. Түзудің жалпы теңдеуінің дербес жағдайларын зерттейік. 1.  Егер  С = 0;  А *

А   =  А  
*
А') 
Вп 
С'у
(4.17)
теңдігі орындалса, онда берілген екі түзу бір-біріне параллель болады.
Егер түзулер бұрыштык коэффициент теңдеулерімен берілсе, яғни
1\ :  у  = кхх + Ьх  жэне  /2  :  у  = £2х + Ь2
болса, онда олардың арасындағы  ср  бұрышын мына формуламен табамыз:
( 4 .1 8 )
1 + кхк2
Егер  кф% т -1   немесе  кх  = ----- болса,  онда  екі  түзу  бір-біріне
* 2
перпендикуляр,  ал  егер  £j  = £ 2  болса,  онда  екі  түзу  бір-біріне  параллель
болады.
10)  Түзулердің  киылысуы.
Егер түзулер жалпы теңдеулері
Іх:  Лі* + Вху  + Сх  = 0  және  /2  :  ^42jc + 5 2<у + С2  = 0
түрінде беріліп  және  —  
ф
 -  -   болса,  онда бұл  екі түзу  киылысады.  Қиылысу
А') 
В*) 
.  ■
  ■
 
t
нүктесінщ  координаттарын  осы  екі  түзуді  біріктіріп  шешу  аркылы  табамыз. 
Қиылысу бұрышының биссектриса теңдеуін
А1х + В 1у  + С1 ± А2х  + В2у  + С2  Я
а
\  + в \  
а
\   + в \
формуласымен анықтаймыз.
Егер 
/,  :  Ахх  + Вху  + Сх  = 0  
және 
/2 : А2х
 
+ В2у + С 2  -  0 
түзулері
киылысатын болса, онда
Ахх
 + 
Вху  
+ С]  4-
Л(А2х
 + 
В2у  + С2) =
 
0 
(4.20)
теңдеуі  киылысу  нүктесінен  А-нің 
эрбір  мәніне  сэйкес  эртүрлі  түзулер 
өтетін түзулер шоғырын береді.
11)  Нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық.
Жазыктыктағы 
берілген 
М(х0;у0) 
нүктесінен 
жалпы 
теңдеуі 
Ах + By + С = 0  түзуіне дейінгі аракашыктық
Ахп
 + 
Вуп 
+ С
d =
 L_o  ---Г9— I 
(4.21)
A 2 + В 2
теңдеуімен  аныкталады.
Мысалы,  ABC  үшбұрышының  А(4;3),  В ( - 3;-3),  С(2;7)  үш  төбесі
берілсін.  Есептеңіз:
1)  АВ  кабырғасының теңдеуін;
2)  СН  биіктігінің теңдеуін;
3)  А  нүктесі  аркылы  өтетін  ВС  кабырғасына  параллель  болатын  түзудің 
теңдеуін;
4)  AD  медианасының теңдеуін;
54

5)  В  нүктесінен  АС  кабырғасына дейінгі аракашыктыкты;
6)  ABC  үшбұрышының ауданын.
Шешуі:
1)  Екі нүкте аркылы өтетін түзудің тендеуі  (4.14) формуласын колданып, 
АВ  кабырғасының теңдеуін аламыз:
! 
jc—4  __  у - Ъ
- 3 - 4  ~  - 3 - 3  *
бұдан  6 ( х - 4 )  = 7 ( j/- 3 )   немесе  6 д : - 7 ^ - 3  = 0  болады;
- 
v   -■-# 
У
.  1 
-*■■■'-  v
V
,
,
^  
1
j
  |  
s 
*> 
-Г
2)
  (4.8) негізінде 
түзуінің теңдеуінен  У ~ ^ х —   теңдеуін аламыз, 
демек  £j  = - .   Ал 
С Н
  биіктігінің 
А В
  түзуіне  перпендикулярлығын  ескерсек,
7 
. 
. . . .  
. 
,
к2  = —   болады.  Енді  C #   биіктігінің  теңдеуі  С(2;7)  нүктесінен  өтетін
6
 
k
7 
. 
1  
^ 
1
 > ■' ■
коэффициенті 
к2  = —  
болатын 
түзудін 
теңдеуін 
береді. 
(4.11)
6
формул асынын негізінде:
7
у -  7 = —  ( х - 2 )   немесе  1х + 6jy -  56 = 0  болады;
6
 
і 
і
3)  Екі  нүкте  аркылы  өтетін  түзудің  теңдеуі  (4.14)  формуласын  ескеріп, 
В С  
кабырғасының теңдеуін мына түрде жазамыз:
х + 3 _ у + 3
2 + 3 “ Т + 3
бұдан  10(х + 3) = 5(у + 3)  немесе  2* -  >> + 3 = 0  =>  у  = 2jc + 3  демек 
= 2 
болады.  Л(4;3)  нүктесі  аркылы  өтіп, 
В С
  кабырғасына  параллель  болатын 
түзудің  бұрыштык  коэффициенті  к2  = 2   сондыктан  (4.11)  формуласын 
колданып  у  -  3 = 2(х -  4)  немесе  2х -  у  -  5 = 0  тендеуін аламыз;
4)  AD  медианасының  теңдеуін  жазу  үшін 
В С
  кабырғасының  ортасы 
D( x; y)   нүктесінің координаттарын (4.2) формуласын колданып табамыз:
- 3 + 2  
1 
- 3 + 7  
L
Ж ------------  —  
жэне 
у = --------. = 
2
,
2 
2 
2
сондыктан  D (---;2 )  болатындыктан,  (4.14)  формуласын  колданып,  AD
медианасынын тендеуін жазамыз:
j c - 4  
у — 3
 
—   — 
с
—   немесе 
2 х
- 9 у  +19 = 0  болады;
-   12 —
 4 
2 - 3
5)  (4.14) формуласын ескеріп,  АС  кабырғасынын тендеуін аламыз:
55

х - 4  
у - 3  
* 
н
------ = -------  
немесе  4 ( х - 4) = - 2 ( v - 3 )   =>  2jc + >>-1 1 = О  болатынлыктан
2 - 4 7 - 3  
т
. 
^тгоътг  ж г ^
(4.21)  формуласын  ескере  отырып,  5 ( -3 ;- 3 )   нүктесінен  ,4С  кабырғасына 
дейінгі аракашыктыкты табамыз:
. 
2 • (-3 ) +1 • (-3 ) - 1  lj 
-2 0 ! 
'У)~
а  = ---------- =====f------- - =  — = -  =  4 /5 ;
2 + 1  
5
6)  ABC  үшбұрышыныц ауданын есептеу үшін (4.5) жэне (4.6) 
формулаларын колданамыз:
1 1 1  
і
Д = 4  - 3   2’ =  —21 —12 + 6 +  9 +  6 — 28 = - 4 0 ,
3 - 3   7
5  = - - 4 0   = 2 0 .
2
4.2 №4 өздік ж үмы с тапсырмалары
ABC  үшбұрышының  Л (х,;>-,), 
В (х2
;
у 2
), 
С(х3;у 3)
  үш  төбесі  берілсін.
Есептеңіз:
1) 
АВ
  қабырғасыныц теңдеуін;
2) 
СН
  биіктігінің теңдеуін;
3) 
А
  нүктесі  аркылы  өтетін 
ВС
  кабырғасына  параллель  болатын  түзудің 
теңдеуін;
4)  AD  медианасының теңдеуін;
5) 
В
  нүктесінен  AC  кабьфғасына дейінгі аракашыктыкты;
6)  ABC  үшбүрышынын ауданын.
1.1 
А (-2 ;4 ),  В(9;8),  С (
6 ;7 ). 
" г. * 
.  \   .  
. - и * * -
1.2  ^ (-8 ;-5 ), 
В(9;4),
  С (3;0).
1.3 
А(2;5),  В ( -
3;-1),  С(9;3).
1.4  і4(1;0),  5 (-1 ;8 ),  С (9 ;-5 ). 
...ft 
•
1.5  А(1;-2),  В(5;-1),
  С (3;4).
1.6 
А (2;-3),  В (
 1;8),  С (6 ;7 ). 
( 
■
 
^
  ^  
Й г  Й  
1-7 
А (-8;9),
  Я(6;5),  С (4 ;3 ). 
‘ 
^  
......  
~
'
1.8 
А (
4;8), 
В (
7;3),  \ ( 1 ; 6 ) . 
Ш Ш т
1.9  /4(6;-4),  Я(8;2),  С (3 ;-5 ).
1.10 
А(3;-3),  В(5;-7),  С(б;9).
 
Р 
^ 
-
1.11 
Л(1;6),  Д(3;4),  С ( - 3 ; 5 ) .
1.12 
А(-4;2),  В(8 
-
6
),
 
С (-2 ;6 ).
1.13  Л (-5;2),  5 (0 ;4 ),  С (5;7).
1.14  Л(5;3), 
В (
6;2),  С (-1 ;8 ).
56

1.15  Ж -3;8), 
B p ,2),
  С (0 ;-5 ).
1.16  Ж 0;-9),  Д(3;-1),  С (-4 :1 ).
1.17  Ж4;0),  Я (-3;-1),  С(7;8).
1.18  Л(4;2),  5 (6 ;-4 ),  С (3 ;-9 ). 
VI  19 
Л(3;1),  Я(-1;-3),  С (-6 ;2 ).
1.20  <4(7;-2),  5(-3;4),  С(5;-5).
1.21  -<4(1;—4),  В (7;5),  С(3; 4) .
1.22  /4(9;-2),  Д(4;5),  С (0 ;1 ).
1.23  <4(3;-1),  Я (0;-5),  С(8;1).
1.24  /4(2;6),  В ( 3;5),  С( 4 ; 0 ) .
1.25  /4(-7;2),  Я(3;8),  С (-4;6 ).
1.26  /4(0;2),  5 (7 ;-4 ),  С (3;-2).
1.27  /4(5;-5),  Л(1;3),  С (-8 ;-4 ).
1.28  Л(1;3),  5 (0 ;5 ),  С ( - 2 ; 4 ) .
1.29  /1(-5;-1),  В(5;-2),  С(1;4).
1.30  Л(3;5),  Я (9 ;І),  С( 0 ; 8 ) .
4.3  Кеністіктегі  коорлинаттар әдісі
Егер  кеңістікте  тік  бұрышты  декарттык  координаталар  жүйесі  берілсе, 
онда  кеністіктегі  М  нүктесінін  координаттарын  M{ x , y , z )   деп  белгілейміз,
мұндағы  х -   абсписсасы,  у  -   ординатасы.  z -   апликатасы болады.
Кеністіктін 
екі 
A(xl ; y l ; z l ) 
және 
B(x2',y2',z2) 
нүктелерінің 
аракашыктыгы
d  =  (х2 - ^ і ) 2 
+ ( ^ 2
 ~ У \У   + ( г 2 ~ 2\ ) 2 
(4-22)
формуласымен аныкталады.
Дербес  жағдайда  M( x; y; z )   нүктесінен  координаталардын  бас  нүктесіне 
дейінгі аракашыктык
d =   х г + у г + z 2 
(4.23)
формуласымен аныкталады.
Егерде  шеткі  нүктелері 
A{xx\ y x\ z x) 
және  В(х2\У2Ші)  нүктелері
болатын кесіндіні  C( x; y; z)   нүктесі  Я  катынасында бөлсе, онда  С  нүктесінің 
координаталары мына формуламен аныкталады:
-  
хх + Лх2 
-  
У\  + Лу7 
-  
Z\
 
+ Яг9
* = - Т П Г ’ 
У -  
Г   ’ 
2 = Л Г - 1 1 - 
(4-24)
1 + Я 
1 + Я 
1 + Я
Бұл формула кесіндіні берілгеи қатынаста бөлу формуласы.
Егер  С  нүктесі кесіндінің ортасы болса, онда
~ 
*1
  +  
Х 2 
-  
У \+ у
2
 
-  
z x 
+  
Z j
 
_   л
х =  -1— 2 ; 
у  = П _ _ І 2 .  
2 = 
(4 2 5 )
57

теңдіктері орындалады.
C( x \ y \ z )  
нүктесі  Я = 3 
қатынасында  бөлетін  болсын. 
С  нүктееінің 
координаталарын есептеңіз.
Шешімі: 
Кесіндіні 
берілген 
катынаста 
бөлу 
формуласы 
(4.24) 
пайдаланып, мына теңдеулерді аламыз:
Я І  2 + 3• (-2 ) 
, 
і   4 + 3 -4  
1 
-  
- 2  + 3 -2
х ~ — г ц —  
1 > 
у
 =   ~
л
 
;  
=  4 > 
z   = -------------  -   =   і -
1 + 3 
1 + 3 
1 + 3
Сонымен жауабы:  С(-1;4;1). 
1 '  ■
 
-
Мысалы,  Л(2;4;-2)  және  В ( - 2;4;2)  нүктелерін  косатын  кесіндіні
4.4 К ецістіктегі ж а з ы қ т ы қ  тендеулері
Ж а зы қ т ы қ т ы н  ж ал п ы  теңдеуі.
Кеңістіктегі  тік  бұрышты  декарттык  координаталар  жүйесінде  кез
і теңдеуі келесі түрде 
Ах + Bv + C z +  П = 0
(4.26)
мұндағы  A , B , C , D   теңдеудің  коэффициенттері деп  аталады,  сонымен  бірге
А 2 
П 2 
л  
’г. 
;
4   + 5 “  + С  > 0   болуы керек.
түрлерін  төмендегідей  түрде
V  ~  -  и  иилса, онда  a y + ^ z + и  = и  жазыктығы 
О х  
өсіне параллель
2)  В = 0  болса, онда  Ax + Cz + D  = 0  жазыктығы  Оу  өсіне параллель
Ах
---------------------------------------------—   —   —
—   —  
v
V
/ Л І І Д Ш в
4 )
  D  
= 0
  болса,  онда 
Ax + By + Cz =
 0  жазыктығы  координаталардың  бас 
нүктесі аркылы өтеді;
5) 
А = В =
 0  болса,  онда 
Cz + D =
 0  жазыктығы 
Oz
  перпендикуляр 
(Оху 
жазыктығына параллель) болады;
6) 
А = 
С  
= 0
  болса,  онда 
By + 
D  
=
 0  жазыктығы 
Оу
  перпендикуляр 
(Oxz 
жазьпстығына параллель) болады;
7) 
В = 
С  
=
 0  болса,  онда 
Ax + 
D  
=
 0  жазыктығы 
Ох
  перпендикуляр 
(Oyz 
жазыктығына параллель) болады;
8
) 
A = D = 0
  болса, онда 
By
 + 
Cz =
 0  жазыктығы 
Ox
  өсі аркылы өтеді;
9) 
В = D =
 0  болса, онда 
Ах
 + 
Cz =
 0  жазыктығы 
Оу
  өсі аркылы отеді;
10) 
С = 
D  
=
 0  болса,Ч)нда 
Ах
 + 
By =
 0  жазыктығы 
Oz
  өсі аркылы өтеді;
11) 
А -  В -  D -  0
 
болса, 
онда 
Cz = 0
 
(2
 = 0) 
жазыктығы 
Оху 
жазыктығымен беттеседі;
12) 
A = C = 
D  
=
 0 
болса, 
онда 
Ву 
=
 
0
 
(у = 0) 
жазыкгыгы 
Ох 
жазыктығымен беттеседі;
13) 
В -  С -  D -  0 
болса, 
онда 
Ах = 0 
(х = 0) 
жазыктығы 
Oyz 
жазықтығымен беттеседі;
онда
Cz = 0
(z = 0)
онда
By = 0
(У = 0)
онда
Ах = 0
(х = 0)
58