§1. Қабыршықтардың негiзгi ерекшелiктерi

200
160-сурет
Ортадағы бетi айланыс бетi болып табылатын қабыршықтар оське 
симметриялы  немесе  жай  ғана    симметриялы  қабыршықтар  деп 
аталады.  Мұндай  қабыршықтардың  қалыңдығындағы  кернеулердi 
тұрақты,  яғни  қабыршықтар  иiлмейдi  деген  жорамал  қабылдасақ, 
онда  олардың  шешiмiн  оңай  табуға  болады.  Осындай  жорамалға 
сүйене  отырып    құрылған  жекленген  теория  қабыршықтардың 
моментсiз теориясы деп аталады.
Сонымен  қатар,  материалдардың  физикалық  қасиеттері  туралы 
гипотезалардың  да  объектінің  есептеу  нұсқасына  (соның  iшiнде 
қабыршықтар үшiн де) тікелей қатысы бар. Ол гипотезалар:
1.Материалдардың барлығы да түбегейлі серпімді, демек, денеге 
əрекет ететін күш алынып тасталғанда, ол дене бастапқы қалпына 
қайтып  келеді.  Бұл  гипотезадан  күштер  əрекетінің  тəуелсіздігі  
принципі туындайды.
2.Конструкцияларда 
қолданылатын 
барлық 
материалдар 
изотропты, демек, дененің əр нүктесіндегі қасиеттері барлық бағытта 
бірдей. Бұл гипотезаның арқасында, зерттелетін элементар көлемді, 
дененің  қай  жерінен,  қай  бағдарда  бөлiп  алғанымызды  айғақтап 
жатпаймыз.
3.Материалдардың  құрамы  біртекті,  яғни  дененің  қай  жерінде 
болмасын,  оның  қасиеттері  бірдей.  Бұл  гипотеза,  элементар 
көлемді  зерттеу  арқылы  анықталған  барлық  физикалық  қасиеттер 
мен  алынған  математикалық  формулалар  осы  денеге  тəн  деп 
тұжырымдауға мүмкіндік береді.
4.Дененің  құрылысы  біртұтас,  өйткені  дене  затпен  толық 
толтырылған, ешқандай бос қалған жер  мен қуыстар жоқ.

201 
Инженерлік  есептерді  зерттеуге  математиканың  көп  салаларын 
қолдану мүмкіндігін осы гипотеза береді.
Қабыршықтар  теориясының  жалпы  мəселелерi “Материалдар 
кедергiсi” пəнiнiң аясынан өте алшақ жатқандықтан, бұл тақырыпта 
тек  қабыршықтардың  моментсiз  теориясының  қарапайым 
мəселелерiн (есептерiн) ғана қарастырамыз.
§2.  Симметриялы  қабыршықтардың  кернеулерiн  моментсiз 
теория арқылы анықтау 
Қалыңдығы 
h
  cимметриялы  қабыршықты  қарастырайық (161- 
сурет). 
Оның ортадағы бетiнiң меридиан доғасының қисықтық радиусын 
ρ
m
, ал екiншi бас радиусын (меридиан доғасына перпендикуляр  тiк 
қиманың  қисықтық  радиусын)  ρ
t
 – арқылы  белгiлейiк.  Бұл  радиус 
-  ортадағы  бетпен  симметрия  осiнiң  арасындағы  нормальдың 
кесiндiсiне тең (161,а-сурет).
Жалпы  алғанда,  ρ
m  
жəне  ρ
t
  нормаль  мен  осьтiң  арасындағы 
θ - бұрышының  функциясы  болып  табылады.  Меридиандық 
жəне  нормальдық  конусты  қималардың  көмегiмен (161,ə-сурет) 
қабыршықтан өлшемдерi ds
1
 ds
2
 элемент бөлiп аламыз (162-сурет). 
   
   
161-сурет
Элементтiң қырларында σ
m
 жəне σ
t
 кернеулерi пайда болады деп 
есептеймiз.  σ
m
 – меридиандық  кернеу,  мұның  векторы  меридиан 
доғасымен бағытталған, ал σ
t
 – шеңбер кернеуi.

202
162-сурет
Кернеулердi сəйкес аудандарға көбейтiп, 162-суретте көрсетiлген 
элементтiң қырларындағы күштердi табамыз. Олар – σ
m 
h ds
2
 жəне 
σ
t
 h ds
1
. Бұл күштерден басқа, элементке тiк бағыттағы қысым күшi 
(
1
2
P ds ds
⋅
⋅
)  де  əсер  етедi.  Осы  күштердiң  барлығын  нормальға 
проекциялап, төмендегi теңдеудi аламыз
1
2
2
1
0
m
t
P ds ds
h ds d
h ds d
σ
θ σ
φ
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
.
Бұл жерде 
1
m
ds
d
θ
ρ
=
,  
2
t
ds
d
φ
ρ
=
  болғандықтан 
m
t
m
t
P
h
σ
σ
ρ
ρ
+
=
                                       (12.1)
Бұл теңдеу «Лаплас теңдеуi» деген атпен белгiлi.
Қарастырылып  отырған  есеп  үшiн  тағы  бiр  теңдеу  құруға 
болады. Ол үшiн, қабыршықты конусты тiк қима арқылы екiге бөлiп, 
оның  бiр  бөлiгiнiң  теңдiгiн  қарастырамыз (163-сурет).  Қималар 
тəсiлi  бойынша  барлық  күштердi  қабыршық  осiнiң  бағытына 
проекциялаймыз.
Сыртқы күштердiң осьтiк тең əсер күшiн   əрпiмен 
 белгiле-
геннен кейiн

203 
               (12.2)
Бұл теңдiктен  σ
m
  кернеуiн табамыз, ол
                
                                (12.3)
163-сурет 
Бiрiншi теңдiктен (2.1) σ
t
 кернеуiн табамыз. Сонымен, моментсiз 
теория  бойынша  қабыршықтың  екi  бас  кернеуi  де  статиканың 
теңдеулерiнен  табылады.  Ал,  үшiншi  бас  кернеу – қабыршықтың 
қатпарларының  бiр-бiрiне  өзара  қысымдары.  Бұл  кернеу  өте  аз 
болғандықтан оны ескермейміз, сондықтан қабыршықтың кернелген 
күйiн жазық кернелген күй деп есептеуге болады.
Қабыршықтың моментсiз теория бойынша есептеу мысалдарын 
қарастырмай тұрып, төменгi екi теоремаларды дəлелдеп алу керек.
1-шi  теорема.  Егер  кез  келген  бетке  тең  таралған  қысым  əсер 
етiп  тұрса,  онда,  сол  беттiң  түрiне  (формасына)  тəуелсiз  түрде, 
қысым  күштерiнiң  тең  əсер  күшiнiң  берiлген  оське  проекциясы, 
қысым  мен  (Р)  беттiң  берiлген  оське  перпендикуляр  жазықтыққа 
проекциясының ауданының көбейтiндiсiне тең болады.
Тең  таралған  қысым  (Р)  əсер  етiп  тұрған  А    бетi (164-сурет) 
берiлсiн.  Қысымның  тең  əсер  күшiнiң  х  осiне  проекциясын 
анықтау  керек.  Бұл  проекция  Р
х
  төмендегiдей  болатыны  еш  күмəн 
тудырмайды.
                      P
x
 = ∫
А 
 Рcosφ dА.                              (а)

204
Бұл жердегi φ – беттiң нормалiмен х осiнiң арасындағы бұрыш.
Қарастырылып  отырған  беттен  ауданы  dА-ға  тең  элемент  бөлiп 
аламыз,  ал  оның  х  осiне  перпендикуляр  жазықтығындағы  (Х 
жазықтығы) проекциясының ауданы dА
/
=dАcosφ, демек
                             
Р
х
 = Р∫
А
dА
/
 = РА
/
 .                                          (ə) 
 
64-сурет
Қорыта айтқанда, қысымның тең əсер күшiнiң х осiне проекциясын 
табу үшiн, беттi алдын ала Х жазықтығына проекциялап, содан кейiн 
қысымды сол проекцияның ауданына көбейту керек. Сонымен, бұл 
теорема дəлелдендi.
2-шi теорема. Егер кез келген бетке сұйықтың қысымы əсер етiп 
тұрса (165-сурет),  онда  қысым  күшiнiң  тiк  бағыттағы  құраушысы 
сол беттен жоғары орналасқан сұйықтың салмағына тең болады 
165-сурет

205 
Бiрiншi  теорема  бойынша  dА  ауданы  үшiн  қысым  күшiнiң  тiк 
бағыттағы  құраушысын  табу  үшiн,  осы  ауданға  əсер  етiп  тұрған 
қысымды  сол  ауданның  горизонталь  жазықтықтағы  проекциясына 
көбейту керек, яғни РdА
/
. 
Сұйық үшiн  Р=γ x  болғандықтан, dА ауданына əсер етiп тұрған 
тiк бағыттағы күш  γ x dА
/ 
 шамасына тең.
Бұл  жердегi  γ – сұйықтың  меншiктi  салмағы,  ал    x  dА
/ 
    -    dА 
ауданының  үстiне  орналасқан  элементар  призманың  көлемi  болып 
табылады.  Яғни, iзделiп  отырған  күштердiң  жиыны,  А  бетiнен 
жоғары  орналасқан  көлемдегi  сұйықтың  салмағына  тең  болады. 
Табылған  күш,  сұйық  құйылған  ыдыстың  формасына  тəуелдi 
болмайтыны айқын нəрсе.
§3. Жұқа қабырғалы қабыршықтардағы кернеулердi анық-
таудың мысалдары
1-мысал.  Радиусы R, қалыңдығы h сфералық  қабыршықтың 
iшiнен р қысымы əсер етiп тұрсын (166,а-сурет). Қабыршықта пайда 
болатын кернеулердi табу керек. Сфералық қабыршық үшiн  ρ
m 
= ρ
t
 = 
R екенi белгiлi жəне мұндай қабыршық симметриялы болатындықтан 
σ
m
=σ
t
. Лапластың формуласын (2.1) пайдалансақ σ
m 
= 
 
σ
t  
= 
 
2
pR
h
.
    
166-сурет
Осыған байланысты, қабыршықтың элементтерi жазық кернелген 
күйде (екi осьтi) болады (166,б-сурет). Бас кернеулер  σ
1 
= 
 
σ
2
 = 
 
2
pR
h

206
, ал ең кiшi (үшiншi) бас кернудi
 
σ
3 
= 0 деп қабылдаймыз. Берiктiкке 
есептегенде Мор теориясын қолдансақ (к–ның шамасына тəуелсiз) 
 
σ
экв 
= 
 
σ
1 
– 
 
кσ
3  
= 
 
2
pR
h
.
2-ші  мысал. Цилиндр тектес ыдыстың (қабыршықтың) радиусы R, 
қалыңдығы h, оның iшiнен р қысымы əсер етiп тұрсын (167,а-сурет). 
Қабыршықта пайда болатын кернеулердi анықтау керек.
 
167-сурет
      
Көлденең  қималардың  көмегiмен  цилиндрден  элемент  бөлiп 
алып (167,б-сурет), осы бөлiктiң статикалық теңдiгiн қарастырамыз. 
Бұл теңдiктен (2.2)
2
m
R h
 =  . 
Қысым күшiнiң осьтiк құраушысы (түбiнiң формасы қандай болса 
да)  бiрiншi  теоремаға  сəйкес 
=
2
R p
.
    Cондықтан, 
2
m
pR
h
σ
=
. Бiз қарастырып отырған цилиндр үшiн ρ
m
 = ∞,  ρ
t
 = R. Сондықтан 
Лапластың  формуласынан  шеңбер  кернеуiн  табамыз.  Ол  кернеу 
t
pR
h
σ
=
, яғни шеңберлiк кернеу меридиандық кернеуден екi есе көп. 
Цилиндр  тектес  қабыршықтың  АВСD  элементi  жазық  кернелген 
күйде (екi осьтi) болады (167,в-сурет). Бас кернеулер  σ
1 
= σ
t
, σ
2
 = σ
m
 
жəне ең кiшi (үшiншi) бас кернудi
 
σ
3 
= 0 деп қабылдаймыз. Берiктiкке 
есептегенде Мор теориясын қолдансақ  
 
σ
экв 
= 
 
σ
1 
– 
 
кσ
3  
= 
 
pR
h
.
Сонымен,  радиусы  мен  қалыңдығы  бiрдей  сфера  тектес 
қабыршыққа  қарағанда  цилиндр  тектес  қабыршықтың  эквивалент 
кернеуi екi есе көп болады екен.

207 
3-ші  мысал.  Радиусы R, қалыңдығы h, жартылай  сфера  тектес 
ыдыс  (қабыршық)  меншiктi  салмағы  γ  сұйықпен  толтырылған 
(168,а-сурет). Қабыршықта пайда болатын кернеулердi анықтап,  σ
m
,
 
σ
t
 жəне σ
экв
 кернеулерiнiң эпюраларын тұрғызу керек.
Төбесiндегi  бұрышы  2φ-ге  тең  конусты  нормаль  қима  арқылы 
қабыршықты  екiге  бөлiп,  оның  төменгi  бөлiгiнiң (168,б-сурет) 
статикалық теңдiгiн қарастырып, келесi формуланы аламыз:
=
2
R p
. 
  Формуладағы 
  –  сұйық  қысымының  тең 
əсер (құраушы) күшi.  
168-сурет
Екiншi  теоремаға  сəйкес,  бұл  күш – қабыршықтың  төменгi 
бөлiгінiң үстiндегi АСЕD цилиндрiнiң көлемiндегi сұйықтың салмағы 
жəне төменгi бөлiктегi АВС көлемiндегi сұйықтың салмақтарының 
қосындысына  тең  болады.  Көмекшi  бұрыш  ψ  кiргiзiп,  АВСЕD 
көлемiн табамыз (168,б-сурет)
3
2
0
2
sin cos
V
R
d
φ
π
ψ
ψ ψ
=
∫
  
     
немесе
V = 2/3 π R
3
 (1-cos
3
φ).
Ендi 
мен σ
m 
 табамыз. Олар
Лапластың теңдеуiне  ρ
m
 = ρ
t
 = R,  р = γ R cos φ  жəне жоғарыда 
табылған σ
m 
мəнiн (ə) қойғаннан кейiн

208
                      
3
3
2
1 cos
3cos
3
sin
R
h
γ
ϕ
ϕ
ϕ
⎡
⎤
⋅
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
                                 (б)
Егер σ
m
 мен σ
t
-ның таңбалары бiрдей болса, онда σ
1
 = σ
m
,
 
 σ
2
 =σ 
t
, 
σ
3
 = 0, 
                              σ
экв 
= 
 
σ
1 
– 
 
кσ
3  
= σ
m
.
                                                           
        
(в)
Егер  σ
m
  мен σ
t
-ның таңбалары əртүрлi болса, онда
                             
 σ
1
 = σ
m
,
 
   σ
2
 = 0,    σ
3
 = σ
t
,
                               σ
экв 
= 
 
σ
m 
– 
 
кσ
t
.
  
        
                                                           
     
(г)
Алынған  формулаларды  (а - г)  пайдаланып,  σ
m
,  σ
t 
жəне
 
σ
экв
 
кернеулерiнiң эпюраларын тұрғызымыз (169-сурет). 
169-сурет
Аталған  суреттерден  көрiнiп  тұрғандай,  сфераның  төменгi 
нүктесiнде  σ
m
  мен  σ
t
-ның  мəндерi  бiр-бiрiне  тең,  ал  жоғарғы 
нүктесiнде σ
t
-ның таңбасы терiс. 
170-сурет     

209 
Эквивалент кернеудiң эпюрасы σ
t
 – ның таңбасы өзгеретiн нүктеде 
бұрылыс жасайды.Егер к ≥ 0,5 болса, онда қабыршық (ыдыс) үшiн 
есептеу кернеуi
maxσ
экв
  
(
)
2
1
3
R
k
h
γ
=
−
,
бұл жердегi 
c
c
c
a
k
σ
σ
=
 . Iшкi қысым кезiнде сығу кернеуiнiң (σ
t
) 
пайда болуы тек сфералық қабыршықтарға ғана тəн емес.
Мысалы,  цилиндр  тектес  бак  сұйықпен  толтырылған  кезде 
(170-сурет),  цилиндр  бөлiгiнiң  оның  түбiмен  түйiскен  жерiнде, 
белгiлi жағдайларда, сығу кернеулерi пайда болады.
Бұл  кезде,  қабыршық  өзiнiң  орнықтылығын  жоғалтпау  үшiн  ол 
жерлердiң берiктiгiн нығайту керек.  
§4. Қалың қабырғалы құбырлар 
Жоғарыда симметриялы қабыршықтардың кернеулерiн моментсiз 
теория  арқылы  анықтаудың  жолдарын  қарастырдық.  Алынған 
формулалар жұқа қабырғалы конструкциялар үшін қолданылатынын 
айтқанбыз, ал техникада, жеткілікті түрде үлкен қысымдарға төтеп 
беретін  конструкциялар  да  керек  екені  шүбə  келтірмейді.  Мұндай 
конструкциялар – сыртқы  диаметрі  ішкі  диаметріне  қарағанда 
бірнеше  есе  үлкен  болып  келетін  цилиндрлер.  Осындай  қалың 
қабырғалы  конструкциялар – қалың  қабырғалы  құбырлар  деп 
аталады.  Аталған  цилиндрдегі  кернеулерді  анықтау,  симметриялы 
қабыршықтардың  кернеулерiн  анықтаудан  қиынырақ  болады, 
өйткені  бұл  кезде  тек  тепе-теңдік  теңдеулерімен  ғана  шектеліп 
қоймай, орын ауыстыруларды да қарастыруға тура келеді. Бұл есеп 
Ламе  есебі  деп  аталады  (Француз  ғалымы,  көп  жылдар  Петербург 
ғылым академиясында қызмет жасаған). 
4.1.  Қалың  қабырғалы  құбырлар  үшін  негізгі  теңдеулер.  Түрі 
цилиндр  тектес,  əзірше  ұзындығы  шектелмеген  біртұтас  денені 
алып қарастырайық (171-сурет).
Бұл дене кез келген тəсілмен жүктелсін жəне сыртқы күш оське 
симметриялы  болып,  ал  цилиндрдің  осі  бойында  өзгермейтін 
(тұрақты) болсын.    
з
ғ
14–661

210
                 
             171-сурет                                                 172-сурет 
Аталған  цилиндр  деформацияланған  кезде,  оның  əр  нүктесі 
белгілі  бір  шамаға  орын  ауыстырады.  Конструкция  симметриялы 
болғандықтан, бұл орын ауыстырулар радиал жазықтықта жатады. 
Нүктелер радиустың жəне сəйкес құраушының бағытында жылжиды. 
Кез  келген  нүктенің  радиал  бағыттағы  орын  ауыстыруын  u  əрпі 
арқылы  белгілейміз,  ал  ол  (u)  кезектегі  радиустың  (r)  функциясы 
болып табылады жəне цилиндрдің ұзындығы бойымен өзгермейді. 
Орын  ауыстыру  оң  бағытта  болу  үшін,  оны  цилиндрдің  центрінен 
сыртқа қарай бағыттаймыз (171-сурет). Бойлық орын ауыстырулар 
(цилиндр  осінің  бағытындағы)  цилиндрдің  жалпы  ұзаруына 
немесе  қысқаруына  тəуелді  деп  есептейміз.  Радиал  жəне  шеңбер 
бағыттарындағы  салыстырмалы  деформацияларды 
r
ε
  жəне 
t
ε
 
əріптерімен белгілеп, оларды u арқылы өрнектейміз. Ол үшін радиал 
бағыттағы  элементар  кесіндіні  (AB = dr)  цилиндр  жүктелгенге 
дейін жəне жүктелгеннен кейін қарастырамыз (172-сурет). Суретте 
көрсетілгендей, А нүктесі u шамасына, ал В нүктесі u+du шамасына 
орын  ауыстырады.  Бұл  кезде,  қарастырылып  отырған  элементтің 
ұзындығы dr+du болады да, ал оның салыстырмалы ұзаруы келесі 
формуламен анықталатынына күмəн жоқ 
k
du
dr
ε
=
                                               (12.4)

211 
Бұдан  кейін 173-суретте  көрсетілгендей,  цилиндрдің  ішіндегі 
кез келген шеңбердің ұзындығын, қарастырылып отырған цилиндр 
жүктелгенге  дейін  жəне  жүктелгеннен  кейін  қарастырамыз. 
Қарастырылып  отырған  кез  келген  шеңбердің  жүктелгенге  дейінгі 
ұзындығы 
2
r
π
⋅
,  жүктелгеннен  кейінгі  ұзындығы 
2
(
)
r u
π ⋅ +
 
болғандықтан, оның салыстырмалы ұзаруы
2
(
) 2
2
t
r u
r
r
π
π
ε
π
⋅ + −
⋅
=
⋅
  немесе 
t
u
r
ε =
.             (12.5)
Соңғы теңдеулердегі u мəнінен құтылсақ
(
)
0
t
r
d
r
dr
ε
ε
⋅ −
=
                                  (12.6)
Енді тепе-теңдік теңдеулерін қарастырайық.
 
173-сурет
Ол  үшін  цилиндрден  қисық  сызықты  призма  түріндегі  элемент 
бөліп  алайық.  Бөлініп  алынған  элементтің  өлшемдері  dz, dr    жəне 
r d
ϕ
⋅
болсын (174-сурет).
  
174-сурет

212
Осьтік  симметрияға  байланысты,  цилиндрдің  осьтік  қимасында 
(элементтің  АВСD  жазықтығы)  тек  шеңберлік  тік  кернеулер - 
t
σ
 
пайда  болады  да,  ал  жанама  кернеулер  болмайды.  Сол  секілді,  u 
орын ауыстыруының z координатынан тəуелсіздігі шарты ескеріліп, 
цилиндрдің  көлденең  қимасында  да  (СDEF  элементінің  бетінде) 
жанама  кернеулер  болмайды  деп  есептеледі.  Цилиндр  өзінің  осі 
арқылы жүктелгендіктен, оның көлденең қималарында тік (нормаль) 
кернеулер  пайда  бола  алады.  Бұл  тік  кернеулер  цилиндрдің  осі 
бойымен  де,  радиусы  бойымен  де  өзгермейді  (тұрақты)  деп 
жобаланады.     
ABCD жəне CDEF жазықтықтары бас жазықтықтар болғандықтан, 
ADEG  жазықтығы  да  бас  жазықтық  болады.  Бұл  жазықтықтағы 
кернеулер  радиалды  кернеулер  деп  аталып, 
r
σ
  символымен 
белгіленеді. Алғашқы радиустан (r) келесі r+dr радиусына көшкенде 
r
σ
  кернеуі  d
r
σ
  элементар  шамаcына  өзгереді.  Қарастырылып 
отырған  есептің  қойылу  шарты  бойынша,  кернеулер  мен  орын 
ауыстырулар тек бір ғана тəуелсіз өзгермелі шама – радиустың (r) 
функциясы болып табылады. Статиканың теңдеулерін құрайық.
1.Элементке  əсер  етуші  күштердің  барлығын,  радиустың 
бағытына проекцияласақ
(
)(
)
0
r
r
r
t
d
r dr d
dz
r d
dz
dr dz d
σ
σ
ϕ
σ
ϕ
σ
ϕ
+
+
⋅
⋅ −
⋅ ⋅
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
= .
Бұл теңдеуден
0
r
r
t
d
dr
σ
σ
σ
+
−
=
  немесе  
(
)
0
r
t
d
r
dr
σ
σ
⋅ −
=
.         (12.7)
2.Статиканың  қалған  теңдеулері  тепе-теңдік  шартын 
0 0
≡
 
түрінде қанағаттандырады.
Жалпыланған Гук заңы бойынша
[
]
1
(
)
r
r
t
z
E
ε
σ ν σ σ
=
−
+
, 
[
]
1
(
)
t
t
r
z
E
ε
σ ν σ
σ
=
−
+
.        (12.8)
Есептің 
шарты 
бойынша 
цилиндір 
өстік 
күштермен 
жүктелгендіктен 
z
σ
 – кернеуін белгілі деп есептейміз. Соңғы (12.8) 

213 
формулалармен (12.6) формуланы өзара шешіп, төмендегі қосымша 
формуланы аламыз.
(
)
0
t
r
d
r
dr
σ
σ
⋅ −
=
                                      (12.9)
(12.7)  жəне (12.9) формулаларды  бір-біріне  қосып,  одан  кейін 
оларды бір-бірінен алу арқылы екі формула аламыз. Олар
[
]
(
)
(
) 0
t
r
t
r
d
r
dr
σ σ
σ σ
+
⋅ −
+
=
,  
[
]
(
)
(
) 0
t
r
t
r
d
r
dr
σ σ
σ σ
−
⋅ +
−
=
.
Соңғы теңдеулерді өзара шешкеннен кейін
2
t
r
A
σ σ
+
=
,  
2
2
t
r
B
r
σ σ
−
=
,
Бұл жердегі А жəне В кез келген тұрақты шама. Оларды анықтасақ
,
2
r t
B
A
r
σ = m
                                      (12.10)
(Бірінші  индекске  жоғарғы  таңба,  ал  екінші  индекске  төменгі 
таңба сəйкес келеді).
(12.8) теңдеуден 
t
ε
-ні тауып алып, оның мəнін (12.5) формулаға 
қою арқылы орын ауыстыруды (u) табамыз
1
1
(1
)
(1
)
z
u
A
r B
r
E
r
ν
ν
ν σ
⎡
⎤
=
− ⋅ +
+ ⋅ − ⋅
⋅
⎢
⎥
⎣
⎦
.          (12.11)
4.2.  Қалың  қабырғалы  құбырлардағы  орын  ауыстырулар  мен 
кернеулерді анықтау.
Ішкі  радиусы  а,  ал  сыртқы  радиусы  в  цилиндрді  алып 
қарастырайық.  Жалпы  қойылымда,  бұл  цилиндр  ішкі  жағынан 
a
p
  қысымымен,  ал  сыртынан 
b
p
  қысымымен  жүктелсін.  Керек 
болған  жағдайда,  сəйкес  қысымдарды  нөлге  теңеу  арқылы  (
0
a
p
=
 
немесе 
0
b
p
= ), тек бір жағынан жүктелген күйді талдауға болады. 

214
Есте  болатын  жағдай,  цилиндрдің  түбі  болғандықтан,  оның 
қабырғаларында осьтік созу күші жəне осьтік кернеу пайда болады. 
Олар
          
2
2
co
a
b
N
p
a
p
b
,  
      демек осьтік кернеу 
2
2
2
2
a
b
p a
p b
b
a
.
                                (12.12)
Сонымен қатар келесі жорамалдар қабылданады:
-цилиндрдің  ұзындығы  жеткілікті  түрде  үлкен  болғандықтан, 
осьтік кернеу көлденең қимада бірқалыпты таралған;
-цилиндрдің  түбінің  əсері  радиал  бағыттағы  орын  ауыстыруға 
жоқтың қасында;
-кейбір цилиндрлер үшін 
t
σ
=0 деп қарастыруға болады.
Қойылған  шарттарды  ескере  отырып, (12.10) формуладағы 
тұрақтыларды (А, В) келесі шекаралық шарттардан анықтаймыз
1) егер 
r a
=
 болса, онда 
r
a
p
σ = −
;
2) егер 
r b
=
 болса, онда 
r
b
p
σ = −
;
Сонымен: 
2
a
B
A
p
a
−
= −
,  
2
B
A
b
−
 
⇒
 
2
2
2
2
a
b
p a
p b
A
b
a
⋅
−
⋅
=
−
, 
2 2
2
2
(
)
a
b
a b
B
p
p
b
a
=
−
−
.
Алынған  мəндерді  пайдаланып (12.10) жəне (12.11) форму-
лалардың жаңа өрнектерін аламыз. Олар:
2
2
2
2
,
2
2
2
2
2
a
b
a
b
r t
p a
p b
p
p
a b
b
a
r
p
a
σ
⋅
−
⋅
−
⋅
=
⋅
−
−
m
,             (12.13)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
a
b
a
b
z
p a
p b
p
p
a b
u
r
r
E
b
a
E
r
b
a
E
ν
ν
ν σ
⋅
−
⋅
−
−
+
⋅
=
⋅
⋅ +
⋅
⋅
− ⋅
⋅
−
−
  
     (12.14)

215 
Бұл  формуладағы  осьтік 
z
σ
  кернеуі  тек  радиал  бағыттағы 
орын  ауыстыруға  (u)  əсерін  тигізеді.  Егер  цилиндр  қысым 
күшімен  өзінің  осі  боймен  жүктелсе,  онда (12.12) жəне (12.14) 
формулаларға сəйкес:
2
2
2
2
2
2
2
2
1 2
1
a
b
a
b
p a
p b
p
p
a b
u
r
E
b
a
E
r
b
a
ν
ν
⋅
−
⋅
−
−
+
⋅
=
⋅
⋅ +
⋅
⋅
−
−
                      
(12.15)
Ал, егер остік күш болмаса, онда:
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
a
b
a
b
p a
p b
p
p
a b
u
r
E
b
a
E
r
b
a
ν
ν
⋅
−
⋅
−
−
+
⋅
=
⋅
⋅ +
⋅
⋅
−
−
.      (12.16)

216
13-тарау. ОРНЫҚТЫЛЫҚ
Созылу  мен  сығылуды  біріктіріп,  бір  тарауда  қарастырған  едік 
Оның  негізгі  себебі,  созылу  жəне  сығылудағы  ішкі  күштерді  табу 
тəсілі,  кернеулерін  зерттеу  жолдары  бірдей  екендігі.  Сонымен 
қатар, бұл екі жүктеменің елеулі ерекшеліктерінің жоқ емес екенін 
де айтқанбыз. Мысалы, қимасының сипаттамаларына байланысты, 
кейбір ұзын сырықтар сығылғанда, олардың иіліп барып қирайтын 
ерекшелігін  атап  өткенбіз.  Қорыта  айтқанда,  сығылып  жұмыс    
істейтін элементтер қосымша зерттеуді талап етеді.

жүктеу/скачать 4,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: