§7.  Арқалықтың серпімді сызығының əмбебап теңдеуі

126
Тəжірибеде  жиі  кездесетін  сыртқы  күштермен  жүктелген, 
қатаңдығы тұрақты арқалықты қарастырайық (98,а-сурет).
Ереженің в) тармағын орындау үшін, таралған күшті арқалықтың 
аяғына  дейін  созып,  сондай  қарқындылығы      бар  таралған  күшті 
алып  тастаймыз (98,б-суретте,  арқалықтың V-ші  аралығында  үзік 
сызықтармен көрсетілген). Ал, ереженің  г) тармағы орындалу үшін 
Мі моментін (z-а)
0
 жақшасына көбейтеміз.                                                                                       
Əр аралықтың ию моменттерінің өрнегін жазайық:
1
0
, 
0
2
i
M z a
a z b
 
0
3
,
i
i
M z a
P z b
b z c
 
2
0
4
,
2
i
i
z c
M z a
P z b
q
c z d
 
2
2
0
5
.
2
2
i
i
z c
z d
M z a
P z b
q
q
d
z l
  
Əр аралықтың шекаралары төмендегі өрнектерден анықталады.
0 z a
≤ ≤
,  
a z b
≤ ≤
,   
b z c
≤ ≤
,   
c z d
≤ ≤
,    
d
z
≤ ≤ l
.
 
98,б-сурет 

127 
Алынған өрнектерді, арқалықтың серпімді сызығының формула-
сына қойып, жақшаларды ашпай бір рет интегралдайық.
1
1
,
I
EI y
C
 
2
3
3
,
2
I
i
i
z b
EI y
C
M z a
P
 
2
3
4
4
,
2
6
I
i
i
z b
z c
EI y
C
M z a
P
q
 
2
3
3
5
5
.
2
6
6
I
i
i
z b
z c
z d
EI y
C
M z a
P
q
q
 
Интегралдау  тұрақтысы  С
к
  арқалықтың  бір  аралығынан  келесі 
аралығына  өткенде,  у
/
=θ      шамасы  үзіліссіз  болу  шартынан (z=а  
болғанда,  у
1
=у
2
 жəне у
1
/
=у
2
 /
;   z =в болғанда, у
2
=у
3
;    тағы сол секілді)  
табылады. 
Арқалықтың қатаңдығы (
EI
const
=
) болғандықтан
1
2
3
4
5
0
C
C
C
C
C
EJ
θ
=
=
=
=
=
.
θ
0
 - координата басындағы қиманың бұрылу бұрышы.
Соңғы теңдеулерді екінші рет интегралдайық:
1
1
0
2
2
2
0
2
3
3
3
0
3
4
2
4
4
0
3
4
4
5
5
0
,
(
)
,
2
(
)
(
)
,
2
6
(
)
,
2
6
24
(
)
.
2
6
24
6
i
i
i
i
i
i
i
EJy
D
EJ z
z a
EJy
D
EJ z M
z a
z b
EJy
D
EJ z M
P
a b
z c
z a
EJy
D
EJ z M
P
q
z b
z c
z d
z a
EJy
D
EJ
M
P
q
q
  
Бұл  теңдеулердегі  тұрақтылар  у  функциясының  арқалық 
араларының шекарасында үзіліссіздігінен табылады.

128
1
2
3
4
5
0
D
D
D
D
D
EI f
=
=
=
=
=
⋅
,
f
0
   - координата басындағы қиманың орын ауыстыруы.
Сонымен, алынған соңғы теңдеулерді бір теңдеу ретінде жазып, 
оны арқалықтың серпімді сызығының əмбебап теңдеуі деп атаймыз.
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
4
4
0
0
2
6
24
24
x
x
x
x
x
c
II
i
III
IV
z a
z b
z c
z d
EJ f
EJ y EJ f
EJ
z
M
P
q
q
v
θ
−
−
−
−
=
=
+
+
+
+
−
Соңғы  формуланы  қолданудың  ережесі:  бірінші  аралықтағы 
қималардың орын ауыстыруын табу үшін І-индексі бар тік сызыққа 
дейінгі мүшелер пайдаланылады, ал екінші аралықтағы қималардың 
орын  ауыстыруын  табу  үшін  ІІ-индексі  бар  тік  сызыққа  дейінгі 
барлық мүшелер пайдаланылады, қалған аралықтардағы орын ауы-
стырулар осы тəртіппен табылады.
§8. Иілудегі беріктік жəне қатаңдық 
Таза  иілу  кезінде  негізгі  есептеулер  кернеулер  арқылы 
жүргізіледі. Сондықтан, беріктік шарты боынша ең үлкен кернеу; 
яғни қауiпті қимадағы кернеу, мүмкін кернеуден аспау керек.
[ ]
max
σ
σ
≤
                                        (7.31)
[ ]
max
max
x
M y
J
σ
σ
⋅
=
≤
                        (7.32)
Бұл  формуладағы 
max
x
J
y
  қатынасы  қиманың  кедергi  моментi  деп 
аталып, W
x
 символымен белгiленедi, демек
max
x
x
J
W
y
=
                                           (7.33)
Сонымен, таза иiлудегi негiзгi берiктiк шарты төмендегiдей жа-
зылып, материалдар кедергiсiнiң үш есебiн толық қамтиды.
[ ]
x
M
W
σ
≤
                                       (7.34)

129 
Келтiрiлген формуламен, есептелiп отырған элементтiң берiктiгi 
тексерiлсе,  төмендегi  өрнек  арқылы  ол  элементтiң  көлденең 
қимасының өлшемдерi анықталады.
[ ]
x
M
W
σ
≥
                                            (7.35)
Сонымен  қатар,  қарастырылып  отырған  элементтiң  мүмкiн 
жүктемесiн де (7.34) формуланың көмегiмен табуға болады.
[ ]
[ ]
x
M
W
σ
≤
⋅
                                      (7.36)
Көлденең иілуде, беріктікті тік кернеу бойынша да, жанама кер-
неу бойынша да тексеру керек, яғни
[ ]
max
σ
σ
≤
                                     (7.37)
[ ]
max
τ
σ
≤
                                      (7.38)
Тік  кернеуге  есептеу,  таза  иілудегі  есептеуден  ешқандай 
айырмашылығы жоқ. 
Журавскийдің  формуласын  қолданып  жанама  кернеулердің 
беріктікке əсерін ескерген кезде, оның жуық шама екенін, көлденең 
қимадағы  жанама  кернеудің  х  жəне  у  остерінде  құраушылары  бар 
екенін ескеру керек. Толық жанама кернеу, қима бетіне жанама ось 
бойымен бағытталатыны белгілі.
Осыған  байланысты,  жанама  кернеу  τ  екi  құраушыдан, 
атап  айтқанда,  τ
х   
жəне  τ
у
  кернеулерінен  тұрады.  Толық  жанама 
кернеудің  құраушыларын  яғни  τ
х 
жəне
 
τ
у
  шамаларын  табу  үшін, 
материалдар  кедергісінің  тəсілінен  басқа  əдістер  қолдану  ке-
рек.  Бiрақ,  серпімділік  теориясының  тəсілімен  табылған  бұл 
құраушылардың  х  осіндегісінің  шамасы  өте  аз  екенін  ескеріп, 
беріктікке  есептегенде,  жанама  кернеудің  тек  у  осіндегі 
құраушысын  қарастырамыз.  Оның  Журавский  формуласымен 
анықталатынын жоғарыда айттық.
Қорыта  айтқанда,  көлденең  иілу  кезінде  беріктікке  есептегенде 
ең үлкен тік кернеуге жəне ең үлкен жанама кернеуге тексеру керек.
[ ]
max
max
M
W
σ
σ
=
≤
                                   (7.39)
[ ]
max
max
max
Q
S
J b
τ
τ
⋅
=
≤
⋅
                              (7.40)
9–661

130
Иіліп  деформацияланатын  элементтердің  беріктігімен  қоса, 
олардың қатаңдығын талап ететін кездер де аз болмайды. Бұл кез-
де, материалына байланысты, шектеу бұрылу бұрышы мүмкін орын 
ауыстырудың шамасы беріледі:
[ ]
θ
 жəне 
[ ]
f
 .                                        
Осыған  байланысты  қатаңдық  шарттарын  тұжырымдауға  бола-
ды. Демек,
[ ]
max
θ
θ
≤
,                                        (7.41)
[ ]
max
f
ϕ
≤
                                        (7.42)

131 
8-тарау. КЕРНЕЛГЕН ЖƏНЕ 
ДЕФОРМАЦИЯЛАНҒАН КҮЙ
  Кез келген күштер жүйесімен жүктелген денелердің беріктігін 
есептеген кезде, олардың кернелген жəне деформацияланған күйін 
зерттеу  ауадай  қажет.  Тіпті,  кейбір  конструкциялар  үшін,  мұндай 
зерттеусіз  оның  беріктік  шартын  тұжырымдау  мүмкін  болмай-
ды.  Сонымен  қатар,  бір  нүкте  арқылы  өтетін  жазықтықтардың 
бағыттарына  байланысты,  олардағы  кернеулердің  шамалары  да  əр 
түрлі болатынын өткен тарауларда (созылу жəне сығылу, иiлу т.б.) 
қарастырғанбыз. Ал кернелген күй дегеніміз не?
Жүктелген дененің кез келген нүктесі арқылы өтетін барлық 
жазықтықтардағы  кернеулер  осы  дененің  кернелген  күйін 
көрсетеді. 
§ 1. Нүкте маңындағы кернелген күй
Күштер  əсерінен  статикалық  тепе-теңдікте  тұрған  денені 
алайық (99-сурет). Дененің А  нүктесінің маңынан, алты қиманың  
көмегімен  элементар  параллелепипед  бөліп  алайық.  Егер  бұл 
параллелепипедтің өлшемдерін шексіз азайтсақ, онда ол нүктеге ай-
налады.
 
99-сурет
Бұл  кезде,  параллелепипедтің  барлық  алты  жағы  да  зерттеліп 
отырған  нүкте  арқылы  өтеді.  Сондықтан  да,  элементар 
параллелепипедтің алты жағындағы кернеулерді, нүкте маңындағы 
кернеулер  деп  есептеуге  болады.  Параллелипипедтің  əр  жағының 
бетіндегі  толық  кернеулер,  үш  құраушыға  жіктеледі,  оның  бірі 

132
сəйкес  жаққа  нормаль  бойымен    бағытталады  да,  қалған  екеуі 
жақ  жазықтығында  жатады.  Түсiнікті  болу  үшін,  бөлінiп  алынған 
параллелепипедті үлкен етіп қайта көрсетейік (100-сурет). 
100-сурет
 Тік кернеулерді, бұрынғыша 
σ
 əрпімен белгілеп, сəйкес осьтің 
индексін  береміз  (σ
х
,  σ
у
,  σ
z
).  Жанама  кернеуді 
τ
  əрпімен  белгілеп, 
екі  индекспен  береміз:  бірінші  индекс  кернеу  бағдарына  сəйкес 
осьтің  белгiсi,  ал  екінші  индекс - кернеу  жатқан  жазықтыққа 
нормаль  осьтің  белгісі  (
,
,
xy
yz
zx
τ τ τ
).  Келтірілген 100-суретте 
параллелепипедтің  өзара  перпендикуляр    үш  жағындағы  кернеу-
лер көрсетілген, ал оның көрінбейтін қалған үш жағындағы осын-
дай  кернеулер  бар,  олар  қарама-қарсы  жаққа  бағытталған  жəне 
шамаларының қарсы беттегілермен салыстырғанда, олардан элемен-
тар айырмашылықтары бар.
 Мысалы: 
*
x
x
x
dx
x
σ
σ
σ
∂
=
=
∂
,    
xy
I
xy
xy
dy
y
τ
τ
τ
=
+
∂
, тағы сол секiлдi.
Қаралып  отырған  дене  статикалық  тепе-теңдікте  тұрғандықтан, 
одан  бөлiнiп  алынған  элементар  параллелепипед  те  тепе-теңдікте 
болады. Сондықтан статиканың алты теңдеуін құрамыз. Теңдеулердi 
құрған  кезде,  параллелепипедтiң  өз  салмағын  (көлемдiк  салмақ 
күшi) ұмытпау керек.
Көлемдік күштің осьтерге проекцияларын  X, У, Z  əрiптерiмен 
белгілейміз,  ал  материалдың  меншiкті  салмағын  ρ  арқылы 
белгiлейміз.  Параллелепипедтiң    көлемдiк  салмағының  проекци-
ялары  Х·ρ·dV,  У·ρ·dV  жəне  Z·ρ·dV  арқылы  табылады.  Бұл  жердегi 
dV=dхdуdz элементар параллелепипедтiң көлемi.

133 
Статиканың кеңістіктегі алты теңдеулері
                                 ∑х=0                                     ∑М
Х
=0
                    ∑у=0                                     ∑М
У
=0            (8.1)
                                 ∑z=0                                      ∑Мz=0
Бірінші теңдеуді құру үшін, х осіне параллель күштерді жекелеп 
көрсетейік (101-сурет). Sх=0 теңдеуiн құрайық:
0.
xy
x
xz
x
x
xy
xy
xz
xz
dx dydz
dydz
dy dxdz
dxdz
dz dxdy
dxdy
x
y
z
x
dx dy dz
τ
σ
τ
σ
σ
τ
τ
τ
τ
ρ
∂
⎛
⎞
∂
∂
⎛
⎞
⎛
⎞
+
−
+
+
−
+
+
−
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
Жақшаларды  ашып,  ұқсас  мүшелерді  жинақтап,  элементар 
параллелепипедтің көлеміне (dV= dх dу dz) бөлгеннен кейін
0
xy
x
xz
X
x
y
z
τ
σ
τ
ρ
∂
∂
∂
+
+
+ ⋅ =
∂
∂
∂
.                       (8.2)
101-сурет  
Осы секiлдi, у жəне z осьтерiне проекциялап, тағы екi теңдеу ала-
мыз.
                                           (8.3)
0
yx
y
yz
Z
x
y
z
τ
σ
τ
ρ
∂
∂
∂
+
+
+ ⋅ =
∂
∂
∂
                            (8.4)

134
Статиканың қалған үш теңдеуін құрып, бұрыннан белгілі, жанама 
кернеулердің жұптық заңын қайталаймыз. Яғни 
[ ] [ ]
zx
xz
τ
τ
=
,    
zy
yz
τ
τ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
,   
yx
xy
τ
τ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
               (8.5)
Сонымен, (8.2), (8.3) жəне (8.4) теңдеулерге  соңғы (8.5) теңдеуді 
қоссақ, белгісіздер саны алтыға дейін кемиді. Дегенмен алты белгісіз бар 
үш теңдеу ((8.2), (8.3), (8.4)) статикалық анықталмайтын жүйе болып та-
былатыны белгілі. Бұл жүйені шешу үшін, дененің деформацияланған 
күйін ескеруге тура келеді, оны кейінірек қарастырамыз.
§ 2. Көлбеу жазықтықтағы кернеулер 
Өткен  параграфта  алынған  дифференциалдық  теңдеулерге 
кіретін  кернеулердiң,  координата  жазықтықтарына  параллель 
жазықтықтарда  жатқандары  белгілі.  Ал,  кернелген  күйді  зерттеу 
үшін кез келген жазықтықтағы кернеулерді білу қажет болады. Ол 
үшін денеден қабырғалары  dх, dу жəне dz  элементар тетраэдр бөліп 
аламыз (102-сурет). Бұл суреттегі
Ов = dz;    Oс = dx;  Oа = dy;  Cos (x,h) = 
l
;   Cos (y,h) = m;    Cos (z,h) = n.
Көлбеу авс жазықтығына h нормалін жүргізіп, оның ауданын 
d
ω
 
деп алайық. Осьтермен  нормаль арасындағы бұрыштардың косину-
стары l, m жəне n əріптерімен белгіленіп,  х осіне параллель күштер 
102-суретте көрсетілген. 
102-сурет
Барлық  күштерді  
x
 осіне проекциялайық, яғни

135 
0
x
Σ =
,      
2
0
x
xy
xz
x d
d
d
m
d
n
ω σ
ω
τ
ω
τ
ω
⋅
−
⋅
⋅ −
⋅
⋅ −
⋅
⋅ =
l
x
xy
xz
X
m
n
η
σ
τ
τ
⋅
=
⋅ +
⋅ +
⋅
l
                        (8.6)
Қалған екі оське (у, z) күштерді проекциялап, алынған теңдеулерге 
бірінші теңдеуді қосып, төмендегi жүйенi аламыз.
yz
xy
xz
X
m
n
η
σ
τ
τ
=
+
⋅ +
⋅
l
                          
yx
xy
xz
Y
m
n
η
τ
τ
τ
=
⋅ +
⋅ +
⋅
l
                          (8.7)
zx
xy
z
Z
m
n
η
τ
τ
σ
=
⋅ +
⋅ +
⋅
l
Ендi,  көлбеу  жазықтықтың  (авс)  ауданы  нөлге  ұмтылып,  ал 
жазықтықтың өзі 0 нүктесіне шексіз жақындасын дейік. Бұл кезде 
жоғарыдағы (8.7) жүйе көлбеу жазықтықтағы кернеулермен коорди-
ната жазықтықтарындағы кернеулер арасындағы қатынасты береді. 
Сонымен, егер координата жазықтықтарындағы кернеулерді анықтай 
алсақ (σ
х
, σ
у
, σ
z ,
,
,
xy
yz
zx
τ τ τ
), онда соңғы (8.7) жүйенiң көмегiмен кез-
келген жазықтықтағы кернеулердi табуға болады.
§ 3. Бас жазықтықтар. Бас кернеулер
Жүктелген дененiң кез келген нүктесi арқылы, жанама кернеулер 
мүлде болмайтын, өзара перпендикуляр үш жазықтық жүргiзуге бо-
латыны белгiлi. Мұндай жазықтықтар бас жазықтықтар деп атала-
ды. Ал бұл жазықтықтардағы кернеулер бас кернеулер деп аталады. 
Бас кернеулердi анықтау үшiн жүктелген денеден элементар тетра-
эдр бөлiп алайық. Оның көлбеу жазықтығы – aвc бас жазықтық бол-
сын (103-сурет).
103-сурет

136
Тетраэдрдың  координата  жазықтықтарына  параллель  жақта-
рындағы  кернеулер  (σ
х
,  σ
у
,  σ
z,
,
,
xy
yz
zx
τ τ τ
)  белгiлi  болсын.  Бас 
жазықтықтағы  бас  кернеуді N
∗
,  ал  жазықтықтағы  нормальді h 
əрпiмен  белгiлейiк.  Координат  осьтерiмен  нормаль  арасындағы 
бұрыштардын косинустары l, m жəне n болсын. Бас кернеудiң (Ν
*
) 
координата  осьтерiндегi  құраушыларын
 
табайық.  Оны  табудың  екi 
жолы бар.
1) Бас кернеуді осьтерге жіктеу:
X
N
η
∗
=
⋅l
,      
Y
N m
η
∗
=
⋅
,    
2
Z
N n
∗
=
⋅
                  (8.8)
2) Өткен параграфтағы формулаларды қолдану:
x
xy
xz
X
m
n
η
σ
τ
τ
=
⋅ +
⋅ +
⋅
l
                              
yx
y
yz
Y
m
n
η
τ
σ
τ
=
⋅ +
⋅ +
⋅
l
                            (8.9)    
yz
zy
z
Z
m
n
η
τ
τ
σ
=
⋅ +
⋅ +
⋅
l
                     
(8.8)  формуладағы  кернеулердiң  мəнiн (8.9) формулаға    қойып, 
оларды тендiктiң  оң жағына өткiзiп ұқсас мүшелердi жинақтағаннан 
кейiн
         
               
(
)
*
0
x
xy
xy
N
m
n
σ
τ
τ
−
⋅ +
⋅ +
⋅ =
l
,
              
(
)
4
0
yz
y
yz
N
m
n
τ
σ
τ
⋅ +
−
⋅ +
⋅ =
l
,                                                            (8.10)                                            
             
(
)
0
zx
zy
z
m
N
n
τ
τ
σ
∗
⋅ +
⋅ +
−
⋅ =
l
.                       
Белгiсiз косинустар l, m жəне n үшін бipтектi сызықтық теңдеулер 
жүйесiн  алдық.  Бұл  жүйенiң  шешiмдерiнiң  болатындығы  жəне 
олардың нөлге тең болмайтыны белгiлi, өйткенi
2
2
2
1
m
n
+
+
=
l
.                            (8.11)
Олай  болса,  белгiсiздердiң    коэффициенттерiнен  тұратын  
анықтағыш  нөлге тең болу керек.
*
*
*
,
,
,
,
0
,
,
x
xy
xz
zx
y
yz
zx
zy
z
N
N
N
σ
τ τ
τ σ
τ
τ τ σ
−
−
=
−
.                        (8.12)

137 
Анықтағышты ашып, ұқсас мүшелерiн жиғаннан кейiн:
( ) (
)
( ) (
)
3
2
*
*
2
2
2
*
,
,
,
,
0
,
,
x
xy
xz
x
y
z
x
y
y
z
z
x
xy
yz
zx
yx
y
yt
zx
zy
z
N
N
N
σ τ τ
σ σ
σ
σ σ
σ σ σ σ τ
τ
τ
τ σ τ
τ τ σ
−
+
+
+
+
+
−
−
−
−
=
 (*)
Алынған  үшінші  дəрежелі  теңдеуді  шешіп,  бас  кернеудің  үш 
мəнін  табамыз.  Бұл  үш  мəннiң  шамалары – координата  осьтерінің 
басы қай жерге бекітілгеніне тəуелді болмау керек. Ол үшін теңдеудің 
коэффициенттері тұрақты шама болу қажет. 
Олар
x
y
z
I
I
σ
σ
σ
+
+
=
,                                     (8.13)
2
2
2
x
y
y
z
z
x
xy
yz
xz
II
I
σ σ
σ σ
σ σ τ
τ
τ
⋅
+
⋅
+
⋅
−
−
−
=
,                (8.14)
,
,
,
,
,
,
x
xy
xz
yx
y
yz
III
zx
zy
z
I
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
=
.                              (8.15)
Бұл тұрақты шамалар  – 
I
I
, 
II
I
 жəне 
III
I
 - кернелген күйдің  ин-
варианттары  деп  аталады.  Табылған  үш  мəннің (N
1
*
, N
2
*
  жəне  N
3
*
) 
ең  үлкені  (алгебралық  түсінікте) – s
1
,  ең  кішісі – s
3
,  символымен 
белгіленеді, яғни
1
2
3
σ
σ
σ
>
>
.                               (8.16)
Кейбір  жағдайларда  инварианттар  нөлге  айналулары  мүмкiн. 
Мысалы, J
III
=0 болса, ол кезде (*) теңдеуiнің бір түбірі нөлге тең бо-
лады. Мұндай кернелген күй – екі осьті немесе жазық кернелген күй   
деп аталады. Егер екі инвариант – екінші жəне үшінші – нөлге тең 
болса, онда бір осьтi немесе сызықтық кернелген күй шығады.

жүктеу/скачать 4,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: