§1. Созылу жəне сығылу кезіндегі беріктік шарты

51 
i
k
  
  
i
k
                               (4.2)
Сонымен, кернеулерді есептегенде, беріктік шарты төмендегіше 
жазылады:
[ ]
max
σ
σ
≤
                                       (4.3)
§2.  Созылған  немесе  сығылған  элементтерді  мүмкін  кернеу 
бойынша есептеу
Инженерлік  есептер  тек  қана  бұл  тəсілмен  шешілмейтінін 
тағы  да  қайталай  отырып,  осы  тəсілдің  тəжірибеде  қолданылуына 
толығырақ тоқталайық.
Беріктік шартын пайдаланып, мүмкін кернеу бойынша келесідей 
инженерлік есептерді шешуге болады:
1.  Конструкцияның  немесе  оның  элементтерінің  беріктігін  тек-
серуге болады. Ол үшін, қауіпті қимадағы кернеуді (s
max
) тауып, оны 
шектеу кернеуімен салыстырады. Ол кернеу шектеу кернеуінен ұ 5 
%-дан артық ауытқымау керек. Егер кернеу бұл шамадан кем болса 
(5 % -дан)  материалдардаң  шығыны  көп  болғаны,  ал  артық  болса 
беріктікке нұқсан келуі мүмкін. 
2.  Конструкцияның  элементтерінің  көлденең  қимасының 
геометриялық  өлшемдерін  тағайындауға  болады.  Ол  үшін  сыртқы 
күшпен шектеу кернеуінің шамасы белгілі болу керек.
max
N
  
                                  (4.4)
3. Конструкцияға əрекет ететін сыртқы күштің шектік шамасын 
табуға болады. Ол үшін, алдымен конструкцияның элементтерінде 
пайда болатын ең үлкен ішкі күшті, сыртқы күш арқылы өрнектеу 
керек, яғни 
( )
N
f P
=
. Бұдан кейiн, беріктік шартынан, төмендегi 
қатынасты жазамыз:
max
N
   
                                 (4.5)     
Осы  теңдікті  пайдадаланып,  қималар  тəсілі  бойынша  сыртқы 
күштің шектік шамасын табамыз:                                       
                    
(
)
P
  
                           (4.6)

52
§3. Созылған немесе сығылған элементтерді шектік күй бой-
ынша есептеу
Керек болған жағдайда, конструкцияны немесе оның элементтерін 
мүмкін  кернеу  бойынша  есептеудің  орнына  шектік  күй  бойынша 
есептеуге болады. 
Эксплуатациялық шарттарды толық қанағаттандыру мақсатында 
конструкцияның үш шектік күйі қарастырылады. Олар:
1) конструкцияның жүк көтеру қабілеті бойынша есептеу, яғни – 
конструкция материалының беріктігі, орнықтылығы жəне шаршауы 
бойынша есептеу;
2)  конструкцияның  (элементтерінің)  қатаңдығы  бойынша  есеп-
теу,  яғни  деформациялар  белгіленген  мөлшердің  шекарасынан 
аспайтындай етіп есептеу;
3)  конструкцияның  (элементтерінің)  кез  келген  бір  нүктесінің 
жергілікті бүлінуінің одан əрі өсу күйі бойынша, мысалы, жарықша 
пайда болып жəне оның одан əрі ашылуы бойынша есептеу.
I.  Бірінші  шектік  күй  конструкцияның  (элементтерінің)  жүк 
көтеру қабілеті (ж.к.қ) бойынша бағаланады. Созылу немесе сығылу 
үшін:
. .
N
A R k m
,  
                                   (4.7)
бұл  формуладағы  А – сырықтың  көлденең  қимасының  ауданы, 
R
-  материалдың  нормативтік  қарсыласуы,  əдетте,  бұл  шама  ағу 
шегіне  тең  болады, 
1
k
≥
 - материалдың  біртектілігін  бағалайтын 
коэффициент (мысалы, болат үшін 0,8 0,9), 
1
m
≤
 - конструкцияның 
(элементтерінің)  жұмыс  істеу  жағдайын  ескеретін  коэффициент 
(сырық  формасын – мысалы,  жұқа  қабырғалы  сырық;  жергілікті 
əлсіреу жəне т.б.). 
R k
– материалдың есептеу қарсыласуы деп те 
аталады.
II. Екінші шектік күйдің формуласы:
l
f
Δ ≤
,                                       (4.8)
бұл  формуладағы: 
l
Δ
-  конструкцияның  (элементтерінің)  іс 
жүзіндегі орын ауыстыруы, ал 
f
– нормативтік орын ауыстыру. Бұл 
формула, созылып (сығылып) жұмыс істейтін сырықтар үшін өте си-
рек қолданылады.
III.  Үшінші  шектік  күй  болатбетондарды  есептеу  үшін 
қолданылатынын айтумен шектелеміз.

53 
§4. Статикалық анықталатын сырықтар
Реакциялары мен элементтеріндегі ішкі күштер тек статиканың 
теңдік  теңдеулері  арқылы  табылатын  конструкциялар  статикалық 
анықталатын делінеді. 
44-сурет
Мысалы, бір шеті қатаң бекітілген сырыққа Р күші əрекет етсін. 
Төменгі алаптың ауданы  А жоғарғы алаптың ауданы -  2А,  сырықтың 
ұзындығы 
l
, қалған өлшемдерi 44,а-суретінде көрсетілген.
1.Бойлық күштің  (N) эпюрасын салу керек. Бойлық күштің эпю-
расын  салу  үшін,  күштің  қай  қимаға  түсуіне  жəне  оның  көлденең 
қимасының ауданының сырық бойымен өзгеруіне байланысты, үш 
алапқа  бөлеміз  де,  əр  алапты  жеке-жеке  қарастырамыз.  Бірінші 
алаптың ұзындығы “а”, екіншінікі - “в”, ал үшіншi алаптың ұзындығы 
“с”. Есепті шешу үшін қималар тəсілін қолданамыз. Бірінші алаптың 
кез келген жерінен тілік жүргіземіз. Тілік  алаптардың шекарасын-
да  жатпау  керек.  Мысалға,  бұл  тілік,  сырықтың  қатаң  бекітілген 
шетінен  z
1
  қашықтықта  жатсын  делік (44,а-сурет).  Сырықтың 
тiлiктен жоғарғы  бөлігін қарастырамыз (45,а-сурет). Осы алаптағы 
бойлық күштiң эпюрасын салу үшін, белгілі бір масштабпен   N
1
-дiң 
шамасын абсциссаға саламыз.             
N
1
=const  болғандықтан,  ол  сызық  ординатаға  параллель  бо-
лып, одан, белгілі бір масштабпен алынған  Р қашықтықта жатады 
(44,б-сурет). 
              

54
45-сурет
Сырықтың  екінші  алабындағы  бойлық  күштің  эпюрасын  салу 
үшін, сол алаптың кез келген жерінен тілік жүргізіп сырықты екіге 
бөлеміз.  Төменгі  бөліктi  алып  тастап,  қалған  бөлiктiң  теңдеуiн 
құрастырамыз (45,б-сурет).
0;
z
Σ =
                  
2
0;
N
P
−
−
=
  
2
N
P
= −
.
Өткен жолғыдай, бұл алаптағы бойлық күште (N
2
) тұрақты болып 
шықты. Оның эпюрасы 44,в-суретінде көрсетілген. Үшінші алаптың 
есептеу нұсқасы 45,в-суретінде көрсетілген. Одан N
3
=0 екені айқын 
көрініп  тұр.  Осы  сырықтағы  ішкі  бойлық  күштердің  толық  эпю-
расы 44,г-суретінде  көрсетілген.  Осы  есепті  шығару  барысында, 
сырықтың деформациялары екі түрлі екенін көрдік: бір алап созыл-
са,  екіншісі  сығылуда.  Бірақ,  осы  екі  алаптағы  ішкі  күштерді  табу 
жолдары бірдей.
2.  Кернеудің  эпюрасын  тұрғызу  үшін,  осы  есепті  одан  əрі 
жалғастырып,  сырықтың  қималардағы  кернеулерді  табайық.  Бұл 
сырықты  үш  алапқа  (
1
z
a
, 
2
(
)
z
a
)  бөлеміз.  Əр 
алаптағы бойлық күш те, алаптың көлденең қимасының ауданы да 
тұрақты болғандықтан, алаптардағы кернеулер де тұрақты болады.  

55 
46-сурет
Осы кернеулердi табайық.
Бiрiншi алаптағы кернеу:
  
1
1
1
N
P
A
A
σ =
= −
.    
Екiншi алаптағы кернеу:
2
2
2
2
N
P
A
A
σ =
= −
.
Үшiншi алаптағы кернеу:
3
3
3
0
N
A
σ =
=
.
Қимадағы  кернеулерді  белгілі  бір  масштабпен 
zo
σ
  осьтер  
жүйесінiң абсцисса  осіне түсіріп, кернеулер эпюрасын тұрғызамыз 
(46-сурет).
§5.  Созылу  мен  сығылудағы  статикалық  анықталмайтын 
құрылмалар (конструкциялар)
Жоғарыда  қаралған  есепте  тірек  реакцияларын  жəне  эле-
менттеріндегі  ішкі  күштерді  анықтауға    статиканың    теңдеулері 
жеткілікті  болды.  Ал,  тірек    реакцияларын  жəне  элементтеріндегі 
ішкі  күштерді  анықтауға    статиканың  теңдеулері  жеткіліксіз  бол-
са,  ол  статикалық  анықталмайтын  конструкция  деп  аталады. 
Оларды  екі  топқа  бөлуге  болады:  сырттай  жəне  iштей  статикалық 
анықталмайтын конструкциялар. Егер конструкциялардың тiрек ре-

56
акциялары  статикалық  теңдеулерден  табылып, iшкi  күштерi  қима 
тəсiлiмен анықталмаса, онда iштей статикалық анықталмайтын, ал 
тiрек реакциялары да статиканың теңдiк теңдеулерi арқылы табыл-
маса, онда сырттай статикалық анықталмайтын конструкциялар деп 
аталады.
Статикалық анықталмайтын конструкциялар тəжрибеде молынан 
кездеседi, өйткенi олар берiктiлiк жағынан да, қатаңдылық жағынан 
да статикалық анықталатын конструкцияларға қарағанда анағұрлым 
ұтымды болып келедi.
Бiрнеше  сырықтар  жүйесiн  қарастырайық (47-сурет).  Суретте 
көрсетiлген  екi  сырықтан  тұратын  «а»  конструкциясы  статикалық 
анықталатын  жүйе,  өйткенi  оның  iшкi  күштерi  С  нүктесiнiң 
статикалық  теңдiгiнен  оңай  табылады.  Ал  «б»  жəне  «в»  суретiнде 
көрсетiлген  конструкциялар,  статикалық  анықталмайтын  жүйелер. 
Олар үшiн статиканың екi ғана теңдiгiн қолдануға болады, ал белгiсiз 
iшкi күштер «б» конструкциясында үшеу, «в» конструкциясында бе-
сеу, яғни екiншi жүйеде бiр, үшiншi жүйеде үш белгiсiз «артық».  
 
47-сурет
Сонымен, «артық» белгiсiздердiң санына байланысты, конструк-
циялар «n» рет статикалық анықталмайтын болуы мүмкiн. Мұндай 
есептердi шешу үшiн қосымша теңдiктердiң керек екенiне еш күмəн 
жоқ.  Ондай  теңдiктердi,  конструкцияның  өзiндiк  ерекшеліктерiн 
жəне əр элементiнiң деформациялануына байланысты олардың орын 
ауыстыру өзгешелiктерiн ескере отырып құруға болады. Статикалық 
анықталмайтын конструкцияларға негiз болатын бiрнеше есептердi 
қарастырайық.
§6.Статикалық анықталмайтын сырық
1-есеп.  Екi  шетi  қатаң  бекiтiлген  сырық (48,а-сурет)  қадалған 
күшпен жəне таралған күшпен жүктелген. Қадалған күш 
P ql
=
, ал 

57 
таралған  күштің  қарқындылығы 
q
.  Сырықтың  АК  аралығындағы 
көлденең  қиманың  ауданы 
2  А
 , ал  КВ  аралығындағы  көлденең 
қиманың ауданы А.
Сырықтың  iшкi  күштерiн,  кернеулерiн  жəне  көлденең  қима-
ларының  орын  ауыстыруларын  тауып,  олардың  эпюраларын  салу 
керек. 
48-сурет 
Шешімі.  Қатаң  бекiтiлген  жазықтық  тiректе,  жалпы  алғанда, 
үш  реакциялар  болу  керек.  Бiз  қарастырып  отырған  сырықтың 
тiректерiнде бiр ғана реакция болады (48,в-сурет), өйткенi сыртқы 
күштер  сырықтың  бойлық  осi  арқылы  əрекет  етiп  тұрғандықтан 
статиканың  екі  теңдеуі  тепе-теңдікке  айналады  (
0 0
≡
).  Қалған 
теңдеудi жазамыз.

58
0
x
=
∑
  
⇒
   
2
0
A
B
R
ql ql R
−
+
− +
=
  
⇒
 
B
A
R
R
ql
=
−
          (а)
Екi белгiсiзi бар (а) теңдеуiн шешу үшiн, қосымша тағы бiр теңдеу 
керек.  Сонымен,  есеп  статикалық  анықталмайтын  болып  шықты. 
Қосымша тағы бiр теңдеуді сырықтың бекiтiлу ерекшелiгiнен ала-
мыз.  Сырықтың  бекітілген  шеткi  бiр  қимасын,  мысалы,  оң  жағын 
тiректен ойша босатсақ,
/
- суретінде көрсетiлген есептеу нұсқасын 
аламыз.  Яғни,  сырыққа,  шартты  түрде,  үш  сыртқы  күштер  əрекет 
етiп тұр деп қарауымызға болады. Олар: 
b
R
 - əзірше белгісіз, 
P ql
=
 
жəне  
q
. 
Күштер  əрекетiнiң  тəуелсiздiк  принципi  бойынша,  барлық 
күштердің əсерлерін жеке-жеке қарауымызға болады.
Оң жақ шеткі қима тіректен бос болғандықтан, оның орын ауы-
стыруы, сырықтың сол жақ бөлігінің (ұзындығы 
5l
-ге тең)  ұзаруына 
байланысты.
Демек, 
                 
0
B
q
P
RB
δ
δ
δ
δ
=
+
+
=
                                   (б)
Қималар  тəсілін  пайдаланып,  ішкі  күштерді  сол  жақ  тіректің 
реакциясы  арқылы  өрнектейміз.  Тілік  жүргізілетін  қималар 
48,б-суретінде көрсетілген. Осыған сəйкес:
I
A
N
R
=
,   
II
A
N
R
qx
=
−
,   
2
III
A
N
R
ql
=
−
,   
IV
A
N
R
ql
=
−
.   (в)
Гук  формуласын  -
i
i
i
i
P a
E
 
қолданып, (б)  өрнегін 
толықтырып жазамыз. Яғни
2
2
2
2
0
2
A
A
A
A
R l
R l ql
R l
ql
R l ql
EA
EA
EA
EA
−
−
−
+
+
+
=
.   
⇒
     
8
7
A
R
ql
=
.
Алынған 
A
R
 шамасын (а) теңдеуiне қойып  шешіп
                       
1
7
B
R
ql
=
                                                  (г)
түрде  болатын тірек реакцияларын табамыз. 
I.Тiректегi реакциялар (R
A
, R
B
) табылғаннан кейiн, қималар тəсiлi 

59 
бойынша iшкi күштердi (N
i
) анықтап, содан кейін олардың эпюрала-
рын тұрғызамыз (48,в-сурет).
а)  
8
7
I
N
ql
=
;   
1
0 x
l
≤ ≤
,  бұл  аралықта 
I
N
const
=
(эпюраны 
қараңыз).
б)  
2
8
7
II
x
N
ql
l
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
; 
2
0
2
x
l
≤
≤
 
-    
2
0
x
=
      
⇒
       
8
7
II
N
ql
=
;
-    
2
2
x
l
=
     
⇒
      
6
7
II
N
ql
= −
.
в)  
6
7
III
N
ql
= −
,  бұл аралықта 
III
N
const
=
(эпюраны қараңыз).
г)  
1
7
IV
N
ql
=
,  бұл аралықта 
IV
N
const
=
(эпюраны қараңыз).
II. Кернеулердi (
i
σ
) анықтап, содан кейін олардың эпюраларын 
тұрғызамыз (48,г-сурет).
а)  
4
7
I
ql
EA
σ =
⋅
;   
1
0 x
l
≤ ≤
 - бұл аралықта 
I
const
σ =
(эпюра-
ны қараңыз).
б)  
2
8 7
14
II
x
ql
A
l
σ
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
; 
2
0
2
x
l
≤
≤
 
-    
2
0
x
=
      
⇒
       
4
7
II
ql
A
σ =
⋅
;
-    
2
2
x
l
=
     
⇒
      
3
7
II
ql
A
σ = −
⋅
.
в)  
6
7
III
ql
A
σ = −
⋅
,  бұл аралықта 
III
const
σ =
(эпюраны қараңыз).
г)  
1
7
IV
ql
A
σ =
⋅
,  бұл аралықта 
IV
const
σ =
(эпюраны қараңыз).
III. Кез келген қиманың орын ауыстырулардың (
i
δ
) теңдеуін жа-
зып, содан кейін олардың эпюраларын тұрғызамыз (48,д-сурет).

60
а)  
1
4
7
I
ql x
EA
δ =
⋅ ⋅
;   
1
0 x
l
≤ ≤
.
 -    
1
0
x
=
      
⇒
       
0
I
δ =
;
-    
1
x
l
=
     
⇒
      
2
4
7
I
ql
A
δ =
⋅
.
б)  
2
2
0
1
8
4
7
7
x
II
ql
ql qx dx
EA
EA
δ
⎛
⎞
=
−
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
 
⇒
 
2
2
2
2
2
4
4
7
7
4
II
x
x
ql
EA
l
l
δ
⎛
⎞
=
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
- бұл квадрат парабола. Оның эпюрасын тұрғызу үшін функцияның 
кем дегенде үш нүктесінің мəнін табу керек (
2
0
2
x
l
≤
≤
). 
-    
2
0
x
=
      
⇒
       
2
4
7
II
ql
EA
δ =
⋅
;
-    
2
2
x
l
=
     
⇒
      
2
5
7
II
ql
EA
δ = −
⋅
;
Үшінші нүкте ретінде, осы аралықтағы орын ауыстырудың экс-
тремаль мəнін анықтаймыз. Ол үшін: 
-      
2
2
2
2
2
4
0
7
4
II
d
x
ql
dx
EA
l
l
        
0
8
7
x
l
           
2
0,897 ql
EA
. 
)  
2
3
6
5
7
III
x
ql
EA
l
,  
 
 
3
0 x
l
. 
-    
3
0
x
              
2
5
7
III
ql
EA
; 
-    
3
x
l
            
2
1
7
III
ql
EA
; 
 
)  
2
4
1
7
IV
x
ql
A
l
,  
 
 
4
0 x
l
. 
-    
4
0
x
              
2
1
7
IV
ql
EA
; 
-    
3
x
l
            
0
IV
. 
Орын ауыстырудың эпюрасы 48,д-суретінде көрсетілген.

61 
§7. Статикалық анықталмайтын топсалы сырықтар жүйесі
Тірек    реакцияларын  жəне  элементтеріндегі  ішкі  күштерді 
анықтауға  статиканың теңдеулері жеткіліксіз болса, ол статикалық 
анықталмайтын конструкция деп аталатынын жоғарыда айтқанбыз. 
Осындай сырықтар жүйесіне (конструкцияларға) бірнеше мысалдар 
қарастырайық.
7.1. Үш сырықтан тұратын жүйенiң, элементтерiндегi кернеулердi 
табу  керек (49,а-сурет).  Ол  үшiн  алдымен  сырықтардағы  iшкi 
күштердi  табамыз.  Қималар  тəсiлi  бойынша,  ойша I-I сызығымен 
жүйенi екiге бөлемiз. Сол жақ бөлiктi алып тастап, қалған оң бөлiктiң  
статикалық теңдiгiн қарастырамыз (49,б-сурет). 
49-сурет
Алынып тасталынған бөлiктiң қалған бөлiкке əсерiн, əдеттегiше, 
iшкi  күштер  N
1
, N
2
  жəне  N
3
  деп  белгiлеймiз. Iшкi  күштердiң  шын 
бағыты  бiрден  белгiсiз  болғандықтан,  олардың  бəрiн  сырықтарды 
созып тұр деп есептеймiз (созу iшкi күшiн плюс арқылы есептейтiн 
болғандықтан).  Ендi  теңдеулердi  құрамыз.  Барлық  күш  бiр  нүкте 
арқылы өтетiн болғандықтан SM
с
=0 теңдiгi 0
≡
0 тепе-теңдiгiне ай-
налады. Сондықтан, бұл жүйе үшiн тек екi теңдеу құрылады.
3
1
1
3
2
0,
sin
sin
0
0,
cos
cos
0
Y
N
N
P
z
N
N
N
α
α
α
α
=
⋅
−
⋅
− =
=
⋅
+
⋅
+
=
∑
∑
                   (а)
Үш белгiсiздердi (N
1
, N
2
 жəне N
3
) табу үшiн ендi бiр теңдеу ке-
рек. Оны жүйенiң деформациялану ерекшелiгiнен аламыз. Қаралып 

62
отырған жүйенiң С түйiнiнде үш сырық түйiскен. Ал сырықтардағы 
кернеулердiң  шамаларының  мəнi  серпiмдiлiк  шекарасынан  аспау 
керектiгiн  ескерсек,  деформациядан  кейiн  де  сол  түйiнде  (С
1
)  үш 
сырықтардың  түйiсетiнi  даусыз.  Жүйенiң  деформацияланған  түрi, 
өте  үлкейтiлген  масштабта 50-суретте  көрсетiлген.  Келесi  мақсат, 
осы деформацияланған күйден сырықтың ұзаруларының бiр-бiрiнен 
тəуелдiлiгiн табу керек. Ендi осы суреттiң қалай жасалғанын мұқият 
талдайық. Есептiң басында статикалық теңдеулердi құрардан бұрын, 
əр сырықтардағы iшкi күштердiң бағытын қимадан сыртқа қараттық 
(49-сурет), демек, барлық сырықтар созылып тұр деп жорамалдадық. 
Бұл  жорамал  бойынша,  сырықтардың  барлығы  да  ұзарулары  ке-
рек.  Суретте  көрсетiлгендей,  бiрiншi  сырықтың  ұзаруы 
1
CL
= Δl
, 
екiншiнiкi 
2
CK
= Δl
, ал үшiншiнiкi 
3
C
 
 болсын. «С» түйiнi 
жазықтықта  орын  ауыстырғанда,  ондағы  сырықтардың  əр  нүктесi, 
сол сырық бекiтiлген нүкте арқылы (x
і
) шеңбер сызып қозғалады.
Сондықтан, L, K жəне  Д  нүктелерi  шеңбер  траекториясы-
мен  қозғалып  С
1
  нүктесiнде  түйiн  болып  қосылулары  керек.  Сол 
шеңберлердi (траекторияларды),  жоғарыда  атап  айтылғандай, 
жүйенiң деформацияларының өте аз екенiн  ескере отырып, LC
1
, KC
1
 
жəне  DC
1
  түзулерiмен алмастыруға болады (50-сурет).
Бұл  түзулер,  сырықтардың  деформацияланбаған  күйлерiндегi 
осьтерiне перпендикуляр болады (суретте тiк бұрыштар көрсетiлген).
 
50-сурет
Жоғарыда келтірілген суреттегі CKВ жəне BLC
1
 ұқсас үшбұрыш-
тардың қасиеттерін пайдалана отырып, төмендегі теңдеудi аламыз.

63 
2
3
1
2
cos
0
α
Δ ⋅
− Δ − Δ =
l
l
l
    (с)
Мұндағы 
1
Δl
, 
2
Δl
  жəне 
3
Δl
  ұзаруларын  Гук  заңы  бойынша 
өрнектеп,  керек  болып  отырған  үшiншi  теңдiктi  аламыз.  Осы  үш 
теңдiктен (а, б, с) тұратын жүйенi жазайық.
2
2
3
1
1
3
1
2
3
4
cos
1,5
3
0
sin
sin
0
cos
cos
0
N
N
N
N
N
P
N
N
N
α
α
α
α
α
⎧
−
−
=
⎪
−
− =
⎨
⎪
+
+
=
⎩
Бұл жүйеден
3
1
3
(4cos
1,5)
(8cos
1,5)sin
P
N
α
α
α
+
=
+
2
3
1,5
cos
(8cos
1,5)sin
P
N
α
α
α
⋅
=
+
3
3
3
(4cos
3)
(8cos
1,5)sin
P
N
α
α
α
+
=
+
Үшiншi сырықтың iшкi күшiнiң таңбасы «минус» болып шықты, 
өйткенi  ол,  біз  жорамалдағандай  созылып  тұрған  жоқ,  ол  сырық 
сығылып тұр.
 Сайып келгенде, осы үшiншi сырықтың сыртқы күштiң əсерiнен 
сығылып  тұрғаны,  есептiң  берiлуiнен-ақ  көрiнiп  тұр.  Сондықтан, 
49,б-суреттегiдей бiз бұл сырық созылып тұр деп жобаламай, оның 
сығылып  тұрғанын  көрсетсек,  есептiң  шешiлу  жолы  өзгерер  ме 
едi?  Əрине  өзгерер  едi.  Өйткенi (1) жəне (2) теңдеулердегi  кейбiр 
шамалардың таңбалары өзгерген болар едi. Сонымен қатар, есептiң 
шешiмi  бiреу  ғана  болатыны  ескерсек,  бұл  жағдайды  толығырақ 
қарап, шешу жолының кейбiр ережелерiн анықтаған жөн. 
Егер  сырық  созылып  тұр  деп  жорамалдасақ, iшкi  күш  алынып 
тасталған  бөлiкке  қарай  бағдарланатынын  өткен  параграфтарда 
айттық. Сондықтан, деформациялану нұсқасын жасағанда, созылып 
тұрған сырықты ұзарған деп жорамалдау мiндет; ал сығылып тұрған 
сырық,  деформациялану  нұсқасында  қысқаруы  керек.  Мысалға, 
жоғарыда қаралған есептi басқаша шешiп көрейiк. Ол үшiн, дефор-
мациялану нұсқасын қайтадан сызамыз (51-сурет).
Бұл нұсқаның 49,б-суретiнен айырмашылығы үшінші сырықтың 

64
сығылып  тұруында (51,б-сурет).  Статиканың  теңдеуiн  құрайық 
(51,б-сурет).
/
1
3
/
1
3
2
0, sin
sin
0
( )
0,
cos
cos
0
( )
Y
N
N
P
Z
N
N
N
 
Бұл екi теңдеулердiң (а) жəне (б) теңдеулерiнен айырмашылықтары 
айқын көрiнiп тұр.
 
 
 
51-сурет
Деформациялану нұсқасынан (51,б-сурет) алынатын теңдеу де (с) 
теңдеуiнен өзгеше болады. Ол теңдеу:
2
3
1
2
cos
0
α
Δ
+ Δ − Δ =
l
l
l
             (с
/
)
Соңғы  теңдеудегі    (с
/
)  бойлық  ұзаруларды    Гук  заңына  сүйене 
отырып, ішкі күштер арқылы өрнектегеннен кейін үш теңдеулерден 
тұратын (а
/
 б
/
 с
/
) жүйені шешуге болады. Нəтижеде, N
1
, N
2
 жəне N
3 
ішкі күштері табылады. Əрине, олардың шамалары бұрын табылған 
шамалармен  (d, e, ж) тепе-тең болады.
7.2-есеп. Үш сырықтан тұратын жүйенiң, элементтерiндегi мүмкін 
кернеулердi анықтау керек. Беріктік шартын қолданып, сырықтардың 
көлденең қималарының ауданын анықтау керек (52,а-сурет). Беріл-
гендер:
4
4 10
P
H
= ⋅
;
0
60
ϕ
=
;
[ ]
1,5
n
Τ
=
.  Бірінші  сырықтардың  мате-
риалы  болат-45;  ұзындықтары 
l
; 
370
; 
5
1
2 10
E
көлденең  қимасының  ауданы 
A
.  Екінші  сырықтың  материалы 
дюраль-Д16; ұзындығы- 2l
; 
0,2
220
; 
көлденең қима сы ның 
ауданы 
3A
. Басқа өлшемдер суретте көрсетілген.
Алдымен сырықтардағы iшкi күштердi табамыз. Қималар тəсiлi 

65 
бойынша, «С»  түйінін  бөліп  алып,  оның  статикалық  теңдiгiн 
қарастырамыз (52,б-сурет). 
1
N
  жəне
/
1
N
  бірінші  сырықтардағы, 
2
N
 - екінші сырықтағы ішкi күштер.  Iшкi күштердiң нақты бағыты 
бiрден  белгiсiз  болғандықтан,  олардың  бəрiн  сырықтарды  созып 
тұр  деп  есептеймiз  (созу  iшкi  күшiн  плюс  арқылы  белгіленетiн 
болғандықтан). 
52-сурет
 Ендi теңдеулердi құрамыз. Барлық күш бiр нүкте арқылы өтетiн 
болғандықтан, SM
с
=0  теңдiгi 
0 0
≡
  тепе-теңдiгiне  айналады. 
Сондықтан, бұл жүйе үшiн тек екi теңдеу құрылады.
                          
/
1
1
0
sin
sin
0
x
N
N
ϕ
ϕ
= ⇒
⋅
+
⋅
=
∑
(а)
2
1
0
2
0
Y
N cos
N
P
ϕ
= ⇒
⋅
−
− =
∑
                    (б)
Алғашқы  теңдеуден  (а)  бірінші  сырықтардағы  ішкі  күштердің 
өзара тең екенін (
/
1
1
N
N
=
) көреміз, өйткені қарастырылып отырған 
жүйе  үшін   
y
  осі  симметрия  осі  болып  табылады.  Сонымен, 
статиканың үш теңдеуінен қалғаны - тек бір теңдеу ғана (б).
Екі  белгiсiздердi (N
1
  жəне  N
2
)  табу  үшiн  ендi  бiр  теңдеу  керек. 
Оны  жүйенiң  деформациялану  ерекшелiгiнен  аламыз.  Қаралып 
отырған жүйенiң С түйiнiнде үш сырық түйiскен. Ал сырықтардағы 
5–661

66
кернеулердiң  шамаларының  мəнi  серпiмдiлiк  шегінен  аспау 
керектiгiн  ескерсек,  деформациядан  кейiн  де  сол  түйiнде  (
/
Ñ
)  үш 
сырықтардың  түйiсетiнi  даусыз.  Жүйенiң  деформацияланған  түрi, 
өте үлкейтiлген масштабта 52,а-суретте көрсетiлген. Келесi мақсат, 
осы деформацияланған күйден сырықтың ұзаруларының бiр-бiрiнен 
тəуелдiлiгiн табу керек. Ендi осы суреттiң қалай жасалғанын мұқият 
талдайық.
Суретте көрсетiлгендей, бiрiншi сырықтың ұзаруы 
/
2
C
 
екiншiнiкi 
/
2
C
 
болсын. «С»  түйiнi  жазықтықта  орын 
ауыстырғанда, ондағы бірінші сырықтардың əр нүктесi, сол сырық 
бекiтiлген нүктелер арқылы (А жəне В) шеңбер сызып қозғалады. Ал 
екінші сырықтың нүктелері өзінің осінің бойымен төмен қарай жыл-
жиды.  Сол  шеңбердi (траекторияны),  жоғарыда  атап  айтылғандай, 
жүйенiң  деформацияларының  өте  аз  екенiн    ескере  отырып, 
/
//
C C
  түзуiмен  алмастыруға  болады.  Бұл  түзу,  сырықтардың 
деформацияланбаған күйлерiндегi осьтерiне перпендикуляр болады 
(суретте тiк бұрыш көрсетiлген). Жоғарыда келтірілген суретті пай-
даланып, орын ауыстырулардың өзаралығының  теңдеуiн аламыз
1
2
cos
ϕ
Δ = Δ ⋅
l
l
                             (в)
Мұндағы 
1
Δl
, 
2
Δl
 ұзаруларын Гук заңы бойынша өрнектейміз 
1
1
1
N l
l
E A
⋅
Δ =
⋅
,     
2
2
21
2
3
N
l
l
E
A
⋅
Δ =
⋅
                          (г)
Есептің берілімін ескеріп:
5
1
4
2
2 10
2,6
7,7 10
E
E
β
⋅
=
=
=
⋅
                           (д)
Соңғы  өрнектерді  (г,  д)  в-формуласына  қойып,  керек  болып 
отырған үшiншi теңдiктi аламыз
 
1
2
3
2
cos
0
N
N
β
ϕ
+
⋅
⋅
=
                        (е)
Осы екі теңдiктен (е жəне б) тұратын жүйенi жазайық.
1
2
1
2
2
cos
3
2
cos
0
N
N
P
N
N
ϕ
β
ϕ
−
=
⎧
⎨
+
=
⎩
  (ж)

67 
Бұл жүйеден
4
4
1
2
2 cos
2 4 10 0,5
1,9 10
3 4 cos
3 4 2,6 0, 25
P
N
H
ϕ
β
ϕ
⋅ ⋅
⋅
=
=
=
⋅
+
+ ⋅
⋅
,
4
4
2
2
3
3 4 10
2, 2 10
3 4 cos
5,72
P
N
H
β
ϕ
⋅ ⋅
= −
=
= −
⋅
+
.
Екiншi сырықтың iшкi күшiнiң таңбасы теріс болады, өйткенi ол 
сырық, біз ойлағандай, созылып тұрған жоқ, ол сығылып тұр. 
Егер  сырық  созылып  тұр  деп  жорамалдасақ, iшкi  күш  алынып 
тасталған  бөлiкке  қарай  бағдарланатынын  өткен  параграфтарда 
айттық. Сондықтан, деформациялану нұсқасын жасағанда, созылып 
тұрған сырықты ұзарған деп жорамалдау мiндетті; ал сығылып 
тұрған сырық деформациялану нұсқасында қысқаруы керек. Сон-
да ғана, есептiң шешiмi əруақытта бiреу болатынын алдыңғы есепте 
айтқанбыз.
Сырықтардың мүмкін кернеулерін есептейік.
1
370
247
n
1,5
, 
0,2
2
220
147
n
1,5
 
Беріктік шартынан сырықтардың көлденең қималарының аудан-
дарын анықтаймыз. Бірінші сырықтың ауданы:
4
5
2
2
1
6
1
1,9 10
7,7 10
0,77
247 10
N
A
. 
Екінші сырықтың ауданы:
4
5
2
2
2
6
2
2, 2 10
4,98 10
0, 498
3
3 147 10
N
A
. 
Есептеп  алынған  аудандардың  үлкен  шамасын  қабылдаймыз. 
Яғни,
2
1
0,77
A
A
, 
2
2
2
3
3 0,77
2,31
A
A
. 
7.3-есеп.  Температураның  əсері.  Статикалық  анықталатын 
жүйелердегі  элементтердің  температуралары  өзгергенде,  олар-

68
дағы  ішкі  күштердің  шамалары  өзгермейді.  Ал,  статикалық 
анықталмайтын  жүйелердің  элементтерінің  температуралары 
өзгерсе,  онда  оларда  қосымша  ішкі  күштер  пайда  болады,  демек, 
олардың кернеулері өзгереді. Мысал үшін, жоғарыда қарастырылған 
7.2-ші есепті басқаша шығарайық. 
Сыртқы күшті алап тастап (
0
P
=
), бірінші  сымдарды 
100
T
K
Δ =
-ге қыздырғанда, олардың қималарында пайда болатын ішкі күштерді 
табу керек болсын (53-сурет). Болаттың температурадан сызықтық 
ұзару коэффициенті 
5
1, 25 10 1/ K
.  
Ол,  үшін  «С»  түйінінің  статикалық  теңдігін  қарастырамыз 
(53,б-сурет).  Барлық  күш  бiр  нүкте  арқылы  өтетiн  болғандықтан 
SM
с
=0 теңдiгi 
0 0
≡
 тепе-теңдiгiне айналады.
53-сурет
Сондықтан, бұл жүйе үшiн тек екi теңдеу құрылады.
/
1
1
0
sin
sin
0
x
N
N
ϕ
φ
= ⇒
⋅
+
⋅
=
∑
                  (а)
/
1
1
0
sin
sin
0
x
N
N
ϕ
φ
= ⇒
⋅
+
⋅
=
∑
                    (б)
Алғашқы  теңдеуден  (а)  бірінші  сырықтардағы  ішкі  күштердің 
өзара тең екенін (
/
1
1
N
N
=
) көреміз, өйткені қарастырылып отырған 
жүйе  үшін   
y
  осі  симметрия  осі  болып  табылады.  Сонымен, 
статиканың үш теңдеуінен қалғаны - тек бір теңдеу ғана (б).
Екі  белгiсiздердi (N
1
  жəне  N
2
)  табу  үшiн  ендi  бiр  теңдеу  керек. 

69 
Оны  жүйенiң  деформациялану  ерекшелiгiнен  аламыз.  Қаралып 
отырған жүйенiң С түйiнiнде үш сырық түйiскен. Ал сырықтардағы 
кернеулердiң  шамаларының  мəнi  серпiмдiлiк  шегінен  аспау 
керектiгiн  ескерсек,  деформациядан  кейiн  де  сол  түйiнде  (
/
Ñ
)  үш 
сырықтардың  түйiсетiнi  даусыз.  Жүйенiң  деформацияланған  түрi, 
өте үлкейтiлген масштабта 53,а-суретте көрсетiлген. Келесi мақсат, 
осы деформацияланған күйден сырықтың ұзаруларының бiр-бiрiнен 
тəуелдiлiгiн табу керек. Ендi осы суреттiң қалай жасалғанын мұқият 
талдайық.  Суретте  көрсетілгендей,  С  нүктесінің  орын  ауыстыруы 
- 
/
CC
;  бұл  екінші  сырықтың  қысқаруы  да  болып  табылады.  Ал 
бірінші  сырықтың  температура  əсерінен  ұзаруы - 
2
CC
.  Енді  бұл 
орын ауыстырулардың түп негіздерін анықтайық.
Бұл сымдар бір жүйеге біріктірілмей тек ілініп қана тұрса, онда 
бірінші сырықтың температура əсерінен ұзаруын физиканың форму-
ласы арқылы табуға болар еді. Ол 
2
1
1
t
CC
T
α
= Δ
= ⋅ ⋅ Δ
l
l
.
Сырықтар бір жүйеге біріктірілгендіктен, əр элементтің нүктелері 
жеке-жеке  өз  алдарына  жылжи  алмайды.  Өйткені,  бұл  жүйедегі 
екі  сырықтың  температура  əсерінен  ұзаратындықтан,  оларда  ішкі 
күштер пайда болады да, сырықтардың еркін созылуына бөгет бо-
лады, яғни
//
//
1 1
2
2
1
1
1
1
N
CC
C C
T
E
. 
 
//
1
2
l
C C
Соңғы  суреттің  геометриясынан  алатынымыз,  яғни
/
//
CC C
үшбұрышынан
 
//
/
cos
CC
CC
ϕ
=
//
2
cos
CC
l
ϕ
= Δ ⋅
2 2
1 1
1
2
1
(
) cos
N
N
T
EA
EA
α
ϕ
=
⋅ ⋅ Δ −
⋅
l
l
l
 
   (а)
Екі теңдеуден (б жəне в) тұратын теңдеулер жүйесін құраймыз.
2
2
1
1
1
2
1
1
2
cos
2
cos
0
N l
N l
l
T
EA
EA
N
N
ϕ α
ϕ
⎧
⎛
⎞
⋅
⋅
=
⋅
⋅ ⋅ Δ −
⎪
⎜
⎟
⎨
⎝
⎠
⎪
⋅
−
=
⎩
Осы жүйені шешіп, берілімдердің мəндерін қойғаннан кейін N
1
 
жəне N
2
 табамыз

70
3
1
1
2
3
1
2
2
3
10 10
,
3 4
6
cos
10 10
.
3 4
cos
E
N
H
os
E
N
H
7.4-есеп.  Егер  конструкцияның  элементтерінің  біреуі  жобадан 
кем,  не  артық  дайындалған  болса,  онда  конструкция  жүктелмей 
(күш түспей) тұрып-ақ, оны құрастыру кезінің өзінде, элементтерде 
кернеулер пайда болуы ықтимал. Осыған байланысты, тағы бір есеп 
қарастырайық (54-сурет).
Конструкцияның  жұмыс  істеу  шарты  бойынша,  КС  қатаң 
арқалығы  үш сымға ілініп тұруы керек. Бірақ үшінші сым, сурет-
те көрсетілгендей, жобадан 
Δ
 шамасына қысқа жасалған (саңылау 
қалдырылған),  яғни  арқалықпен  сырық  арасында  саңылау  бар  деп 
қарастырайық.
Сымдар  бір  материалдан  жасалған  жəне  олардың  көлденең 
қималарының  аудандары  жəне  басқа  да  өлшемдері 54-суретте 
көрсетілген.  Осы  конструкцияны  жинастыру  кезінде-ақ  сымдарда 
пайда  болатын  кернеулерді  табу  керек.  Содан  кейін, 
[ ]
σ
-мүмкін 
кернеуді  пайдаланып,  саңылаудың  мүмкін  шамасын - 
[ ]
Δ
  анықтау 
керек.
Конструкцияны  құрастырған  кезде,  КС  қатаң  сырығы  жоғары 
көтеріліп, оның осі 
/
//
K C сызығына орналасады. Бұл кезде үшінші 
сым
//
1
3
C C
l
= Δ
шамасына  созылып,
//
C
нүктесіне  төмен  түседі,  ал 
бірінші жəне екінші сырықтар 
/
1
KK
l
= Δ
,  
/
2
BB
l
= Δ
шамаларына жоғары 
көтеріледі.
Қималар  тəсілін  қолданып,  сымдардағы  ішкі  күштерді 
анықтаймыз. Ол үшін, сырықтарды ойша екіге бөліп, оның төменгі 
жағының (54-б-суреті)  статикалық  теңдік  күйінің  теңдеулерін 
құрамыз.  Суреттен  көрініп  тұрғандай, 1-ші  жəне 2-ші  сымдар 
сығылып,  ал 3-ші  сым  созылып  тұр  деп  жорамалданған.  Оның 
дұрыс-қатесін есептің шешімі көрсетеді. 

71 
54-сурет
  
   Жазықтықта  құруға болатын үш теңдеудің екеуін ғана құрсақ 
жеткілікті. Солардың екі вариантын жазайық. 
3
1
2
3
2
0;
2
0;
K
y
N
N
N
M
N
a N a
 
1
3
3
2
0;
2
0;
B
K
M
N
N
M
N
a N a
    
     (а)
Екінші  варианты  пайдаланған  тиімді,  үйткені  оның  екінші 
теңдеуіндегі белгісіздер саны екеу. Белгісіздер саны, жалпы алғанда, 
үшеу болғандықтан, бұл есеп бір рет статикалық анықталмайтын есеп. 
Қосымша  теңдеуді - конструкцияның  элементтерінің  деформация-
ларын ескере отырып құруға болады. Сол үшін, деформацияланған 
күй көрсетілген (54,а-сурет). 
Бұл суреттен  үшбұрышы 
/
/
/ /
 
үшбұрышына 
/
//
/
 
 ұқсас 
болғандықтан
/ /
/
/
//
//
/
/
/ /
2
2
B B
  
(б)

72
55-сурет
54,а-суретінен 
/
/ /
/ /
/
3
1
2
1
,
l
l
B B
l
l
.
.  Алынған 
шамаларды (б) өрнегіне қоямыз. Яғни,  
3
1
2
1
2
2
l
l
l
l
Δ − Δ − Δ = Δ − Δ
  
⇒
  
2
3
1
2 l
l
l
Δ = Δ + Δ − Δ
.
Гук заңын қолдана отырып жəне жоғарыда келтірілген нұсқаны 
пайдаланып (б) тендеуін кеңейтіп жазамыз.
3
2
1
2
2
3
N l
N l
N l
E
A
E A E A
⋅
⋅
⋅
Δ =
+
−
⋅
⋅
⋅
      
⇒
   
2
3
1
3
3
3
EA
N l N l
N l
⋅ Δ =
+
−
    
(в)
Содан кейін, (а) жəне (в) теңдеулерін бір жүйе ретінде қарастырып, 
мынандай шешiм аламыз
79
1
3
2
3
;
10
3
;
10
3
.
5
E
N
l
E
N
l
E
N
l
Сонымен, 1-ші жəне 3-ші сымдар созылып, ал 2-ші сым сығылып 
жұмыс  істеп  тұр.  Бұған  сəйкес  деформацияланған  күй 55-суретте 
көрсетілген.

73 
Кернеулер
                                   
1
3
2
3
;
10
;
10
3
.
10
E
l
E
N
l
E
N
l
σ
⋅ Δ ⋅
= −
⋅
Δ ⋅
=
⋅
⋅ Δ ⋅
= −
⋅
Осыдан  кейін,  ең  үлкен  кернеуді  тауып,  мүмкін  кернеумен 
теңестіріп, саңылаудың мүмкін шамасын анықтаймыз.
Ол шама:
[ ]
[ ]
max
3
10
E
l
σ
σ
⋅ Δ ⋅
=
=
⋅
          
⇒
           
[ ]
10
3
l
E
σ
⎡
⎤
⋅ ⋅
Δ =
⎢
⎥
⋅
⎣
⎦
.
7.5-есеп.  Конструкцияның  жұмыс  істеу  шарты  бойынша, 
АВ - қатаң арқалығы С нүктесінде тіреліп жəне екі сымға ілініп 
тұруы  керек.  Бірақ,  бірінші  сым  жобадан  қысқа  жасалған  деп 
қарастырайық (56-сурет).  Сымдар  бір  материалдан  жасалған 
жəне олардың көлденең қималарының аудандары бірдей (А) бол-
сын.  Басқа  өлшемдері  суретте  көрсетілген.  Осы  конструкцияны 
жинастыру кезінде-ақ сымдарда пайда болатын кернеулерді табу 
керек.  Қималар  тəсілін  қолданып,  сымдардағы  ішкі  күштерді 
анықтаймыз (57-сурет).       
Статикалық  теңдік  күйінің  теңдеулерін  құрамыз.  Жазықтықта  
құруға болатын үш теңдеудің біреуін ғана құрсақ жеткілікті. Себебі, 
қалған екі теңдеуге тіректің екі реакциясы кіреді де, жалпы белгісіздің 
саны төртеу болып кетеді. Ал, сымдардағы кернеулерді табу үшін, 
тіректің реакцияларының қажеті жоқ.  Сондықтан, төрт белгісізі бар 
үш  теңдеулерді  шешкеннен,  екі  белгісізі  бар  бір  теңдеуді  шешкен 
тиімді жəне əлдеқайда оңай.
1
2
2
cos
0
N
N
α
−
⋅
=
                               (а)

74
56-сурет                                                  57-сурет
Енді  бір  теңдеуді - конструкцияның  элементтерінің  де-
формацияларын  ескере  отырып  құруға  болады.  Ол  үшін, 
деформацияланған  күйді  көрсетейік (58-сурет).  Конструкци-
яны  құрастыру  үшін  бірінші  сымды  созғанда      А          нүктесі 
жоғары көтеріледі, В   нүктесі төмен түседі. Соның салдарынан 
А” нүктесі төмен жылжып,  А нүктесі жоғары көтеріледі де, А
/ 
нүктесінде түйіседі (58-сурет).  
 
58-сурет
Бұл суретте
ВВ
/ 
- В нүктенiң орын ауыстыруы.
ВВ
//
 - 
2
Δl
 -екiншi сымның ұзаруы.   
АА
//
 =
δ
.
А
//
А
/
=
Δl
 - бiрiншi сымның ұзаруы.
АА
/
=
δ
− Δl
.
АСА
/
 үшбұрышы ВСВ
/ 
үшбұрышына ұқсас болғандықтан
/
/
/
/
2
,
2
( )
AA
BB
. 

75 
Гук заңын қолдана отырып жəне жоғарыда келтірілген нұсқаны 
пайдаланып (б) теңдеуін кеңейтіп жазамыз.
2
1
2
( )
cos
N a
E
N a
Сонымен, (а) жəне (б) теңдеулерін бір жүйе ретінде қарастырып, 
келесідей шешiм аламыз:
3
1
3
3
2
3
cos
(cos
4)
2
cos
(cos
4)
E
N
a
E
N
a
 
Кернеулер: 
 
        

76
5-тарау. ЖАЗЫҚ ҚИМАЛАРДЫҢ 
ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ СИПАТТАМАЛАРЫ 
Бұралып  немесе  иіліп  жұмыс  істейтін  элементтерді,  жалпы 
алғанда,  күрделі  жүктелген  конструкцияларды  беріктікке  жəне 
қатаңдыққа  есептегенде,  көлденең  қиманың  ауданынан  басқа  (Ал 
қиманың негізгі сипаттамаларының бірі – оның ауданы екені белгілі), 
оның көптеген басқа да геометриялық сипаттамалары қажет болады. 
Жазық қиманың ауданын есептеп шығару  аса көп қиындық тудыр-
майтыны белгiлі. Сондықтан, қиманың басқа геометриялық сипатта-
маларын толық қарастырамыз.

жүктеу/скачать 4,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: