ? Г £ .  
(4.38)
т 
п 
р
 
х 
7
бі

теңдеуі  кеңістіктегі  түзудің 
канондық  теңдеуі
 деп  аталады.  Мұндагы 
т, п , р
түзудің  бағытгаушы 
s = {m\n,p)
 
векторынын  координаттары  болып 
табылады.
4)  Екі нүкте арқы лы  отетін түзудін теңдеуі.
Кеңістікте екі 
M x{xx, y x\ z x)
  жэне 
M 2(x2\ y 2; z 2)
  нүктелері  берілсін.  Осы
екі  нүкте  аркылы  өтетін  түзудің  теңдеуін  жазу  үшін,  бағыттаушы  вектор 
s 
ретінде 
М ХМ 2
  векторын аламыз.
s = М ХМ 2  = ( х 2 - х х)і + ( у 2  - у х) j  + ( z 2 - z x)k 
Енді 
М
j Ц ; 
у
х; 
z
x)  нүктесі  аркылы  өтетін  және бағыттаушы  векторынын
координаттары 
т = х2 —х х,  п
 = 
у 2  — у х, 
р  = z 2 —z x
 
болатын 
түзудін 
канондык теңдеуін жазамыз:
* ~ f i  
У~Уі 
z  — Z\
----- —  = — — - = — — L-. 
(4 3 9 )
* 2 - * і  
У г ~ У \  
т Щ
теңдеу
аталады.
тевдеуі
Кеңістікте  түзудщ  жалпы  теңдеуі  екі  жазыктыктын  киылысуы  түрінде 
беріледі: 
^
. Axx + Bi y  + Cxz  + D x
  = 0  
[A2x + B2y  + C2z  + D 2 = 0 '
 
(4.40)
Мұндай тевдеуді  канондық түрде  жазу үшін  (4.40) тендеулер  жүйесінде 
айнымалылардын  біреуіне  кез  келген  мән  беру  аркылы  калган  екеуін 
жүйеден  табамыз,  сонда  біз 
I
  түзуінің  бойында  жататын 
М 0
 (х0; 
у
0; 
z 0)
нүктесін  аламыз.  Ал  бағытгаушы 
s
  табу  үшін  жазыктыктардың  сәйкес 
N\
жэне 
N 2
  нормаль векторларынын векторлык көбейтіндісін табамыз:
___ [I 
j  
k\
s = N x 
x
N 2
  = j^ i 
Bx
 
C jj. 
(4.41)
i
A2 
B2 
C2
 j
Себебі 
I
 
түзуінің  бағыггаушы  векторы  жазыктыктардың  нормаль 
векторына перпендикуляр.
6)  Екі түзудің арасындағы бұрыш.
Кеңістікте екі түзу канондық теңдеулерімен берілсін:
\ /   ; 
х ~ х і
  -  
У ~ У і
  _  
z ~ z \
Щ 
Щ 
р х
1  ■  х ~ х 2  _  У ~ У і  
z ~ z 2
‘2  •  --------- = -------- - = --------. 
(4
  43')
т 2 
п2 
р 2 
( 
>
Кеңістікте  киылысатын  екі  түзудің  арасындағы  бұрыш  деп  олардың 
арасындагы  сүйір  бұрышты  аламыз.  Осы  бұрыш  олардың  бағытгаушы 
векторларынын  арасындагы  сүйір  бұрышка  тең.  Берілген  /,  және  /,
(4.42)
62

түзулерінін  сэйкес  бағыттаушы  векторлары 
s,  = m, 
i
 + л, 
j
 + p, 
к
 
жэне
s 2  = m 2i + n2 j +  p 2к
  болатынын  ескеріп  екі  түзудің  арасындағы  бұрышты 
мына түрде жазамыз:
COS(p =
 
= ___
т\ т2 + п г п2 + р г р 2
s \  s2 
т\
  + и,2 
+ р \
  • 
т\   + п \
  + 
р \
(4.44)
Егер
т
1 _  лі  _  
Р\
т2 
п2 
р 2
(4.45)
шарты  орындалса,  онда  кеңістіктегі 
Іх
  жэне 
12
  түзулері  өзара  параллель,  ал
егер
mx
  • 
m2  + nx
  • 
n2
  + /?,  • 
p 2
  = 0 
(4.46)
түзулері
болады.
Кеністіктегі түзу мен ж азы қты к
нондык теңдеуімен
, 
х —а  _  у  —6  _ 
z  — c 
m 
n 
p
(4.47)
жэне 
P
  жазыктығы жалпы теңдеуімен
P
: 
Ax
 + 5v + 
Cz
 + D = 0 
(4.48)
берілсін.
түзу
проекциясының арасындағы сыоаилас екі бұрыштың сүйір 
мен 
Р
  жазыктығының арасындағы бұрыш деп аталады.
жазыктыктың
Ф
  бұрыш  аркылы  өрнектейміз.  Яғни 
ф
 = — ± 
Ө
  болатынын  ескерсек,  онда
л М и и и і і ш и в и й и р и и р і р ш и и и і ^ и ^ и и и
± 
Ө
  I = + sin 
Ө
  теңдігінен  сыбайлас  бұрыштардың  синустары
cos 
<р
 = cos
V
2
өзара тең болатындығын ескеріп,  sin# > 0  деп алуымызға болады. 
Сондыктан  /  түзуі мен 
Р
  жазыктығының арасындағы бұрыш
.  „ 
N ' *  
А - т  + В- п  + С   р
sin# =  cos 
qy
 = 
——
-----
-
-----------
(4.49)
формуласымен есептелінеді.
Егер
Л- т + В  п + С
 • 
р
 = 0 
(4.50)
шарты орындалса, берілген  /  түзуі мен 
Р
  жазыктығы параллель, ал  егер
A B C
m 
n 
p
(4 .5 1 )
шарты орындалса, берілген  /  түзуі мен 
Р
  жазыктығы перпендикуляр.
63

Мысалы,  төрт  нүкте  берілген 
Ах
(4;7;8),  Л2(-1;13;0), 
А3(
2;4;9)  және 
і44(1;8;9).  Есептеңіз:
1) 
АХА2А3
  жазыктығының теңдеуін;
2) 
АХА2
  түзуінің теңдеуін;
3) 
АХА2А3
  жазыктығына перпендикуляр болатын 
А4М
  түзуінің тецдеуін;
4) 
А
х
А2
  түзуіне параллель болатын 
A4N
  түзуінің теңдеуін;
5) 
Ах А2А3
  жазыктығы  мен 
ЛХЛ4
  түзуінің  арасындағы  бұрыштың  синусын 
есептеңіз;
6) 
Оху
  координаттык  жазыктығы  мен 
АХА2А3
  жазыктығы  арасындағы
бұрыштың косинусын есептеңіз.
Шешуі:
1) 
А
х
А2А3
 
жазыктығының  теңдеуін  жазу  үшін  (4.29)  формуласын
паидаланамыз, сонда
І х - 4  
у - 1
  z - 8j 
' 
^ 
J  
.  .  .  _  , 
^
  J'J-
- 5  
6 
- 8   = 0 = > -1 8 (;c -4 ) + 21O>-7) + 2 7 (z -8 ) = 0=>
1 - 2  
- 3  
1 
%
6х
 -  
7у
 -  
9z +
 97 = 0  болады.
Сонымен 
А
х
А2А3
  жазыктығының теңдеуі:
6х - 1  у  - 9 z  + 91
 = О  түрінде жазылады;
2) 
А
х
А2
  түзуінің  теңдеуін  жазу  үшін  екі  нүкте  аркылы  өтетін  түзудін  (4.39)
теңдеуін паидаланамыз
х - 4  
у - 1
 
z - 8  
х - 4  
у
 — 7 
z - 8  
jc — 4 
у - 1
 
z - 8
- 1 - 4  
1 3 - 7  
0 - 8  
- 5  
6 
- 8  
5 
- 6  
8
x
 — 4 
у
 — 7 
z
 — 8 
Сонымен  4j 
A2
  түзуінің тең деуі:------ = -------= ------ болады;
5 
— 6 
8
3) 
А4М
  түзуі 
Л,Л2Л3
  жазыктығьша  перпендикуляр  болғаңдыкган,  түзудін 
багыттаушы  векторы  ретінде 
AtA2A3
  жазыктығынын  нормаль  векторы
теңдеуін  пайдаланып
теңдеуін былай жазамыз:
А. М:
jc
 — 1 
у - 8  
z - 9
6 
%
  - 7   ’   - 9
4) 
A4N
  түзуі 
А
х
А2
  түзуіне  параллель  болатьшдыктан  олардьщ  багыттаушы 
векторлары 
s x
  жэне 
s 2
  беттеседі  деп  есептеуге  болады 
s x
  = 
s 2  =
 {5; - 6;8}.
Сондыктан
жазамыз:
формуласын
A4N:
  Н
И
И
Й
в
5
- 6
 
8
64

5) 
А] Л4
  түзуінің  бағыттаушы  векторы 
s
 =  
ЛХЛ4
  = {— 3;l;l}  векторы  болады,  ал 
А\А2А$
  жазыктьіғының теңдеуі 
6х — Ту — 9 z + 97
 = 0  тең,  яғни  оның  нормаль
векторы 
N
 = {б;—7;—9}.  Онда (4.49) формуласы бойынша
.  .  
6 • (-3) + ( - 7 ) 1  + ( - 9 ) 1  
34
%
 
8® 
V  
----1 
....... 
■
  ■=
------ — 
- 
■
. 
— ■
 
......  ■
  =   --- ----------- — ■
  ■
 
% 0 S
■
  6 2 + (-7 )2 + (-9 )2  - - 
( - 3 ) 2 
+ 12  + 12 
11 •  . 166 
’
болады.
6) 
Оху1
  коор дин атты к  жазыктығынын  норм ал  векторы  деп 
Oz
 өсінің  бірлік 
векторы 
N x
  = {0;0;l}  аламыз,  ал 
А1Л2Л3
  жазыктығының  нормаль  векторы
^ 2
  —
 
7;  9}  болады. Сондыктан (4.44) формуласы бойынша
0 -6  + 0 ( - 7 ) + 1 ( - 9 )  
- 9
cosq>
 = —з—  
Ь  / 
v 
'
  .  =  .... 
*  -0 7
1-  62 + ( - 7)2 + ( - 9)2 
.166
болады.
4.6 №5 өздік жұмыс тапсы рм алары
Д*(х4^ 4>*4)- Есегггеңіз:
1)
 
AtA2A3
 
жазыктығының тендеуін:
2) 
А
х
А2
  түзуінін 
теңдеуін;
3) 
AjA2Aj
  жазыктығына перпендикуляр болатын 
А^М
  түзуінің теңдеуін;
4) 
А
х
А2
  түзуіне параллель болатын 
A+N
  түзуінің теңдеуін;
5) 
А
х
А2А
ъ
  жазыктығы  мен 
АХАЛ
  тузуінің  арасындағы 
бұрыштың 
синусын 
есептеніз;
6) 
Оху
 
координаттык  жазыктығы  мен 
Ах А2А3
  жазыктығы  арасындағы 
бұрыштың косину сын есептеңіз.
l . l ^ ( - 2 ; l ; 3 ) ,  
Л2
(4;6;2), 
А3( -
 1;3;0>  Л4(-5 ;2 ;і).
1.2v4j(5;l;-3), 
А2(
4:-1;2),  Л3(7;0;і),  Л4(-1;3;4).
1.3 Л, (2;-4;3),  Л2(5;2;1>  Л3(0;5;2),  Л4(
і
; - 2 ; -
і
).
1.4 4 ( 0 ;5 ;- 3 >  
Л2(2;1;5>,  Л3(3;4;і),  Л4(5;-2;3)
І.5/1,(4;5;1), 
А2 ( 7 ; 3 -
і
\
  Л3(2;1;-2),  Л4(-1 ;3 ;7 ).
1 -6 >4,(- 1;5;2)L  Л2(3;4;7),  Л3(2;-1;9>,  Л4(8;7;-2).
1.7^(1;4;8), 
А2(2;5;7\  А3(
3;-1;-7),  Л4(-7 ;-1 ;7 ).
1.8
А}
(2;-8;5), 
А2
( -  7;4;1), 
А3(
2;-6;3), 
А4(
7 ;-7 ;-і).
1.9 yf,(1;8;-7Х 
А2{5;-7;4\  А3
(2;1;-9),  Л4(8 ;-5 ;-і).
1.10 
А,(4:3;-8І А2(7;-5;-і),  А3(
2;1;-ЗХ 
А4(-4:5;2).
1.11
 
А,
 ( -  5;1;-9), 
Л2(5;7;2), 
А} (8,4,7), 
A,
 ( -  
3 ;-7 ;-
1).
1.12 
/1, (7;1;5), 
Л2
 ( -  9;3;-1),  /13 (б;5;-2), 
А Л -
1;—4;3).
65

1.13 
Ах
(2;-5;8), 
А2(
7;-3;-2), 
А} (4;5;-7),  А4(
4;2;-5).
1.14
  №
8;5;3^ 
d 2(S
; - Я
 
Л3(3;2;-і),  Л4(4;-7;2).
1.15 
Л, ( - 1;0;4),  Л2(8 ;7 ;-8 )  Л3(3;-5;і),  ^ 4(2;1;3).
1.16 
Л,(2;7;8),  Л2(4;-3;-9*  Л3(-7 ;4 ;-3 ), 
А4(4;9;7).
1.17 
Л,(-8;0;9Х 
А2 (4;3;5),  А3(
2;1;7),  ^ 4(-4 ;6 ;-3 ).
1.18  Щ 7 ; 2 ; 3 |  ^ 2 (3;-8;4),  Л3(5;3;-3), 
( -  2;5;-4).
.1 .1 9  
А{( -
 2;1;-9Х  Л2(7;3;5), 
А3
(2;4;-7),  Л4( - 6;4;-3).
1.20 
А,
 (2;-8;1Х 
А2
 (8;7;-3),  Л3 ( -  3;5;-8), 
Л4
 ( -  7;0;2).
1.21 
^,(7;5;9> 
А2( -
 4;8;б),  Л3 ( - 7;2;-4),  Л4(5;0;2).
1.22 
4 ( g 8 --5 ;3 |  Л2(-7 ;2 ;і), 
А3(4 $ Щ
 Л4(8;7;4).
1.23 
Л,(-3;0;5),  Л2(-4;7;2),  ^ З(4;5;3>  Л4(-2 ;1 ;-4 ).
1.24 
Ах
 (8;-7;3),  Л2( -  4;0;5), 
А3 (2;3;7),  А4
 (4;5;-9).
1.25 
А1( - 3 ; 2 ; - 1 ) , А 2(4;7;0),А3( 5 ; 3 ; - 3 1
а
4(-1;4;3).
1.26  Л ,(-1;3;-7), 
А2(2;1;8),  А3(б;1;0),  А<(3;-4;5).
  f
1.27  /| , ( - 7 ; - 4 ; 0 ^ 2(-3 ;5 ;2 ),^
з
(4;7;5)(  Л4(2;1;9).
1.28 
А,(-4;0;7),  А2(8;6;4\  А3( - 3 ; - 4 ; 1 \   А4(2;3;6).
 
^
1.29  Л,(8;-2;9* 
А2(-7;5;-3),  А3(7,4 - 3 \   А
а
(
2;1;3).
1.30  Л ,( -  4;1;2X  ^ (8 ;7 ;1 ),  ^ 3(б;4;ЗХ 
Л4(
2 ;3 ;-l).
V. Екінші ретті кисы қтар жэне олардын
канондық теңдеулері
Декарттык  координаталар  жүиесінде  екінші  дәрежелі  теңдеумен 
аныкталған келесі кисыкты (сызыкты) карастырамыз
Ax2 + 2 В х у + С у 2
 + 
2 Dx + 2 E y
 + F  = 0 
(5.1)
мұндағы 
А,  В
  жэне 
С
  коэффициенттері  ең  кемінде  біреуі  нөлге  тең  емес
накты  сандар.  Мұндай  сызык 
екінші  ретті  қисықтар  (сызықтар)
  деп 
аталады.  Қарастырып  отырған  (5.1)  теңдеуі  жазыктыкта  екінші  ретті 
кисыктың  арнайы  түрлері  шеңбер,  эллипс,  гипербола  жэне  параболаны 
аныктайды.  Енді  осы  кисыктарды  аныктайтын  теңдеулерді  карастырып
оларды зерттейміз. 
,  ] 
, 
^
? 
t  ,
5.1  Шецбер
5.1.1  Шенбердіц канондық теңдеуі
1 
-анықтама.
  Центр  деп  аталатын  берілген 
М 0
  нүктесінен  бірдей
кашыктыкта  жататын  жазыктык  барлык 
М
  нүктелерінін  жиыны 
шеңбер
 деп 
аталады. 
, 
Ш  Щ
  £  
Ш
66

Берілген 
М
  (хө  , 
у 0
  )  нүктесінен  бірдей  кашыктыкта
жататын  жазыктыктың  кезкелген 
М   (х,  у
)  нүктесіне 
дейінгі  аракашыктык шеңбердің 
радиусы
 деп аталады 
жэне 
R
  аркылы  белгіленеді  (10-сурет).  Шеңбердің 
радиусын  табу  үшін,  екі  нүктенің  аракашыктығын 
табу формуласын колданамыз, сонда
10-сурет
R =  М 0М   щ
 ,  (
х -  х0
)2 + 
(у -  у 0) 2 
теңдеуін  аламыз.  Осы теңдеудің екі  жағын  квадраттау
аркылы,
( * - * о )   + ( ^ - ^ о )2 = ^
(5.2)
теңдеуі  алынады.  Бұ
нүктесінің  координа 
теңдеуі
 деп аталады.
Егер  х0  -  0  жэне 
у $ = 0
  болатын  болса,  онда  центрі  координаттар
жүиесшщ бас нүктесінде жататын шеңбердің дербес түрін
x 2 + y 2 = R 2.
(5.3)
жакшаларды
теңдеуді аламыз
X 1 
+ У 2 - 2 х 0х - 2 у 0у  + хІ + У І - R 2
 = 0 .
(5.4)
Осы  теңдеуді  екінші  ретті  кисыктардын  (5.1)  жалпы  тендеуімен
салыстыра отырып: 
' *
1) 
х
  және 
у 2
  коэффициенттерінін бірдей болатындығын,
2) 
х
  жэне 
у
  координаталары  көбейтіндісінін жоктығын көреміз,
яғни  екінші  ретп  кисыктардын  (5.1)  жалпы  тендеуі  шенбердің  теңдеуі  болу
7 ^ 0   болуы керек, сонда
Ax2 + А у 2
 + 
2Dx
 + 
2Еу + Ғ
 = 0 
(5.5)
үшін,
тендеуі алынады.
еңдеуді түрлендіру аркылы
_2 
2 
Ғ   п
х  + у  
+2--Х +  2
 
у +  
= 0
А 
А 
А
теңдеуін,  ал  бұл  теңдеуді 
х
  жэне 
у
  айнымалыларынын  толык  квадратына
келтіре отырып,
2 
2D 
D 1 
2 
Е
х  + 
х +  
+ / + 2 у  +
А 
А 
А 
А
F  
D
+ ----
A 
A
E 2
A2
=  

жүктеу/скачать 12,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: