Парабола бойынша теңестіру

242       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

Егер x мағыналарының орнына (x –

⎯x) орташа шамасынан x ауытқуды 

ал са, онда теңдеу жүйесін шешу жеңілдейді. Σ(x –

⎯x) и Σ(x –⎯x)

3

 нөлге тең 

болғандықтан, келесідей теңдеу алынады: 

a

0

n + a

2

 Σ (x –

⎯x)

2

 = Σy; 

a

1

 Σ (x – 

⎯x)

2

 = Σy (x –

⎯x);

a

0

Σ (x –

⎯x)

2

 + a

2

 Σ(x –

⎯x)

4

 = Σy(x –

⎯x)

2

.

⎯x = 450 : 9 = 50.

13.4. Парабола бойынша теңестіру 

Жауын-

шашын, 

см (x)

Астықтың 

түсімділігі,

ц/га (т)

x –

⎯x

(x –

⎯x)

2

y(x –

⎯x)

y(x –

⎯x)

2

(x –

⎯x)

4

y

x

10

4,2

-40

1600

-168

6720

2560000

5,4

20

12,6

-30

900

-378

11340

810000

10,8

30

14,8

-20

400

-296

5920

160000

15,1

40

16,8

-10

100

-168

1680

10000

18,4

50

21,0

0

0

0

0

0

20,8

60

22,2

10

100

222

2220

10000

22,1

70

22,8

20

400

456

9120

160000

22,4

80

21,8

30

900

654

19620

810000

21,8

90

19,4

40

1600

776

31040

2560000

20,1

450

155,6

-

6000

1098

87660

7080000

156,9

13.4-кестенің деректерін төмендегі теңдеулерге қоямыз: 

9a

0

 + 6000a

2

 = 155,6;

6000a

1

 = 1098;

6000a

0

 + 7080000a

2

 = 87660.

Екінші теңдеуден кейін a

1

 = 0,183 екенін анықтаймыз, ал бірінші жəне 

екінші теңдеуден параметрлердің мөлшерлерін анықтаймыз: 

a

0

 = 20,768 жəне a

2

 = – 0,005.

Сөйтіп, теориялық байланыс теңдеуінің түрі мынадай болады: 

y

x

 = 20,768 + 0,183 (x –

⎯x) – 0,005 (x –⎯x)

2

.

Дəреже функциясы x факторлық белгінің 1%-ға өзгергенінен y тəуелді 

белгі қанша пайызға өзгеретінін көрсетеді. Дəреже функциясымен еңбекақы 

қоры  мен  өнім  шығарудың,  еңбек  шығыны  мен  өнім  шығарудың  жəне 

тəуелділігі төмендегі формуламен көрсетілетін т.б. арасындағы тəуелділікті 

көрсетуге болады: 

y

x

 = a

0

x

a1

,

мұнда: a

1

 – функцияның икемділік көрсеткіші; 

           a

0

 – x = 1 болғанда y

x

-ға тең коэффициент. 

13-тақырып. Өзара байланыстарды зерттейтін корреляциялық-...        243

Дəреже  функциясының  параметрлерін  анықтау  мақсатында  логари-

фимдеу арқылы оны сызықтық түрге келтіреді: 

lg y

x

 = lg a

0

 + a

1

 lg x.

Осыдан кейін тік сызық бойынша тегістеудегі сияқты қалыпты теңдеу 

жүйесі құрылады:

n lg a

0 

+ a

1

 lg Σx = Σ lg y;

lg a

0 

Σ lg x + a

1

 Σ lg x

2

 = Σ lg y lg x.

Тиісті  деректерді  есептеп,  екі  қалыпты  теңдеу  жүйесін  шешкеннен 

кейін дəреже функциясының a

0

 жəне a

1

 параметрлерінің логарифмдерін, со-

дан кейін a

0

 жəне a

1 

параметрлерін де табады. 

Көрсеткіш функция x факторлық белгі арифметикалық прогрессияда, 

ал y белгісі геометриялық прогрессияда өскен жағдайда пайдаланылады: 

y

x

 = a

0

 a

1

x

,

Дəреже функциясының параметрлерін анықтау үшін оны логарифмдеу 

арқылы сызықтық түрге əкеледі: 

lg y

x

 = lg a

0

 + x lg a

1

,

содан кейін қалыпты теңдеулер жүйесі құрылады: 

n lg a

0 

+ lg a

1

 Σx = Σ lg y;

lg a

0 

Σx + lg a

1

 Σx

2

 = Σ x lg y.

Тиісті деректерді есептеп жəне екі қалыпты теңдеулер жүйесін шешіп 

a

0

 жəне a

1

 көрсеткіш функциясының параметрлерін табады. 

13.3.

Көп факторлық 

корреляциялық-регрессиялық 

талдау

Əдетте,  қоғамдық  өмірдің  құбылыстары  бір  емес  бірнеше  факторға 

байланысты болады. Мұның өзінде факторлардың арасында күрделі өзара 

байланыстар қалыптасады. 

Көп факторлық корреляциялық-регрессиялық талдаудан теңдеуге ен-

гізілген əрбір зерттелетін нəтижелілік көрсеткішіне белгіленген жағдайда 

(орташа  деңгейде)  қалған  факторлардың  ықпал  ету  шамасын  бағалауға, 

сондай-ақ  факторлардың  кез  келген  ұштасуындағы  осы  көрсеткіштің 

теориялық  мағынасын  белгілі  бір  дəл  дəрежесін  табуға  мүмкіндік  бе-

реді. Алайда бұл үшін факторлардың арасында функционалдық байланыс 

болмауға тиіс. 

244       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

Дəлелдердің  төмендегі  функцияға  ықпал  ету  сипаты  мен  дəрежесін 

анықтау қажет:

y = f(x

1

, x

2

,…, x

n

).

Бұл жерде байланысты түрін таңдау ең қиын проблема болып та былады. 

Бір  факторлық  модельдер  жағдайында  жұп  байланыстарды  графика лық 

талдаудың  көмегімен  функцияның  типі  эмпирикалық  негіздеуді  көп 

факторлық  модельдеу  үшін  іс  жүзінде  жарамсыз.  Функцияның  типін 

таңдағанда  зерттелетін  құбылысты  теориялық  жағынан  білуге  немесе 

бұрынғы осындай зерттеулердің тəжірибесіне сүйенуге болады. Əрине, əр 

түрлі  типтегі  функцияларды  жай  қарастыруға  болады.  Алайда  бұл  үшін 

қажет шамалы көп есеп шығару қажет.

Сонымен бірге, көп жағдайда көп өзгермелінің кез келген функциясын 

логарифмдеу  немесе  өзгермелілерді  ауыстыру  арқылы  сызықтық  түрге 

келтіруге болатынан ескере отырып, көптік регрессия теңдеуін сызықтық 

нысанда былайша құруға болады: 

y = a

0

 + a

1

x

1

 + a

2

x

2

 + … + a

n

x

n

.

Теңдеудің əрбір коэффициенті қалған факторлар белгіленген жағдайда 

(орташа  деңгейде)  тиісті  фактордың  зерттелетін  факторға  ықпал  ету 

дəрежесін  көрсетеді.  Теңдеудің  ерікті  мүшесінің  экономикалық  маңызы 

болмайды. 

Сызықтық  теңдеу  үйлеспеген  жағдайда  статистикалық  ақпараттың 

дерегімен үйлесетін қисық сызықты таңдап алғанға дейін теңдеудің ретін 

көтеру  ұсынылады.  Алайда  модельге  ықпал  ететін  барлық  факторлар дың 

енгізілетіні  белгісіз  болғандықтан,  нəтижелілік  көр сеткішінің  есептік 

жəне  нақты  мағыналары  бір-бірімен  толық  сəйкес  келмейтінін  ескеру 

қажет. 

Өзгермелілердің  арасындағы  байланыстың  тығыздығын  өлшеу. 

Нəтижелілік  жəне  факторлық  белгілердің  тағы  бірінің  арасындағы 

байланыстың  (олардың  басқа  өзгермелілермен  өзара  ықпалдасуын  ескер-

мей) тығыздығын өлшеу үшін бір факторлық байланыста сызықтық корре-

ляция коэффициенті сияқты есептелетін жұптық корреляция коэффициент-

терін пайдалануға болады. 

Алайда іс жүзінде барлық өзгермелілер, əдетте, өзара байланысты. Осы 

байланыстың тығыздығы бір аргументтің функцияға ықпал ету дəрежесін 

сипаттайтын  корреляцияның  жеке  коэффициенттеріне  байланысты  бо-

лады,  ал  бұл  жағдайда  қалған  тəуелсіз  өзгермелілер  тұрақты  деңгейде 

сақталуы  тиіс.  Ықпал  етпейтін  өзгермелілердің  санына  байланысты  жеке 

коэффициенттердің  тиісті  реті  болады:  n  коэффициент  ықпал  етпеген 

жағдайда n- реттегі жеке коэффициент алынады. 

13-тақырып. Өзара байланыстарды зерттейтін корреляциялық-...        245

Корреляцияның бірінші реттегі жеке коэффициенті y жəне x

1

 ара-

сында x

2

 белгісі ықпал етпеген жағдайда келесі формула бойынша есепте-

леді: 

,

)

r

)(1

r

(1

r

r

r

R

2

x

x

2

yx

x

x

yx

yx

)

(x

yx

2

1

2

2

1

2

1

2

1

−

−

×

−

=

мұнда: r – тиісті белгілердің арасындағы корреляцияның жұптық коэффи-

циенттері. 

Көптік корреляцияның жиынтық коэффициенті нəтижелілік жəне 

екі  жəне  одан  да  көп  факторлық  белгі  арасында  орнайтын  байланыстың 

тығыздығының көрсеткіші болып табылады жəне сызықтық корреляциялық 

байланыстың негізгі көрсеткіші ретінде болады. Сызықтық екі факторлық 

байланыс жағдайында ол келесі формула бойынша есептеледі: 

 

,

)

r

)/(1

r

r

2r

r

(r

R

2

x

x

2

x

x

2

yx

yx

2

x

x

2

yx

2

1

2

1

2

1

2

1

1

−

−

+

=

мұнда:  r – сызықтық  (жұптық)  корреляция  коэффициенттері,  ал  жол 

астындағы индекстер олардың қандай белгілердің арасында есептелетінін 

көрсетеді. 

Көптік  детерминацияның  жиынтық  R

2

  коэффициенті  зерттелетін 

көрсеткіш вариациясының қай үлесі көптік регрессия теңдеуіне енгізілген 

факторлардың ықпалымен түсіндірілетінін көрсетеді. Көптік детерминация 

мағыналары 0-ден бастап 1-ге дейінгі шектерде болады. Сондықтан R

2

 

бір-

ге неғұрлым жақын болса зерттелетін көрсеткіштің вариациясы іріктелген 

факторлардың ықпалымен көп шамада сипатталады. 

Екі факторлық модель.  

Көптік  регрессияның  қарапайым  теңдеуінің  түрі  сызықтық  екі 

факторлық регрессиның түрі сияқты болады:

y = a

0

 + a

1

x

1

 + a

2

x

2

.

Теңдеудің параметрлері төмендегі теңдеу жүйесінен ең аз квадраттар 

əдісі бойынша алынады: 

a

0

 n + a

1 

Σx

1

 + a

2 

Σx

2

 = Σy;

a

0

 Σx

1

 + a

1 

Σx

2

 + a

2 

Σ x

1 

x

2

 = Σy x

1

;

a

0

 Σx

2

 + a

1 

Σ x

1 

x

2

 + a

2 

Σ x

2

2

 = Σy x

2

.

Жекелеген 

факторлардың 

нəтижелілік 

белгіге 

жасайтын 

ықпалының  күшін  бағалау.  Регрессия  коэффициенттерінің  негізін-

де  факторлық  белгілердің  қайсысы  нəтижелілік  белгісіне  ең  көп  ықпал 

ететінін анықтауға болмайды, өйткені коэффициенттер əр түрлі өлшем бір-

246       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

лігінде көрсетілгендіктен оларды өзара салыстыру мүмкін емес. Жекелеген 

факторлардың  ықпал  ететін  күшін  салыстыру  жəне  олардағы  резервтерді 

білу үшін икемділіктің жекелеген коэффициенттерін (Э

i

), сондай-ақ бета-

коэффициенттерді (β

i

) есептеу қажет. 

Икемділіктің  жеке  коэффициенттері  факторларды  өлшеу  бірлігін-

дегі айырмашылықтарды жояды. Олардың көмегімен басқа факторлардың 

жағдайы  белгілі  болғанда  əрбір  фактор 1%-ға  өзгергенде  талданатын 

көрсеткіш орташа қанша пайызға өзгеретінін анықтауға мүмкіндік береді. 

Э

i

 = a

i

i

х

 

/

у

,

мұнда: a

i

– i-ші фактордағы регрессия коэффициенті, 

    

i

х

 

–i-ші фактордың орташа мағынасы; 

    

у

 – зерттелетін көросеткіштің орташа мағынасы. 

Бета-коэффициенттер  дамыған  жағдайда  зерттелетін  көрсеткішті 

жақсартатын ірі резервтер факторларды анықтайды жəне тиісті факторлық 

белгі  өзінің  орташа  квадраттық  ауытқу  мөлшеріне  өзгерген  жағдайда 

нəтижелілік белгісі орташа квадраттық ауытқудың қай бөлігін өзгеретінін 

көрсетеді: 

β

i

 = a

i

 σ

xi

 / σ

y

,

мұнда: σ

xi

 – i-ші фактордың орташа квадраттық ауытқуы; 

    σ

y

 – зерттелетін көрсеткіштің орташа квадраттық ауытқуы. 

Кəсіпорынның  шаруашылық  қызметін  экономикалық  жағынан 

терең  талдау  мақсатында,  экономикалық  тиімділіктің  еңбек  өнімділігі, 

қор  қайтарымының,  материалдың  сыйымдылығының,  өзіндік  құнның, 

пайдалылықтың жəне т.б. барлық негізгі көрсеткіштерінің көп факторлық 

регрессиялық модельдерін құру қажет. 

Корреляциялық-регрессиялық  талдауды  қолдану.  Экономикалық-

статистикалық талдауда кəсіпорын қызметінің тиімділігін объективті түрде 

бағалау міндеті қойылады. Осы міндетті шешу үшін өндірістің тиімділігінің 

негізгі көрсеткіштерін, олардың өзгеруі мен заңдылықтарының себептерін 

терең зерттеу қажет. 

Өзара  байланыстарды  зерттеуде  көптік  факторларды  келесі  екі  топқа 

бөлуге болады: 

1)  реттелмейтін  (оның  ішінде  шартты  түрде  реттелмейтін),  кəсіп-

орын  жұмысының  жағдайларын  жəне  осы  кезеңде  ұжымның  қызметіне 

байланысты емес факторлар (шикізаттың сапасы, табиғи жағдайлар, өндіріс-

тің  көлемі,  қызметкерлердің  жасы  бойынша,  жұмыс  өтілі,  білім  деңгейі 

жəне т.б. құрамы); 

13-тақырып. Өзара байланыстарды зерттейтін корреляциялық-...        247

2)  реттелетін, əр түрлі шаруашылық жүргізу əдістері мен жұмыстың 

біркелкі  емес  сапасынан  туындайтын  факторлар  (өндіріс  пен  еңбекті 

ұйымдастыру деңгейі, шикізатты, материалдарды, жабдықтарды жəне т.б. 

пайдалану дəрежесі).

Факторлардың бірінші тобына қолдағы ресурстар, екінші топқа – олар-

ды пайдалану дəрежесі жатады. Барлық факторлардың ықпал ету дəрежесін 

зерттеп кəсіпорынның жалпы резервтерін анықтауға болады. 

Өзін-өзі тексеруге арналған 

сұрақтар

1.  Корреляциялық жəне регрессиялық талдаудың көмегімен қандай 

негізгі міндеттер шешіледі? 

2.  Регрессия теңдеуінің мағынасы неде? Регрессия коэффициенттері 

нені сипаттайды? 

3.  Регрессия  коэффициентінің  жəне  оның  маңыздылығының 

кездейсоқ қатесі қалай анықталады? 

4.  Икемділік  коэффициенті  мен  теориялық  корреляциялық  қаты-

настың экономикалық маңызы қандай? 

5.  Сызықтық корреляция коэффициенті қалай анықталады? 

6.  Дисперсиялық  талдаудың  көмегімен  корреляциялық  байланыс-

тың маңыздылығы қалай тексеріледі? 

7.  Сызықтық емес регрессия теңдеулері неге жиі қолдану қажет? Бұл 

ретте регрессия коэффициентінің дұрыстығы қалай бағаланады? 

8.  Көптік регрессияны түсіндіріңіз. Жиынтық жəне жеке регрессия 

коэффициенті деген не? 

9.  Жеке  икемділік  коэффициенті  (Э

i

)  мен  бета-коэффициент  (β

I \

) 

қандай мақсатта пайдаланылады? 

Ұсынылатын əдебиет

1.  Авров  А.П.,  Аврова  Ю.А.  Общая  теория  статистики.  Основы  курса: 

Учебное пособие. 2-ое изд. доп. – Алматы, 2004. – 112 с.

2.  Сиденко  А.В.,  Попов  Г.Ю.,  Матвеева  В.М.  Статистика:  Учебник.– 

М.: Дело и сервис, 2000. – 464 с.

3.  Елисеева  И.И.,  Юзбашев  М.М.  Общая  теория  статистики:  Учебник. – 

3-е изд. / Под ред. чл.-корр. РАН И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статис-

тика, 1998. – 368 с.: ил.

4.  Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: 

Учебник для вузов. – М.: ИНФРА-М, 1998.

248       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

5.  Статистика: Курс лекций для вузов / Под ред. В.Г. Ионина. – М.: ИНФ-

РА-М, 1996.

6.  Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие для вузов. – М.: Ау-

дит, ЮНИТИ, 1998.

7.  Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие. – М.: ИННТИ, 2000.

8.  Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник для студ. экон. спец. 

вузов. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1984. – 

343 с.: ил.

9.  Общая теория статистики: Учебник / Т.В. Рябушкин, М.Р. Ефимова и 

др. – М.: Финансы и статистика, 1981.

10.  Общая  теория  статистики:  Учебник / Г.С.  Кильдишев,  В.Е.  Освиенко, 

П.М. Рабинович, Т.В. Рябушкин. – М.: Статистика, 1980. 

11.  Статистический словарь / Гл. ред. М.А. Королев. – 2-е изд., перераб. и 

доп. – М.: Финансы и статистика, 1989.

12.  Королев Ю.Г. Регрессионный анализ в социально-экономических исследо-

ваниях. – М.: МЭСИ, 1989.

жүктеу/скачать 2,85 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: