Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

126
Гл. 5. Интегралы
от 1 до
n
, приходим к приближенному равенству для интеграла
(
5.31
):
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
n
X
i
=
1
x
i
Z
x
i
?
1
f
(
x
)
dx
?
h
n
X
i
=
1
f
(
?
i
) =
b
?
a
n
n
X
i
=
1
f
(
?
i
)
.
(5.33)
Обозначим разность между левой и правой частями этого равен-
ства через
R
n
. Тогда
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
b
?
a
n
n
X
i
=
1
f
(
?
i
) +
R
n
.
(5.34)
Равенство (
5.34
) называется формулой прямоугольников, а ве-
личина
R
n
остаточным членом в этой формуле.
Если функция
f
(
x
)
интегрируема на сегменте
[
a
,
b
]
, то
lim
n
??
b
?
a
n
n
X
i
=
1
f
(
?
i
) =
b
Z
a
f
(
x
)
dx
(предел интегральных сумм равен интегралу), поэтому
R
n
?
0
при
n
? ?
. Таким образом, приближенные формулы (
5.33
)
тем точнее, чем больше
n
. При конкретных вычислениях берут
какое-то определенное
n
и вычисляют приближенное значение
интеграла по формуле (
5.33
). Чтобы оценить погрешность этой
формулы, нужно знать, как остаточный член
R
n
зависит от
n
.
Теорема 13. Если функция
f
(
x
)
имеет на сегменте
[
a
,
b
]
непрерывную производную второго порядка, то найдется точка
?
?
[
a
,
b
]
, такая, что
R
n
=
(
b
?
a
)
3
24
n
2
·
f
00
(
?
) =
b
?
a
24
f
00
(
?
)
h
2
.
(5.35)
Доказательство. Пусть
F
(
x
)
первообразная функции
f
(
x
)
на
сегменте
[
a
,
b
]
, то есть
F
0
(
x
) =
f
(
x
) =
?
F
00
(
x
) =
f
0
(
x
)
,
F
000
(
x
) =
f
00
(
x
)
,
x
?
[
a
,
b
]
.
(5.36)

15. Методы приближенного вычисления определенных интегралов
127
Применяя формулу Ньютона-Лейбница и учитывая, что
x
i
=
?
i
+
+
h
2
,
x
i
?
1
=
?
i
?
h
2
, получаем:
x
i
Z
x
i
?
1
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
|
x
i
x
i
?
1
=
F
(
x
i
)
?
F
(
x
i
?
1
) =
=
F
?
i
+
h
2
?
F
?
i
?
h
2
,
i
=
1, 2,
...
,
n.
(5.37)
Разложим
F
?
i
+
h
2
и
F
?
i
?
h
2
по формуле Тейлора с цен-
тром разложения в точке
?
i
и остаточным членом в форме
Лагранжа:
F
?
i
+
h
2
=
F
(
?
i
) +
F
0
(
?
i
)
·
h
2
+
1
2
F
00
(
?
i
)
·
h
2
2
+
1
6
F
000
(
?
i
)
·
h
2
3
,
F
?
i
?
h
2
=
F
(
?
i
) +
F
0
(
?
i
)
·
?
h
2
+
1
2
F
00
(
?
i
)
·
?
h
2
2
+
+
1
6
F
000
(
?
?
?
i
)
·
?
h
2
3
,
где
?
i
?
[
x
i
?
1
,
x
i
]
и
?
?
i
?
[
x
i
?
1
,
x
i
]
. Подставляя эти выражения в
правую часть (
5.37
), и учитывая (
5.36
), приходим к равенству
x
i
Z
x
i
?
1
f
(
x
)
dx
=
F
0
(
?
i
)
h
+
1
48
(
F
000
(
?
i
) +
F
000
(
?
?
i
))
h
3
=
=
f
(
?
i
)
h
+
1
48
(
f
00
(
?
i
) +
f
00
(
?
?
i
))
h
3
=
=
b
?
a
n
f
(
?
i
) +
(
b
?
a
)
3
24
n
2
·
f
00
(
?
i
) +
f
00
(
?
?
i
)
2
n
,
i
=
1, 2,
...
,
n.
Просуммируем полученные равенства по
i
от 1 до
n
:
n
X
i
=
1
x
i
Z
x
i
?
1
f
(
x
)
dx
=
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
b
?
a
n
n
X
i
=
1
f
(
?
i
)+
+
(
b
?
a
)
3
24
n
2
·
n
X
i
=
1
(
f
00
(
?
i
) +
f
00
(
?
?
i
))
2
n
.

128
Гл. 5. Интегралы
Сравнивая это равенство с равенством (
5.34
), получаем выраже-
ние для остаточного члена
R
n
:
R
n
=
(
b
?
a
)
3
24
n
2
·
n
X
i
=
1
(
f
00
(
?
i
) +
f
00
(
?
?
i
))
2
n
.
Для доказательства справедливости равенства (
5.35
) остается
доказать, что найдется точка
?
?
[
a
,
b
]
, такая, что
n
X
i
=
1
(
f
00
(
?
i
) +
f
00
(
?
?
i
))
2
n
=
f
00
(
?
)
(5.38)
Заметим, что левая часть в равенстве (
5.38
) является средним
арифметическим 2
n
значений непрерывной на сегменте
[
a
,
b
]
функции
f
00
(
x
)
. Поэтому справедливость равенства (
5.35
) выте-
кает из следующего утверждения.
Лемма. Если
g
(
x
)
непрерывная функция на сегменте
[
a
,
b
]
, и
x
1
,
x
2
, ...,
x
n
произвольные точки этого сегмента, то найдется
точка
?
?
[
a
,
b
]
, такая, что среднее арифметическое значений
g
(
x
1
)
,
g
(
x
2
)
,
...
,
g
(
x
n
)
равно
g
(
?
)
, то есть
n
X
i
=
1
g
(
x
i
)
n
=
g
(
?
)
.
Докажем эту лемму. Пусть
m
= min
[
a
,
b
]
g
(
x
)
,
M
= max
[
a
,
b
]
g
(
x
)
. Тогда
?
x
i
?
[
a
,
b
] :
m
6
g
(
x
i
)
6
M
. Суммируя эти неравенства по
i
от
1 до
n
и деля на
n
, получаем:
m
6
n
X
i
=
1
g
(
x
i
)
n
6
M.
Мы видим, что дробь в средней части неравенств заключена
между минимальным и максимальным значениями непрерывной
функции
f
(
x
)
на сегменте
[
a
,
b
]
. Согласно теореме о прохождении
непрерывной функции через любое промежуточное значение
найдется точка
?
?
[
a
,
b
]
, такая, что
g
(
?
) =
n
X
i
=
1
g
(
x
i
)
n
, и тем самым

15. Методы приближенного вычисления определенных интегралов
129
лемма доказана. Применяя лемму к непрерывной функции
g
00
(
x
)
(с заменой
n
на 2
n
), приходим к равенству (
5.38
).
Замечание. Равенство (
5.35
) показывает, что при вычислении
интеграла по приближенной формуле (
5.33
) ошибка является
величиной порядка
h
2
(
R
n
=
O
(
h
2
))
.
y
x
0
a x
=
O
1
x
n
x
b
=
1
(
)
i
f x
-
1
i
x
-
i
x
2
x
( )
y f x
=
( )
i
f x
Рис. 5.21.
2. Метод трапеций. Сно-
ва рассматриваем интеграл
(
5.31
). Разобьем сегмент
[
a
,
b
]
на
n
равных частичных сег-
ментов (см. рис.
5.21
) точка-
ми
a
=
x
0
< x
1
< ... < x
n
=
b.
Как и в п.1, положим
?
x
i
=
x
i
?
x
i
?
1
=
b
?
a
n
=
h.
На каждом частичном сегменте
[
x
i
?
1
,
x
i
]
заменим функцию
f
(
x
)
линейной функцией
A
i
·
x
+
B
i
, график которой проходит через
точки
(
x
i
?
1
,
f
(
x
i
?
1
))
и
(
x
i
,
f
(
x
i
))
(см. рис.
5.21
). Тогда
x
i
Z
x
i
?
1
f
(
x
)
dx
?
x
i
Z
x
i
?
1
(
A
i
·
x
+
B
i
)
dx
=
f
(
x
i
?
1
) +
f
(
x
i
)
2
h
,
i
=
1, 2,
...
,
n.
(5.39)
С геометрической точки зрения это равенство означает, что ес-
ли
f
(
x
)
>
0, то площадь криволинейной трапеции заменяется
площадью обычной трапеции с основаниями, равными
f
(
x
i
?
1
)
и
f
(
x
i
)
, и высотой
h
.
Просуммировав приближенные равенства (
5.39
) по
i
от 1 до
n
, получим
b
Z
a
f
(
x
)
dx
?
n
X
i
=
1
f
(
x
i
?
1
) +
f
(
x
i
)
2
h
=
b
?
a
2
n
"
f
(
a
) +
f
(
b
) +
2
n
?
1
X
i
=
1
f
(
x
i
)
#
.
(5.40)
5 В.Ф. Бутузов

130
Гл. 5. Интегралы
Точное значение интеграла
b
R
a
f
(
x
)
dx
отличается от правой части
в равенстве (
5.40
) на некоторую величину
R
n
, то есть имеет
место равенство
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
b
?
a
2
n
"
f
(
a
) +
f
(
b
) +
2
n
?
1
X
i
=
1
f
(
x
i
)
#
+
R
n
.
Это равенство называется формулой трапеций.
Теорема 14. Если функция
f
(
x
)
имеет на сегменте
[
a
,
b
]
непрерывную производную второго порядка, то найдется точка
?
?
[
a
,
b
]
, такая, что
R
n
=
(
b
?
a
)
3
12
n
2
f
00
(
?
) =
?
b
?
a
12
f
00
(
?
)
h
2
.
Таким образом, как и в формуле прямоугольников, остаточный
член в формуле трапеций является величиной порядка
h
2
.
Доказательство теоремы 14 проводится аналогично доказа-
тельству теоремы 13.
3. Метод парабол. Снова рассмотрим интеграл (
5.31
). Разо-
бьем сегмент
[
a
,
b
]
на четное число 2
n
равных частичных сег-
ментов точками (см. рис.
5.22
)
a
=
x
0
< x
1
< x
2
< ... < x
2
n
=
b
.
Введем обозначения:
?
x
i
=
x
2
i
?
x
2
i
?
2
=
b
?
a
n
=
h.
y
x
0
a x
=
O
1
x
2
n
x
b
=
2 1
i
x
-
2 2
i
x
-
2
i
x
2
x
Рис. 5.22.
Рассмотрим сначала
сегмент
[
x
0
,
x
2
]
. Заме-
ним на этом сегменте
функцию
f
(
x
)
квад-
ратичной
функцией
Ax
2
+
Bx
+
C
, причем
коэффициенты
A
,
B
и
C
выберем так, чтобы
график этой функции
проходил через точки
(
x
0
,
f
(
x
0
))
,
(
x
1
,
f
(
x
1
))
и
(
x
2
,
f
(
x
2
))
. Дока-
жем, что такой выбор коэффициентов
A
,
B
и
C
возможен, и
притом единственным способом.

15. Методы приближенного вычисления определенных интегралов
131
Нужно доказать,что существуют такие числа
A
,
B
и
C
, для
которых выполнены равенства
?
?
?
Ax
2
0
+
Bx
0
+
C
=
f
(
x
0
)
,
Ax
2
1
+
Bx
1
+
C
=
f
(
x
1
)
,
Ax
2
2
+
Bx
2
+
C
=
f
(
x
2
)
.
(5.41)
Система (
5.41
)  это система трех линейных уравнений относи-
тельно
A
,
B
и
C
. Определитель этой системы
x
2
0
x
0
1
x
2
1
x
1
1
x
2
2
x
2
1
= (
x
0
?
x
1
)(
x
0
?
x
2
)(
x
1
?
x
2
) =
?
h
3
4
,
поскольку
x
0
?
x
1
=
x
1
?
x
2
=
?
h
2
,
x
0
?
x
2
=
?
h.
Так как
определитель отличен отличен от нуля, то система уравнений
(
5.41
) имеет единственное решение. График функции
y
=
Ax
2
+
Bx
+
C
,
x
?
[
x
0
,
x
2
]
(ѕотрезокї параболы) изображен на рисунке пунктирной лини-
ей. Отметим, что в частном случае, когда точки
(
x
0
,
f
(
x
0
))
,
(
x
1
,
f
(
x
1
))
и
(
x
2
,
f
(
x
2
))
лежат на одной прямой, получится
A
=
0,
и вместо ѕотрезкаї параболы будет отрезок прямой.
Найдя
A
,
B
и
C
из системы (
5.41
) и вычислив интеграл от
функции
Ax
2
+
Bx
+
C
по сегменту
[
x
0
,
x
2
]
, получим (проделай-
те вычисления самостоятельно):
x
1
Z
x
0
f
(
x
)
dx
?
x
1
Z
x
0
Ax
2
+
Bx
+
C
dx
=
b
?
a
6
n
[
f
(
x
0
) +
4
f
(
x
1
) +
f
(
x
2
)]
.
Аналогичное приближенное равенство имеет место для любого
сегмента
[
x
i
?
2
,
x
2
i
]
,
i
=
2, 3,
...
,
n
(соответствующие ѕотрезкиї
параболы изображены на рисунке пунктирными линиями):
x
2
i
Z
x
2
i
?
2
f
(
x
)
dx
?
b
?
a
6
n
[
f
(
x
2
i
?
2
) +
4
f
(
x
2
i
?
1
) +
f
(
x
2
i
)]
.
5*

132
Гл. 5. Интегралы
Суммируя эти равенства по
i
от 1 до
n
, приходим к приближен-
ному равенству для исходного интеграла:
b
Z
a
f
(
x
)
dx
?
b
?
a
6
n
n
X
i
=
1
[
f
(
x
2
i
?
2
) +
4
f
(
x
2
i
?
1
) +
f
(
x
2
i
)] =
=
b
?
a
6
n
"
f
(
a
) +
f
(
b
) +
2
n
?
1
X
i
=
1
f
(
x
2
i
) +
4
n
X
i
=
1
f
(
x
2
i
?
1
)
#
,
(5.42)
а обозначив разность между левой и правой частями приближен-
ного равенства (
5.42
) через
R
n
, получаем формулу
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
b
?
a
6
n
"
f
(
a
) +
f
(
b
) +
2
n
?
1
X
i
=
1
f
(
x
2
i
) +
4
n
X
i
=
1
f
(
x
2
i
?
1
)
#
+
R
n
,
которая называется формулой парабол или формулой Симпсона.
Теорема 15. Если функция
f
(
x
)
имеет на сегменте
[
a
,
b
]
непрерывную производную четвертого порядка, то найдется точ-
ка
?
?
[
a
,
b
]
, такая, что
R
n
=
?
(
b
?
a
)
5
2880
n
4
f
(
4
)
(
?
) =
?
b
?
a
2880
f
(
4
)
(
?
)
h
4
.
Таким образом, остаточный член в формуле парабол является
величиной порядка
h
4
. Это означает, что приближенная формула
(
5.42
) метода парабол является при малом
h
(то есть при боль-
ших
n
) более точной, чем приближенные формулы (
5.33
) и (
5.40
)
метода прямоугольников и метода трапеций. (Доказательство
теоремы 15 см. в [1]).
Пример. Применим формулу парабол для приближенного вычис-
ления интеграла
?
R
0
sin
xdx
. Его точное значение равно 2. Посмот-
рим, что получится по формуле парабол при самом минимальном
значении
n
, то есть при
n
=
1.
Полагая в формуле (
5.42
)
a
=
0,
b
=
?
,
n
=
1 и учитывая,
что
f
(
0
) =
f
(
?
) =
0,
f
?
2
= sin
?
2
=
1, получим:
?
Z
0
sin
xdx
?
?
6
h
f
(
0
) +
f
(
?
) +
4
f
?
2
i
=
2
3
?
=
2
+
?
,

15. Методы приближенного вычисления определенных интегралов
133
где
?
=
2
?
3
?
1
<
0, 1. Таким образом, уже при
n
=
1 прибли-
женное значение данного интеграла, вычисленное по формуле
парабол, отличается от точного значения меньше, чем на 0,1.
Этот пример свидетельствует о высокой эффективности метода
парабол.

Г л а в а 6
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Ранее было дано определение предела числовой последова-
тельности:
a
= lim
n
??
x
n
, если
?
? >
0
?
N
,
?
n > N
:
|
x
n
?
a
|
< ?.
Неравенство
|
x
n
?
a
|
< ?
означает, что все члены последователь-
ности с номерами, большими
N
, лежат в
?
-окрестности точки
a
.
Было доказано, что монотонная ограниченная последователь-
ность сходится (следствие из теоремы о пределе монотонной
ограниченной функции). Кроме того, отмечалось, что если все
x
n
?
[
a
,
b
]
, т.е.
a
6
x
n
6
b
, и при этом существует
lim
n
??
x
n
=
c
,
то
c
?
[
a
,
b
]
, т.е.
a
6
c
6
b
.
џ 1. Теорема о стягивающейся системе сегментов
Рассмотрим последовательность сегментов
[
a
1
,
b
1
]
, ... ,
[
a
n
,
b
n
]
, ... ,
такую, что каждый следующий сегмент содержится в предыду-
щем, т.е. для любого номера
n
справедливы неравенства
a
n
6
a
n
+
1
< b
n
+
1
6
b
n
,
и, кроме того,
(
b
n
?
a
n
)
?
0 при
n
? ?
. Такая последователь-
ность сегментов называется стягивающейся системой сегмен-
тов.
Теорема 1. Существует единственная точка, принадлежащая
всем сегментам стягивающейся системы.
Доказательство. Из неравенств
a
n
6
a
n
+
1
< b
n
+
1
6
b
n
следу-
ет, что последовательность
{
a
n
}
неубывающая, а последова-
тельность
{
b
n
}
невозрастающая. Кроме того, эти последова-

2. Предельные точки последовательности
135
тельности ограничены, так как все их члены лежат на сегменте
[
a
1
,
b
1
]
. Следовательно, обе эти последовательности сходятся, а
поскольку
(
b
n
?
a
n
)
?
0 при
n
? ?
, то
lim
n
??
a
n
= lim
n
??
b
n
.
Обозначим этот предел буквой
c
. Так как
{
a
n
}
неубывающая
последовательность, то
a
n
6
c
, и так как
{
b
n
}
невозрастаю-
щая последовательность, то
b
n
>
c
. Таким образом, для любого
номера
n
справедливы неравенства
a
n
6
c
6
b
n
, то есть точка
c
принадлежит всем сегментам стягивающейся системы. Докажем
теперь единственность такой точки.
Предположим противное, то есть предположим, что суще-
ствует другая точка
d
6
=
c
, принадлежащая всем сегментам стя-
гивающейся системы. Пусть, например,
d > c
(случай
d < c
рассматривается аналогично). Тогда
?
n
:
a
n
6
c < d
6
b
n
, откуда
b
n
?
a
n
>
d
?
c >
0. Следовательно,
lim
n
??
(
b
n
?
a
n
)
>
d
?
c >
0,
что противоречит условию
(
b
n
?
a
n
)
?
0 при
n
? ?
. Теорема 1
доказана.
Теорема 1 выражает свойство, которое называется непрерыв-
ностью множества вещественных чисел. Множество рацио-
нальных чисел этим свойством не обладает.
џ 2. Предельные точки последовательности
Пусть
{
x
n
}
некоторая числовая последовательность.
Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность
целых положительных чисел
k
1
,
k
2
, ... ,
k
n
, ..., например,
5, 12, 27, 38, .... Отметим, что
k
n
>
n
. Выберем из последователь-
ности
{
x
n
}
члены с номерами
k
1
,
k
2
, ... ,
k
n
, ...:
x
k
1
,
x
k
2
, ... ,
x
k
n
, ...
.
Полученная таким образом последовательность называется под-
последовательностью последовательности
{
x
n
}
.
Примеры:
1)
{
x
2
n
}
=
x
2
,
x
4
, ... ,
x
2
n
, ...
2)
{
x
k
n
}
=
x
5
,
x
12
,
x
27
,
x
38
, ...
3) сама последовательность
{
x
n
}
является своей подпоследо-
вательностью (
k
n
=
n
).

136
Гл. 6. Числовые последовательности
Лемма 1. Если
lim
n
??
x
n
=
a
,
то любая подпоследовательность
{
x
k
n
}
сходится и имеет своим
пределом число
a
при
n
? ?
.
Доказательство. Зададим произвольное
? >
0. Начиная с
некоторого номера
N
все
x
n
лежат в
?
-окрестности точки
a
.
Следовательно, и все члены подпоследовательности
{
x
k
n
}
с но-
мерами, большими
N
, лежат в
?
-окрестности точки
a
, а это и
означает, что
x
k
n
?
a
при
n
? ?
. Лемма 1 доказана.
Может случиться так, что сама последовательность расходит-
ся, но у нее есть сходящиеся подпоследовательности. Например,
последовательность
{
x
n
}
=
1, 1
/
2, 1, 1
/
3, ... , 1, 1
/n
, ... расходит-
ся, однако ее подпоследовательности
{
x
2
n
?
1
}
=
1, 1, ... , 1, ...
и
{
x
2
n
}
=
1
/
2, 1
/
3, ... , 1
/n
, ...
сходятся: первая сходится к единице, а вторая к нулю.
Теорема 2 (БольцаноВейерштрасса). Из любой ограни-
ченной последовательности можно выделить сходящуюся подпо-
следовательность.
Доказательство. Пусть
{
x
n
}
ограниченная последователь-
ность, то есть существуют числа
a
и
b
, такие, что
?
n
:
a
6
x
n
6
b
.

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: