ҚОЗҒалысқа арналған есептер

6 
Қозғалыс уақыты, t (сағ) 
y
10
x
90
Қозғалыс жылдамдығы, v (км/сағ) 
х 
y 
Жүрген жол, 
t
v
s

=
(км) 
y
x
10

=
x
y
90

Кестедегі берілгендер бойынша теңдеулер жүйесін құрастырамыз және оны 
шешеміз:












=
=



=
=




=
=
−




=
=
−







=
=
−
.
0
,
0
;
15
,
5
3
,
0
5
9
,
4
10
90
90
10
,
4
10
90
2
2
2
x
y
x
y
y
x
y
y
y
x
xy
x
y
x
y
y
x
y
x
Сонымен саяхатшы жаяу 2 сағ, өзен бойымен 6 сағ жүрді. 
Жауабы: 2 сағ, 6 сағ. 
6-мысал. Арақашықтығы 360 км екі қаладан бір-біріне қарама-қарсы бағытта 
екі поезд шықты. Егер екінші поезд станциядан бірінші поездға қарағанда 1,5 сағатқа 
ертерек шығатын болса, онда олар жолдың ортасында кездесер еді. Егер олар 
станциялардан біруақытта шығатын болса, онда 5 сағаттан кейін поездардың ара 
қашықтығы 90 км болады. Әрбір поездың жылдамдығын табыңдар. 
Шешуі. Бірінші поездың жылдамдығы - х км/сағ; екінші поездың жылдамдығы 
- у км/сағ болсын, 
0.
y
,
0
x


Есептің шарты бойынша кесте құрастырамыз: 
Шама 
Поезд 
Бірінші 
Екінші 
Бірінші шарт (қозғалыстың бірмезгілсіз басталуы) 
Жүрген жол, s (км) 
180 
180 
Қозғалыс жылдамдығы, v (км/сағ) 
х 
у 
Қозғалыс уақыты, 
v
s
t =
(сағ) 
y
x
180
180 
1,5-ке 
Екінші шарт (қозғалыстың біруақытта басталуы) 
Қозғалыс уақыты, 
t
(сағ) 
5 
5 
Қозғалыс жылдамдығы, v (км/сағ) 
х 
у 
Жүрген жол,
t
v
s

=
(км) 
5х – 5у = (360 – 90) км 
Кестедегі берілгендер бойынша теңдеулер жүйесін құрастырамыз және оны 
шешеміз:



−
=
=
−
+






−
=
=
−
−





=
+
=
−





−
=
+
=

.
54
,
0
6480
186
54
,
2
1
60
54
60
54
,
5
,
0
60
60
90
360
5
5
,
5
,
1
180
180
2
x
y
x
x
x
y
x
x
y
x
x
y
y
x
x
y
Осыдан табамыз:
(
) (
)
.
270
;
216
,
24
;
30
−
Есептің шарты бойынша 
,
0

x
демек: 

7 
Бірінші поездың жылдамдығы 30 км/сағ; екінші поездың жылдамдығы 24 
км/сағ болады. 
Жауабы: 30 км/сағ, 24 км/сағ. 
7-мысал. А және В ауылдарынан бір-біріне қарама-қарсы бағытта екі жолаушы 
шықты. Бірінші жолаушы жолдың жартысын жүргенде екінші жолаушыға жол 
аяғына дейін 24 км жүру қалды. Ал екінші жолаушы жолдың жартысын жүргенде 
бірінші жолаушыға жолдың аяғына дейін 15 км жүру қалды. Бірінші жолаушы жолды 
аяқтағанда, екінші жолаушыға қанша км жүру керек болады? 
Шешуі. Бірінші жолаушының жылдамдығын х (км/сағ), екінші жолаушының 
жылдамдығын у (км/сағ), АВ қашықтығын s (км) деп белгілейік. 
.
0
,
,
24


y
x
s
Бірінші жолаушы жолдың жартысын жүріп өтті: 
Екінші жолаушы жолдың жартысын жүріп өтті: 
Теңдеулер жүйесін құрастырамыз: 




−
=
−
=


=







−
=

−
=








−
=
−
=
.
30
2
,
48
2
15
2
,
24
2
15
2
,
24
2
s
t
s
s
t
s
x
y
t
s
x
y
s
s
y
x
s
x
s
y
s
y
s
x
s
Теңдеулердің сол жақ және оң жақ бөліктерін сәйкесінше көбейтеміз: 
(
)(
)
,
30
2
48
2
2
−
−
=
s
s
s
.
0
480
52
2
=
+
− s
s
12
1
=
s
– есептің шартын қанағаттандырмайды, өйткені 
.
24

s
.
40
=
s
Сонда 
.
5
4
40
48
40
2
48
2
=
−

=
−
=
s
s
t
Кері алмастыру жасаймыз: 
.
5
4
=
x
y
Демек, бірінші 
жолаушы жолды аяқтағаннан кейін екінші жолаушыға жол аяғына дейін 
8
5
4
40
40
=

−
=

−
y
x
s
s
км. жол жүру керек болады. 
Жауабы: 8 км. 

8 
8-мысал. Арақашықтығы 180 км А және В қалаларынан біруақытта бір-біріне 
қарама-қарсы бағытта екі поезд шықты. Олар кездескеннен кейін А қаласынан 
шыққан поезд В қаласына 2 сағаттан соң жетеді, ал екіншісі А қаласына 4 сағат 30 
минуттан соң жетеді. Поездардың жылдамдықтарын (жылдамдықтары тұрақты) 
табыңдар. 
Шешуі. 1) Талдау. Есепте екі байланыс бар: біреуі анық, екіншісі жасырын 
түрде, яғни: 
(В қаласынан шыққан II поездың уақыты) – (А қаласынан шыққан I поездың 
уақыты) = 
2
1
4
сағ. – 2 сағ. = 
2
1
2
сағ. 
I және II поездары біруақытта шықты, сондықтан олардың кездескенге дейінгі 
уақыты бірдей. 
2) Есепті шешудің бірнеше тәсілдері бар. 
Поездардың кездескенге дейінгі қозғалыстарының бірдей уақытын х сағ (х>0) 
арқылы белгілейік. Кездескеннен кейінгі қозғалыс уақытын сызбада көрсетейік. 
Суреттегі жоғарғы сызық - А қаласынан шыққан І поезд, төменгі сызық - В 
қаласынан шыққан ІІ поезд қозғалыстары. 
I поезд тұрақты жылдамдықпен жүреді, сондықтан оның жүрген жолы қозғалыс 
уақытына пропорционал. Осыдан: 
2
х
ВС
АС = . Осыған ұқсас, II поезд үшін 
х
ВС
АС
2
1
4
=
. 
Осы теңдіктерді салыстыра отырып, аламыз: 
х
х
2
9
2
=
немесе 
9
2
=
х
, осыдан х = 3 сағ 
(екінші түбір теріс сан). 
Енді екі поездың да жылдамдықтары жеңіл табылады. 
А қаласынан шыққан поезд АВ = 180 км жолға х + 2 = 3 + 2 = 5 сағат кетіреді, 
демек оның жылдамдығы 180 : 5 = 36 км/сағ, ал В қаласынан шыққан поездың 
жылдамдығы 
24
15
2
180
2
1
7
180
2
1
4
180
=

=
=
+
х
км/сағ. 
Жауабы: 36 км/сағ; 24 км/сағ. 
 
 
 
 

9 
9-мысал. Жүрдек поезд станцияда 16 мин бөгелгеннен кейін кешігу уақытын 
192 км-де кесте бойынша жылдамдығын 10 км/сағатқа арттырып жойды. Поездың 
жылдамдығын табыңдар. 
Шешуі. Поездың кесте бойынша жылдамдығын v км/сағ 
арқылы 
белгілейік. Егер поезд 192 км-де v км/сағ жылдамдықпен жүретін болса, онда оған 
v
192
сағат қажет болар еді. Поезд бұл арақашықтықта v +10 км/сағ жылдамдықпен 
жүргендіктен, ол осы жолға 
10
v
192
+
сағат уақыт кетірді және 16 минут 
.
15
4






ч
кешігу 
уақытын жойды. 
Осыдан 
,
15
4
10
v
192
v
192
=
+
−
немесе 
,
0
7200
10
2
=
−
+ v
v
осыдан теңдеудің түбірлерін 
табамыз: 
.
80
,
90
2
1
=
−
=
v
v
Есептің шарты бойынша 
(
)
,
0

v
осыдан 
.
80
2
=
v
Тексеру жасап 
80 км/сағ жылдамдық есептің шартын қанағаттандыратынын аламыз.
Жауабы: 80 км/сағ. 
10-мысал. Пойыз 720 км жолда 1 сағат кешігуін жою үшін кесте бойынша жүру 
жылдамдығын 10 км/сағ-қа арттырды. Пойыздың кесте бойынша жүру жылдамдығын 
табыңдар. 
Шешуі. Есептің шарты бойынша қозғалыс бірқалыпты болғандықтан, 
пойыздың жүрген жолы оның жылдамдығы мен уақытының көбейтіндісіне тең 
болады. Сондықтан оны тіктөртбұрыш ретінде қарастырып, оның қабырғалары 
ретінде пойыздың жылдамдығы мен уақытын аламыз. 
АBСD тіктөртбұрышын салайық. АD = x – пойыздың кесте бойынша 
жылдамдығы (км/сағ), АB – пойыздың кесте бойынша жүру уақыты (сағ) болсын. 
Сонда,
𝑆
𝐴𝐵𝐶𝐷
= 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐷 = 720. 
Пойыз жылдамдығын 10 км/сағ-қа арттырғандықтан АD кесіндісінен шартты 
түрде 10 км/сағ-ты кескіндейтін DG кесіндісін қосамыз. Арттырылған жылдамдықпен 
пойыз 1 сағ жылдамырақ жүргендіктен АB кесіндісінен шартты түрде 1 сағ-ты 
кескіндейтін BЕ кесіндісін алып тастаймыз. Пойыздың жүрген жолдары бірдей 
болғандықтан, АBСD және АЕFG тіктөртбұрыштарының аудандары тең болады, яғни 
𝑆
𝐴𝐸𝐹𝐺
= 𝑆
𝐴𝐵𝐶𝐷
= 720. 
Сызбада 𝐴𝐵𝐶𝐷 және 𝐴𝐸𝐹𝐺 тіктөртбұрыштарының теңшамалы екенін көрсету 
үшін теорема бойынша 𝐶𝐹 ∥ 𝐸𝐷 жүргіземіз. 
𝑆
1
= 𝑆
2
болады, өйткені 
𝑆
𝐸𝐵𝐶𝐻
+ 𝑆
𝐴𝐸𝐻𝐷
= 𝑆
𝐷𝐻𝐹𝐺
+ 𝑆
𝐴𝐸𝐻𝐷
. 
(
)
0

v

10 
𝑆
1
= 𝐵𝐸

𝐸𝐻 = 1

𝑥 = 𝑥, ал 𝑆
2
= 𝐷𝐺

𝐺𝐹 = 10

𝐺𝐹, 𝐺𝐹 =
𝑆
𝐴𝐸𝐹𝐺
𝐴𝐺
=
720
𝑥+10
. 
𝑆
1
= 𝑆
2
болғандықтан, келесі теңдеуді аламыз: 
𝑥 = 10

720
𝑥+10
,
𝑥
2
+ 10𝑥 − 7200 = 0. 
Осы теңдеуді шешіп, оның түбірлерін табамыз: 𝑥
1
= 80, 𝑥
2
= −90. Сонымен, 
пойыздың кесте бойынша жылдамдығы 80 км/сағ-қа тең болады. 
Бұл 
есепте 
суреттегі 
геометриялық 
қатынастарды 
(теңшамалы 
тіктөртбұрыштар, кесінділердің ұзындықтарының теңсіздігі, үшбұрыштардың 
ұқсастығы және т.б.) пайдалана отырып, әртүрлі теңдеулерді құрастыруға болады. 
Мысалы, АB – АЕ = 1, ал 𝐴𝐵 =
720
𝑥
, 
𝐴𝐸 = 𝐺𝐹 =
720
𝑥+10
.
Осыдан: 
720
𝑥
−
720
𝑥+10
= 1. 
𝑆
𝐴𝐵𝐶𝐷
= 𝑆
𝐴𝐸𝐹𝐺
теңдігін пайдаланып, басқадай теңдеуді аламыз: 
𝑥

(
720
𝑥+10
+ 1) = 720. 
DАЕ және FHС үшбұрыштарының ұқсастығын қарастыратын болсақ, онда 
келесі теңдік шығады: 
𝑥(𝑥+10)
720
=
10
1
. 

жүктеу/скачать 442,87 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: