§2. Сырықтар жүйесінің геометриялық өзгермеу шарттары

166
Сырықтар  жүйесінен  тұратын  конструкциялардың  (құрылым-
дардың) түйiндерi, негізінен, қатаң болып бекітіледі. Оларды есептеу 
біршама  қиындық  көрсетеді,  өйткені  мұндай  конструкциялар, 
көбінесе, статикалық анықталмайтын болып келедi. Тəжірибелердiң 
көрсетуі  мен  теориялық  зерттеулердің  нəтижесі,  қатаң  түйіндерді 
шартты түрде, топса түйіндермен алмастырғанда, есептеу жолының 
көп жеңілденетінін жəне сыртқы күштер сол түйіндер арқылы əсер 
еткенде ішкі күштердің таралу заңында да көп өзгеріс болмайтынын 
дəлелдейді.  Сондықтан,  бұдан  былай,  құрылымдардың  есептеу 
нұсқасын  қабылдаған  кезде,  оларды  (шартты  түрде)  топсалы 
түйіндерден тұратын конструкциялар ретінде қарастырамыз.
Мысал  үшiн,  бұрышшалардан  жасалған,  түйіндері  тойтарма 
шегелермен бекітілген, төмендегі конструкцияларға талдау жасайық 
(125-сурет).
 
 
 
 
125- сурет   
                                             
Үш  сырықтан  тұратын  бұл  жүйенің (125,а-сурет)  есептеу 
нұсқасы 125,ə-суретте көрсетілген. Ол статикалық анықталмайтын 
есеп  болғандықтан,  оның  шешу  жолы  біраз  қиындық  туғызады. 
Егер бұл жүйенің түйіндерін топсалы деп қарастырсақ (125,б-сурет), 

167 
онда есептің шешiлу жолы тек қана оңайланып қоймайды, сонымен 
қатар,  сырықтардың  кез  келген  қимасының  орын  ауыстыруы  бұл 
кезде де деформацияға ғана тəуелдi болады. Өйткені, 125,б-суретте 
көрсетілген жүйе  геометриялық өзгермейтін жүйе болып табылады. 
Еңдi төрт сырықтан тұратын жүйге көңіл аударайық (126,а-сурет).
Бұл конструкцияның есептеу нұсқасы 126ə-суретте көрсетілген.  
Бұл  жүйенiң  түйiндерiн,  шартты  түрде,  топсалармен  алмастырсақ, 
онда  ол  геометриялық  өзгермелi  жүйе  болып  кетедi (126,б-сурет). 
Сондықтан,  кез  келген  жүйенiң  түйiндерiн  топсамен  алмастыра 
беруге болмайды.
Ендi,  бiр  түзудiң  бойында  жатқан  екi  сырықтардан  тұратын 
жүйенi алып қарайық.  Олар бiр-бiрiмен С нүктесiнде топса арқылы 
бiрiктiрiлсiн (127-сурет). Егер С нүктесiндегi топсалы бекiтпенi алып 
тастасақ, онда АС сырығының С нүктесi m-m шеңберi бойымен, ал 
ВС  сырығының  сəйкес  нүктесi n-n шеңберi  бойымен  жылжыған 
болар едi.
         
126-сурет
Бұл  шеңберлердiң  С  нүктесiнде  ортақ  жанамасы  болатыны 
белгiлi. Егер осы конструкцияның топсасына күш түсiрсек, онда ол 

168
АВС
/
 үшбұрышына (126,ə-сурет)  айналады. Өйткенi, бiр сырықтың 
(мысалы АС сырығының) С қимасының АВ бағытына перпендикуляр 
бағытта,  яғни  жанама  бойымен  аз  ғана  орын  ауыстыруына  екiншi 
сырық  (ВС  сырығы)  бөгет  бола  алмайды.  Мұның  өзi,  қаралып 
отырған  жүйенiң  геометриялық  өзгермелi  екенiн  көрсетедi.  Бiрақ 
қарастырылып отырған жүйенiң, мұның алдында қаралған жүйеден 
ерекшелiгi – С  нүктесi  аздап  орын  ауыстырғаннан  кейiнгi  сəтте 
бұл  жүйе  геометриялық  өзгермейтiн  жүйеге  айналады.  Өйткенi, 
геометриясы үшбұрышқа сəйкес конструкциялардың қималарының 
орын ауыстырулары тек деформацияға тəуелдi екенi дау тудырмайды.
 
127-сурет
Сонымен,  геометриялық  өзгермейтін  топсалы  жүйелердің 
қарапайым  түрі - үш  сырықтан  тұратын,  өзара  топсалы  түйіндер 
арқылы  қосылған  конструкциялар.  Бұдан  мынадай  қорытындылар 
шығаруға болады:
- 
геометриялық  өзгермейтін  жүйені  құру  кезінде,  жаңадан
қосылатын əр түйінде, бір сызықтың бойында жатпайтын екі сырық  
топсалы түрде біріктіріліп отыру керек;
- 
тек  топсалы  үшбұрыштардан  тұратын  жүйелер,  қарапайым
жүйелер немесе қарапайым фермалар деп аталады (128-сурет).
 
128-сурет

169 
Бұл  қарапайым  ферманы  құрастыру  үшiн,  алдымен  гео-
метриялық өзгермейтін авс жүйесі (топсалы үшбұрыш) алынады, 
содан кейін оған 1-ші түйiн қосылады, бұл түйінде, бір сызықтың 
бойында  жатпайтын  в-1  жəне  с-1  сырықтары  топсалы  түрде 
біріктірілген.  Бұдан  соң,  алынған  жүйеге 2-ші  түйiн  қосылады 
да, одан кейін 3-ші түйiн, сол секілді тағы басқа түйіндер қосыла 
береді.
Енді,  геометриялық  өзгермейтін  жүйені  тіректер  арқылы 
жерге  (немесе  қозғалмайтын  қатаң  жүйеге)  бекіту  жолдарын 
қарастырайық.  Тəжірибеде  жиі  кездесетін  конструкциялар, 
көбінесе,  екі  тірек  арқылы  (бірі-топсалы-жылжымайтын,  ал 
екіншісі - топсалы-жылжымалы) бекітiледі. Бұрынғы тарауларда 
айтылғандай,  бұл  кезде  барлық  тірек  реакцияларының  бағыты 
бір  нүктеде  қиылыспау  керек.  Ондай  болған  жағдайда,  яғни 
барлық тірек реакцияларының бағыттары бір нүктеде қиылысса, 
онда  қарастырылып  отырған  конструкция,  сол  қиылысу  нүктесі 
арқылы  бір  сəтке  болса  да  айналып  кетедi  де,  геометриялық 
өзгермелі жүйеге айналады. 
         
         
 
 
129-сурет
Мысалға, 129-суретте көрсетілген жүйелерге талдау жасайық 
Бұл  суреттегі  а)  жəне  ə)  варианттарының  тiректері  дұрыс 
орналастырылған,  ал  б)  вариантындағы  тіректердің  бағыттары  о 

170
нүктесінде  қиылысатын  болғандықтан,  бұл  нұсқа  геометриялық 
өзгермелі болып келедi. Аталған о нүктесі сəттік өзгеру центрі деп 
аталады.
§3.  Геометриялық  өзгермейтін  сырықтар  жүйесiнiң  стати-
калық анықталу шарттары
Қарапайым ферманы кұрастыру үшін, түйіндер саны мен сырықтар 
саны қандай қатынаста болу керек екеніне көңіл аударайық. Ол үшiн, 
фермадағы сырықтар санын S деп, түйіндер санын к-деп белгілейік. 
Негізгi үшбұрыш үш түйiннен жəне үш сырықтардан тұрады. Келесі 
қосылатын əр түйіндер саны к=3, олардың əрқайсысы екі сырықпен 
бекітіледі. Сонда
S = 3+2(к-3) = 2к - 3.
Осыған байланысты, егер S
i
 < 2к - 3 болса, онда жүйе геометриялық 
өзгермелі  деп  тұжырымдалады.  Сондықтан,  қарастырылған 
төртбұрышты  жүйе (130а-сурет) – геометриялық  өзгермелi  жүйе. 
Бұл  жүйенi  геометриялық  өзгермейтiн  жүйе  жасау  үшiн,  оның 
диагоналы  арқылы  тағы  бiр  сырық  қосу  керек (130,ə-сурет).  Ал 
бұл  жүйеге  екінші  диагоналды  қоссақ (130,б-сурет),  онда  жүйенің 
геометриялық  өзгермеу  шарты  үшін,  ол  сырық  “артық”  болып 
есептеледі.                 
 
130-сурет
Сонымен, сырықтар жүйесі геометриялық өзгермейтін болу үшін 
2
3
i
S
k
≥
−
 шарты орындалу керек. Бірақ, бұл шарттың жеткіліксіз 
екенін  де  атап  айтқан  жөн.  Мысалы,  төмендегі  екі  конструкцияны 
қарастырайық (131-сурет).  Бiрiншi  ферма  (а)  үшiн 
2
3
i
S
k
=
−
,  ал  екiншi  ферма  (ə)  үшiн 
2
3
i
S
k
≥
−
  болғанымен,  бұлардың  оң 
жақтағы төртбұрыш элементі геометриялық өзгермелі. 
        

171 
  
131-сурет
Қарастырылып  отырған  фермалар  геометриялық  өзгермейтін 
болу үшін, олардың оң жақтағы шеткі төртбұрыш элементтеріне тағы 
бір  диагональ - сырық  қосу  керек.  Мұның  өзі,  бұл  конструкцияны 
статикалық  анықталмайтын  жүйелер  қатарына  қосады.  Осыған 
байланысты,  статикалық  анықталатын  немесе  статикалық  анық-
талмайтын жүйелерге анықтама бере кетейік.                      
Ғимараттар статикалық анықталатын болу үшін: 
1. 
Олардың тірек реакцияларының саны үштен аспау керек.
2. 
Сырықтар саны жүйенің геометриялық өзгермеуіне жеткілікті
ғана болып, бірде-бір “артық” сырық болмау керек.
3.  Кез  келген  қарапайым  ферма  геометриялық  өзгермейтін 
конструкция  болуымен  қатар,  ол  статикалық  анықталатын  жүйе 
болып табылады.
§4. Негізгі жүйе туралы түсінік. Эквивалент жүйе.
Статикалық  анықталмайтын  жүйелерде,  ізделіп  отырған 
шамалардың (тірек реакциялары, ішкі күштер т.б.) саны статиканың 
тепе-теңдік теңдеулерінен көп екені белгілі.
Егер ізделіп отырған белгісіз шамалардаң санын к деп белгілеп, 
жазық  жүйелер  үшін  статиканың  үш  тепе-теңдік  теңдеуін  құруға 
болатынын ескерсек, онда к-3 саны жүйенің статикалық анықталмау 
дəрежесін береді, яғни  n = к-3

172
Мысалы, 132-суретте көрсетілген рамаларды алып, оларға жеке-
жеке талдау жасайық. 
132-сурет
Бірінші  раманың  (а)  А  тірегінде  екі  реакция,  ал  В  тірегінде 
бір реакция болатыны белгілі, яғни,  n = 3 - 3 = 0. Демек, бірінші 
рама  статикалық  анықталатын  жүйе.  Екінші  раманың  (ə)  тірек 
реакциялары  да  статиканың  теңдеулерінен  табылады.  Бірақ,  СЕ, 
ЕL, LD жəне  ДС  элементтеріндегі  ішкі  күштер  қима  тəсілімен 
табылмайды, өйткені бұл элементтерді кез келген жерінен тіліп, қима 
жүргізгеннен кейін, ол қимада тағы да белгісіз үш ішкі күштер N, Q, 
M пайда болады. Оларды табу үшін қосымша тағы үш теңдеу құру 
керек. Сонымен, бұл рамадағы белгісіз күштер саны – 6. Сондықтан:  
n = 6 - 3 = 3. Демек,  бұл  жүйе  статикалық  анықталмайтын  жүйе, 
ал оның статикалық анықталмау дəрежесі - 3, басқаша айтқанда бұл 
рама үш рет статикалық анықталмайтын жүйе.
Үшінші  раманың  (б)  екі  тіректеріндегі  реакциялары  үш-үштен 
болғандықтан n = 6 - 3 = 3.
Сонымен бұл рама да үш рет статикалық анықталмайтын жүйе. 
Қарастырылған  екі  раманың  бір-бірінен  негізгі  айырмашылығы 
–  бірінші  раманың  тіректеріндегі  реакциялар  статиканың 
теңдеулерінен  табылғанмен,  оның  элементтеріндегі  ішкі  күштер 
қималар  тəсілімен  табылмайды.  Ал  екінші  раманың  тірек 
реакцияларының өзі статиканың теңдеулерінен табылмайды. Осыған 
байланысты,  ə)  рамасы - іштей  статикалық  анықталмайтын,  ал,  б)  
рамасы – сырттай статикалық анықталмайтын жүйелер деп аталады.
Төртінші  раманы  қарастырайық.  Бұл  раманың  тірек  реакциялары 
да  алтау  болғанмен,  мұндай  конструкциялар  (құрылмалар)  екі  рет 

173 
статикалық анықталмайтын болып табылады. Өйткені, С топсасында 
момент болмайтындықтан, статиканың үш теңдеуіне қосымша тағы 
бір теңдеу құруға болады. Ол теңдеу
ΣM
с(сол) 
= 0,  немесе  ΣM
с(оң)
 = 0.
Конструкцияның  статикалық  анықталмау  дəрежесі  арқылы, 
оның  неше  байламын  алып  тастағанда,  конструкция  статикалық 
анықталатын болатынын табуға болады. Мысалы, конструкцияның 
анықталмау  дəрежесі n-ге  тең  болса,  яғни,  ол n рет  статикалық 
анықталмайтын  болса,  онда  оның n байламы  «артық»  деген  сөз. 
Сондықтан  мұндай  конструкцияның n байламын  алып  тастау 
арқылы,  оны  статикалық  анықталатын  жасауға  болады.  Бұл  жерде 
есте  болатын  талап – «артық»  байламдар  алынып  тасталғаннан 
кейін, конструкция геометриялық өзгермелі жүйеге айналып кетпеу 
керек. 
 
133-сурет
Осындай,  артық  байламдары  алынып  тасталған  (статикалық 
анықталатын), геометриялық өзгермейтін конструциялар (жүйелер) 
негізгі жүйелер деп аталады.

174
Берілген  күштермен  жүктеліп,  алынып  тасталған  «артық» 
байламдардың  əсері  (реакциялар,  ішкі  күштер)  белгісіз  сəйкес 
күштермен  алмастырылған  есептеу  нұсқа – эквивалент  жүйе  деп 
аталады.  Мысалы,  берілген  конструкция (133,а-сурет)  бес  рет 
статикалық анықталмайтын жүйе, яғни, оның бес байламы «артық». 
Сол бес байламы алынып тасталған, сонымен қоса сыртқы күштер 
көрсетілмеген нұсқа негізгі жүйе болып табылады (133,ə - сурет).
Сыртқы  күштер  жəне  алынып  тасталған  байламдардың 
реакциялары  белгісіз  X
1
,  Х
2
, X
3
, X
4
  жəне  Х
5
    күштерімен 
алмастырылған нұсқа (133,б-сурет) негізгі жүйе деп аталады.
§5.Күштер тəсілі. Канондық теңдеулер
Құрылыс  механикасында  жиі  қолданылатын  тəсілдердің  бірі - 
күштер тəсілі. Бұл тəсіл бойынша, негізгі белгісіздер ретінде күштер 
(реакциялар жəне ішкі күштер) қабылданады жəне оның қолданылу 
ережесі төмендегідей:
-  Берілген  статикалық  анықталмайтын  конструкцияның  ста-
тикалық анықталмау дəрежесі анықталады,
- Есептеу нұсқасының негізгі жүйесі таңдалынып алынады,
- Алынып тасталған байламдар белгісіз күштер (X
1
, Х
2
, X
3
, ... X
к
)
арқылы  алмастырылып,  есептің  эквивалент  жүйесі  көрсетіледі.
Егер  сызықтық  орын  ауыстыруды  болдырмайтын  байлам  алынып
тасталса, онда ол байлам белгісіз күшпен алмастырылады. Ал, егер 
бұрыштық орын ауыстыруды болдырмайтын байлам алынған болса, 
онда белгісіз моментпен алмастырылады,
-  Алынып  тасталған  байламдардың  ерекшеліктері  ескеріле
отырып, қосымша теңдеулер құрылады.
Осы  айтылғандар  түсінікті  болу  үшін,  мына  бір  мысалды 
қарастырайық (134,а-сурет).  Алдымен  статикалық  анықталмау 
дəрежесін  табамыз.  Ол  үшін  белгісіздердің  санын  есептейміз. 
А  тірегінде  үш  реакция,  В  тірегінде  бір  реакция,  ал  тұйық 
төртбұырштың  қималарында  үш  ішкі  күш  бар.  Сонымен    к = 3 + 
1 + 3 = 7 болғандықтан: n = к - 3=7 -3 = 4. Статикалық анықталмау 
дəрежесі n = 4-ке  тең  болғандықтан  төрт  байламды  алып  тастау 
арқылы, негізгі жүйені таңдаймыз.
Осылай  қабылданған  негізгі  жүйенің  бір  түрі 134,ə-суретте 

175 
көрсетілген.  Бұл  негізгі  жүйе – берілген  жүйенің  В  тірегін  алып 
тастап,  тұйық  төртбұрышты  кез  келген  жерінен  қию  арқылы 
қабылданған.  Берілген  конструкцияның  эквивалент  нұсқасы 
134,б-суретте көрсетілген.
134 –сурет
Енді
,
  статиканың  теңдеулеріне  қосымша  теңдеулерді  құруға 
кірісеміз.  Жүйенің  қималарының  өзара  орын  ауыстыруларын  δ
ik
 
деп  белгілейміз.  Бұл  жердегі  і  əрпі  орын  ауыстырудың  бағдарын 
көрсетсе, к əрпі - орын ауыстыруға себеп болған күшті көрсетеді.
Қарастырылып  отырған  конструкцияның  тұйық  төртбұрыш 
бөлігінің  кез  келген  жерінен  ойша  тілік  жүргізіп,  С  жəне  Д 
қималарын (*) алдық. Енді бұл қималар тік жəне көлденең бағытта
 
жылжып,  сонымен  қатар,  өзара  бұрылып  кете  алады.  Олардың 
мұндай орын ауыстыруларын болдырмау үшін Х
1 
, Х
2
, Х
3
 күштерінің 
шамасы жеткілікті мөлшерде болу керек. Қорыта айтқанда, С жəне Д 
қималары арқылы тілік ойша жүргізілгендіктен, жоғарыда айтылған 
орын ауыстырулар іс жүзінде болмайды, яғни
δ
1 (Х1 , Х2, Х3, ... Р)
 = 0  
                               (11.1)
Бұл теңдіктің мəні – барлық күштердің (берілген күштер P, q, ... жəне 
белгісіз күштер Х
1 
, Х
2
, ...) əсерлерінен С жəне Д қималарының бірінші 
күш (Х
1
) бағытындағы орын ауыстыруы нөлге тең. Сол секілді

176
                              
 δ
2 (Х1 , Х2, Х3, ... Р)
 = 0,
                               δ
3 (Х1 , Х2, Х3, ... Р)
 = 0 ,                                     
(11.2)
                          δ
4 (Х1 , Х2, Х3, ... Р)
 = 0.
Бұл  жердегі  δ
2
 - С  жəна  Д  қималарының  тік  бағыттағы  орын 
ауыстырулары  болса,  δ
3 
 - олардың  өзара  бұрылуы.  Егер  В  тірегі 
болмаса, бұл тірек орналасқан қима δ
4
 - шамасына орын ауыстырған 
болар еді. Бұл қимада тірек болғандықтан, жоғарыда көрсетілгендей
δ
4 (Х1 , Х2, Х3, ... Р)
 = 0.
Күштер əрекетінің тəуелсіздігі қағидасын (приципін) пайдаланып, 
орын ауыстырулардың теңдіктерін түрлендіріп жазайық.
δ
1 (Х1 , Х2, Х3, ... Р)
 = δ
1 Х1 
+ δ
1 Х2
 +  ... + δ
1Р
 = 0
                        ......................................................                 
(11.3)
δ
4 (Х1 , Х2, Х3, ... Р)
 = δ
4 Х1 
+ δ
4 Х2
 +  ... + δ
4Р
 = 0
Сонымен кез келген Х
к
 күшінің əсерінен X
i
 күшінің бағытындағы 
орын ауыстыруы 
δ
ixk
   шамасы арқылы анықталады. Егер 
X
k
 күші 
бірге тең болса, яғни    Х
к
 = 1, онда 
δ
ixk  
= δ
ik 
. 
                                  (11.4)
Олай болса, бұл күштен X
i
 күшінің бағытында туындайтын орын 
ауыстыру
δ
ixk  
= δ
ik  
Х
к
   
                               (11.5)
Соңғы  тұжырымды  пайдаланып, (3) теңдеулер  жүйесін 
төмендегіше түрлендіріп жазуға болады.
δ
11
X
1
 +  δ
12
X
2
  +  δ
13
X
3
 + δ
14
X
4
 + δ
1p
 = 0
             δ
21
X
1
 +  δ
22
X
2
  +  δ
23
X
3
 + δ
24
X
4
 + δ
2p
 = 0         (6)
δ
31
X
1
 +  δ
32
X
2
  +  δ
33
X
3
 + δ
34
X
4
 + δ
3p 
= 0
δ
41
X
1
 +  δ
42
X
2
  +  δ
43
X
3
 + δ
44
X
4
 + δ
4p
 = 0
Алынған  теңдеулердің  саны  есептің  статикалық  анықталмау 
дəрежесіне  тең  болады.  Егер  қарастырылып  отырған  жүйе  п - рет 
статикалық анықталмайтын болса, онда

177 
δ
11
X
1
 +  δ
12
X
2
  +  . . . + δ
1п
X
п
 + δ
1p
 = 0,
δ
21
X
1
 +  δ
22
X
2
  +  . . . + δ
2п
X
п
 + δ
2p
 = 0,
.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .                                             
(11.7)
.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
δ
п1
X
1
 +  δ
п2
X
2
  +  δ
43
X
3
 + δ
пп
X
п
 + δ
пp
 = 0.
Бұл  (11.7)  теңдеулер  күш  тəсілінің  канондық  теңдеулері  деп 
аталады.
Канондық теңдеулердегі 
δ
ik
  
коэффициенттерінің мəні белгілі бір 
күштің (мысалы Х
к 
 = 1) əсерінен, белгілі бір бағыттағы (мысалы Х 
күшінің бағытындағы) орын ауыстыру. Оларды кез келген тəсілмен 
есептеп  табуға  болады.  Мысалы,  Кастилиано  теоремасын  немесе 
Мор интегралын, əйтпесе Верещагин тəсілін жəне басқа да тəсілдерді 
колдануға болады. Инженерлердің жиі қолданатыны — Веращагин 
тəсілі  (Бұл  тəсіл  туралы  толығырақ  мəлімет  «Қосымшада» 
келтірілген).
§6. Күштер тəсілінің алгоритмі
Күштер  тəсілінің  алгоритмін  тұжырымдау  үшін  бірнеше 
мысалдар қарастырайық.
1-ші  мысал.  Статикалық  анықталмайтын  жүйені (135,а-сурет) 
шешіп,  оның  қималарында  пайда  болатын  ішкі  ию  моментінің 
эпюрасын тұрғызу керек болсын.
135 -сурет
Берілген  жүйе  үш  рет  статикалық  анықталмайтын  рама 
болғандықтан  (өйткені  К=6-3=3)  раманың  оң  жақтағы  қатаң 
тірегін  алып  тастау  арқылы    негізгі  жүйені  таңдап  алуға  болады 
12–661

178
(135,ə-сурет).  Берілген  нұсқаның  эквивалент  жүйесі 135,б-суретте 
көрсетілген. Канондық теңдеулерді жазайық.
δ
11
X
1
 +  δ
12
X
2
  +  δ
13
X
3
 +  δ
1q
 = 0,
δ
21
X
1
 +  δ
22
X
2
  +  δ
23
X
3
 + δ
2q
 = 0,
δ
31
X
1
 +  δ
32
X
2
  +  δ
33
X
3
 + δ
3q 
= 0.
Қарастырылып  отырған  жүйенің  қималарының  орын  ауыс-
тырулары,  негізінен,  ию  моментіне  байланысты  болғандықтан, 
бойлық күш пен көлденең күштерді ескермейміз.
Раманың  қатаңдағын  (ЕI)  тұрақты  шама  деп  есептеп,  канондық 
теңдеулердің  коэфициенттерін  табамыз.  Олар - бірлік  күштердің 
əсерінен туындайтын орын ауыстырулар болғандықтан жəне раманың 
осьтері түзу сызықты екенін ескеріп, Верещагин тəсілін қолданамыз. 
Ол үшін берілген таралған күштен жəне үш бірлік күштерден Х
1
=1, 
Х
2
=1, X=1 пайда болатын ию моментерінің эпюраларын тұрғызамыз 
(136-сурет).
Верещагин  тəсілін  қолданып  δ
11
  шамасын  табамыз.  Ол  үшін 
бірінші эпюраны өзіне өзін көбейтеміз, яғни
δ
11
 
= 
3
1
1
1
1 1
2
20
(
2 2
2
2
2 )
2
3
3
l
M M
l l
l
l l l
EI
EI
EI
−
−
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=
.
                
                
 
                  
136-сурет
Ал, 
12
δ
-  коэффициенті  бірінші  жəне  екінші  эпюраларды  өзара 
көбейту арқылы табылады, яғни

179 
3
1
12
2
1
3
l
M M
EI
EI
δ
−
−
=
= −
.
Осылайша қалған коэффициенттерді табамыз. Олар
δ
13 
= 
2
4l
EI
,       δ
1q 
= 
4
6ql
EI
−
,      δ
12 
=
    
δ
21
, 
  
δ
22 
= 
3
3
l
EI
,
δ
23 
= 
2
2
l
EI
−
,  δ
2q 
= 
4
ql
EI
, δ
31 
=
    
δ
13
, 
  
 δ
33 
= 
3l
EI
, δ
3q 
= 
3
10
3
ql
EI
−
.
Канондық  теңдеулерге  табылған  коэффициенттерді  қойғаннан 
кейін
20l·X
1
-3l·X
2
+12X
3
=18ql
2
,
-6l·X
1
+2l·X
2
-3X
3
= -6ql
2
,
24l·X
1
-3l·X
2
+18X
3
=20ql
2
.
Теңдеулер жүйесін шешіп, белгісіз реакцияларды табамыз. Олар: 
Х
1
=1,083ql,     Х
2
= -0,34ql,     Х
3
= -0,39ql
2
.
Статикалық анықталмайтын жүйені шешу осымен аяқталады. Ал 
ішкі күштердің эпюрасын екі жолмен тұрғызуға болады.
137-сурет
Бірінші  жол  бойынша  “артық”  байламдардың  табылған 
реакцияларын  (Х
1
,  Х
2
,  Х
3
)  берілген  сыртқы  күштердің  қатарына 
қосып (137а-сурет),  қарастырылып  отырған  жүйені  статикалық 
анықталатын жүйе ретінде есептеу керек. Эпюра бұрыннан белгілі 
тəсілмен тұрғызылады (137,ə-сурет). 

180
 
138-сурет
Эпюраларды  тұрғызудың  екінші  жолы – бірлік  күштерден 
тұрғызылған  эпюралардың  ординаталарын  табылған  сəйкес 
күштерге көбейтіп, оларды қайтадан құрып шығу керек (138-сурет). 
Бұл  эпюраларға  берілген  күштердің  эпюраларын  қосып,  ізделіп 
отырған  ию  моментінің  эпюрасын  аламыз.  Мысалы,  раманың  А 
қимасындағы моменттің шамасын табайық.
M
A
=2,166·ql
2
+0,34·ql
2
-0,39·ql
2
-2·ql
2
=0,16·ql
2
.
Осылайша,  кез  келген  қимадағы  (жалпы  алғанда,  барлық  
қималардағы) моменттердің шамасын тауып алуға болады. Табылған 
нүктелер арқылы керекті эпюра тұрғызылады.
2-ші  мысал.  Берілген  статикалық  анықталмайтын  жүйені  шешу 
керек болсын (139,а-сурет). Бұл конструкция екі аралықтан тұрады, 
олар АС аралығы шеңбердің төрттен бір бөлігі болса, ал 
CD
 аралығы 
түзу сызықты. Екі аралықтың қатаңдығы бірдей жəне тұрақты деп 
аламыз, яғни EI=const. Берілген шамалар: P=120 kH,  r=200 cм.  
 
    
          
 
     
139-сурет
Есептің  шарты  бойынша,  тірек  реакцияларын (R
A
, H
A
, M
A, 
R
B
) 
табу керек.

181 
Бұл есепте белгісіздер саны төртеу де (139,ə-сурет), статиканың 
теңдеулері  үшеу  болғандықтан,  есеп  бір  рет  статикалық 
анықталмайтын болып табылады, демек бір байлам «артық». Осыған 
байланысты канондық теңдеу төмендегіше жазылады.
δ
11
X
1
 +  δ
1p
 = 0                             
  (11.8) 
         
Бұл  теңдеудегі  коэффициенттерді  (δ
11
,  δ
1p
)  табу  үшін  Мор 
интегралын  қолдану  керек,  өйткені  қисық  сызықты  аралыққа 
Верещагин  тəсілін  қолдануға  болмайды.  Нұсқаны  үш  аралыққа 
бөлеміз, олар – АС, 
CD
 жəне ДВ.
Шеткі  ДВ  аралығында  берілген  Р  күшінен  ию  моменті 
туындамайтындықтан,  қалған  екі  аралықтағы  моменттердің 
теңдеулерін жазамыз. Алдымен, бірлік күштен, яғни, Х=1 болғандағы 
моменттерді табайық.
-
CD
 аралығында: M
1
 = z
2
,
-АС аралығында: M
1
 = z
3
 = r =rsinφ = r(1+sinφ)
Берілген күштерден туындайтын моменттер:
-
CD
 аралығында: M
p
 = -P(z
2
-r/2) = -P/2(2z
2
-r),
-АС аралығында: M
p
 = -P(z
3
-r/2) = -Pr/2(1+2sinφ),
Алынған өрнектерді Мор интегралына қоямыз.
δ
11
 = 
2
2
2
1
1
2 2
0
0
1
1
1
(1 sin )
r
l
M M dz
z z dz
r
rd
EI
EI
EI
π
φ
φ
=
+
+
∫
∫
∫
.
Интегралды алғаннан кейін
3
11
(28 9 )
4,69
12
r
EI
EI
π
δ
+
=
=
/2
2
1
1
2
2
/2
0
1
1
Pr
(
(2
)
(
2sin ) (1 sin )
2
2
r
p
p
l
r
P
M M dz
z
r z dz
r
r
rd
EI
EI
π
δ
φ
φ
φ
=
= −
−
+
+
+
∫
∫
∫
3
3
11
(
3) Pr
Pr
3,07
2EI
EI
π
δ
+
= −
= −
Бірінші теңдікке қойсақ

182
3
3
1
1
Pr
4,69
3,07
0
0,65
78
.
B
r
X
X
R
P
kH
EI
EI
−
= ⇒
=
=
=
Қалған белгісіздерді статиканың теңдеулерінен табамыз. Олар
Σz = 0;   H
A
 = 0,
Σy = 0;       R
A
 –P + R
B
 = 0,   R
A
 = 42 kH.
ΣM
A
 = 0;    R
B
∙2r -P۰1,5r +M
A
 = 0,   M
A
 = 48kHм.
Тақырыптың соңында, күш тəсілінің алгоритмін (есепті шығару 
жолының тəртібін) келтірейік:
 1.Жүйенің статикалық анықталмау дəрежесі табылады.
 2.Негізгі жүйе таңдалынып алынады.
 3.Эквивалент жүйе көрсетіледі. 
 4.Канондық теңдеулер жазылады.
  5.Канондық теңдеулердің коэффициенттері кез келген тəсілмен 
есептеледі.
 6.Канондық  теңдеулер  жүйесі  шешіледі, “артық”  белгісіздер 
табылады.
 7. Эквивалент жүйе берілген сыртқы күштермен жəне табыл ған  
бұрынғы  белгісіз  күштермен  жүктеліп,  статикалық  анықталатын 
жүйе ретінде шешіледі.

жүктеу/скачать 4,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: