Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

2. Предельные точки последовательности
137
а в силу неравенств
a
n
6
x
k
n
6
b
n
имеем:
lim
n
??
x
k
n
=
c.
Таким
образом,
мы
выделили
сходящуюся
подпосле-
довательность
{
x
k
n
}
последовательности
{
x
n
}
.
Теорема
БольцаноВейерштрасса доказана.
Замечание. Последовательность
{
x
n
}
называется неограни-
ченной, если
?
A
?
x
n
:
|
x
n
|
> A
. Для неограниченных последова-
тельностей теорема Больцано-Вейерштрасса не верна.
Пример. У неограниченной последовательности
{
x
n
}
=
1, 2, 3, ...
... ,
n
, ... нет сходящихся подпоследовательностей.
Последовательность
{
x
n
}
называется бесконечно большой,
если
?
A
?
N
,
?
n > N
:
|
x
n
|
> A
. Любая бесконечно большая
последовательность является неограниченной. Обратное неверно.
Пример. Последовательность
{
x
n
}
=
0, 1, 0, 2, ... , 0,
n
, ... являет-
ся неограниченной, но не является бесконечно большой.
Задание. Докажите, что из любой неограниченной последо-
вательности можно выделить бесконечно большую подпоследо-
вательность.
Определение 1. Число
a
называется предельной точкой
последовательности
{
x
n
}
, если из
{
x
n
}
можно выделить подпо-
следовательность
{
x
k
n
}
, сходящуюся к
a
.
Из теоремы БольцаноВейерштрасса следует, что всякая
ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предель-
ную точку.
Определение 2. Число
a
называется предельной точкой
последовательности
{
x
n
}
, если в любой
?
-окрестности точки
a
содержится бесконечно много членов последовательности
{
x
n
}
.
Утверждение. Определения 1 и 2 эквивалентны.
Докажем, что если число
a
является предельной точкой последо-
вательности
{
x
n
}
по определению 1, то оно является предельной
точкой этой последовательности и по определению 2 (в обратную
сторону доказательство проведите самостоятельно).
Итак, пусть число
a
предельная точка последовательности
{
x
n
}
по определению 1, то есть существует такая подпоследова-
тельность
{
x
k
n
}
последовательности
{
x
n
}
, что
lim
n
??
x
k
n
=
a.
Тогда в любой
?
-окрестности точки
a
содержится бесконечно
много членов подпоследовательности
{
x
k
n
}
, а значит, и бес-
конечно много членов последовательности
{
x
n
}
. Это означает,

138
Гл. 6. Числовые последовательности
что число
a
предельная точка последовательности
{
x
n
}
по
определению 2, что и требовалось доказать.
Поставим вопрос: сколько предельных точек может быть у
ограниченной последовательности?
Ответ: сколько угодно и даже несчетное множество. Чтобы
разъяснить этот ответ, поговорим о множествах.
Некоторые сведения о множествах.
Говорят, что между элементами двух множеств установлено
взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу
первого множества поставлен в соответствие некоторый элемент
второго множества так, что при этом каждый элемент второго
множества соответствует только одному элементу первого мно-
жества.
Два множества называются эквивалентными, если между
их элементами можно установить взаимно-однозначное соответ-
ствие. Если два множества эквивалентны, то говорят, что они
имеют одинаковую мощность.
Множество называется счетным, если оно эквивалентно
множеству натуральных чисел. Иными словами, множество на-
зывается счетным, если его элементы можно занумеровать с
помощью натуральных чисел, т.е. составить из них последова-
тельность.
Множество всех рациональных чисел сегмента
[
0, 1
]
счет-
но. В самом деле, из них можно составить числовую последова-
тельность, например, следующим образом:
0, 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
3
4
,
1
5
,
2
5
,
3
5
,
4
5
,
1
6
, ...
.
Множество всех вещественных чисел сегмента
[
0, 1
]
несчетно
(докажите это самостоятельно). Если множество эквивалентно
множеству всех вещественных чисел сегмента
[
0, 1
]
, то говорят,
что оно имеет мощность континуума.
Вернемся к вопросу о том, сколько предельных точек может
быть у ограниченной последовательности, и рассмотрим приме-
ры.
1) Если последовательность
{
x
n
}
сходится к числу
a
, то чис-
ло
a
единственная предельная точка этой последовательности.
2) Пусть
a
1
,
a
2
, ... ,
a
m
произвольные различные числа.
Последовательность
a
1
,
a
2
, ... ,
a
m
,
a
1
,
a
2
, ... ,
a
m
, ... ,
a
1
,
a
2
, ... ,
a
m
, ...
имеет
m
предельных точек:
a
1
,
a
2
, ... ,
a
m
.

2. Предельные точки последовательности
139
3) Последовательность (составленная из всех рациональных
чисел сегмента
[
0; 1
]
)
0, 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
3
4
,
1
5
,
2
5
,
3
5
,
4
5
,
1
6
, ...
имеет континуум предельных точек: любое число из сегмента
[
0, 1
]
является предельной точкой этой последовательности, так
как в любой
?
-окрестности этого числа содержится бесконечно
много членов данной последовательности.
Задание. Придумайте пример последовательности, у которой
счетное множество предельных точек.
Пусть
{
x
n
}
ограниченная последовательность. Тогда у нее
есть по крайней мере одна предельная точка.
Определение. Наибольшая (наименьшая) предельная точ-
ка ограниченной числовой последовательности
{
x
n
}
называется
верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозна-
чается так:
lim
n
??
x
n
lim
n
??
x
n
.
Если последовательность
{
x
n
}
сходится, то
lim
n
??
x
n
= lim
n
??
x
n
= lim
n
??
x
n
.
Если ограниченная последовательность имеет конечное число
предельных точек, то она, очевидно, имеет верхний и нижний
пределы. Если же ограниченная последовательность имеет бес-
конечное множество предельных точек, то существование верх-
него и нижнего пределов не является очевидным, поскольку
ограниченное бесконечное числовое множество может не иметь
наибольшего и наименьшего элементов.
Теорема 3. Ограниченная последовательность имеет верхний
и нижний пределы.
Доказательство. Пусть
{
x
n
}
ограниченная числовая после-
довательность и
A
множество ее предельных точек. Поскольку
A
ограниченное и непустое множество, то существуют его
точные грани
sup
A
=
a
и
inf
A
=
a.
Остается доказать, что
a
и
a
предельные точки последо-
вательности
{
x
n
}
. Докажем это для
a
(для
a
доказательство
проводится аналогично).
Зададим произвольное
? >
0. Докажем, что в
?
-окрестности
точки
a
содержится бесконечно много членов последовательно-

140
Гл. 6. Числовые последовательности
сти
{
x
n
}
(тем самым и будет доказано, что
a
предельная точка
{
x
n
}
).
По определению точной верхней грани существует предель-
ная точка
c
последовательности
{
x
n
}
, такая, что
a
?
?
2
< c
6
a.
Рассмотрим
?/
2-окрестность точки
c
. Она расположена в
?
-
окрестности точки
a
. По определению 2 предельной точки в
?/
2-окрестности точки
c
содержится бесконечно много членов
последовательности
{
x
n
}
. Но все они содержатся в
?
-окрестности
точки
a
. Таким образом, в
?
-окрестности точки
a
содержится
бесконечно много членов последовательности
{
x
n
}
, что и требо-
валось доказать. Теорема 3 доказана.
Замечание. Если
{
x
n
}
неограниченная сверху (снизу) по-
следовательность, то пишут
lim
n
??
x
n
=
?
lim
n
??
x
n
=
??
.
Пример. Рассмотрим последовательность
{
x
n
}
=
0, 1, 0, 2, 0, ... ,
n
, 0, ...
.
Очевидно, что
lim
n
??
x
n
=
?
,
lim
n
??
x
n
=
0
.
џ 3. Критерий Коши сходимости последовательности.
Определение. Последовательность
{
x
n
}
называется фунда-
ментальной, если
?
? >
0
?
N
, такой, что
?
n > N
и
?
p
?
N
:
|
x
n
+
p
?
x
n
|
< ?
.
В силу произвольности
p
число
m
=
n
+
p
является произ-
вольным номером, большим
N
. Поэтому определение фундамен-
тальной последовательности можно сформулировать так: после-
довательность
{
x
n
}
называется фундаментальной, если
?
? >
0
?
N
,
?
n > N
и
?
m > N
:
|
x
m
?
x
n
|
< ?
.
Пример. Рассмотрим последовательность
{
x
n
}
=
{
1
/n
}
. Для
любого
? >
0 возьмем
N >
1
/?
, т.е. 1
/N < ?
. Тогда
?
n > N
и
?
p
?
N
имеем:
|
x
n
+
p
?
x
n
|
=
1
n
+
p
?
1
n
<
1
n
<
1
N
< ?
,

3. Критерий Коши сходимости последовательности.
141
а это и означает, что последовательность
{
x
n
}
=
1
/n
является
фундаментальной.
Задание. Сформулируйте определение нефундаментальной
последовательности.
Лемма 2. Фундаментальная последовательность ограничена
(доказательство проведите самостоятельно).
Теорема 4 (критерий Коши сходимости последовательно-
сти). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходи-
мо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство.
а) Необходимость. Пусть последовательность
{
x
n
}
сходится и
имеет своим пределом при
n
? ?
число
a
. Тогда
?
? >
0
?
N
,
?
n > N
:
|
x
n
?
a
|
< ?/
2, и также
?
m > N
:
|
x
m
?
a
|
< ?/
2. Отсюда
получаем, что для любых
n
и
m
, больших
N
, справедливо
неравенство
|
x
n
?
x
m
|
=
|
(
x
n
?
a
) + (
a
?
x
m
)
|
6
|
x
n
?
a
|
+
|
x
m
?
a
|
< ?
,
то есть последовательность
{
x
n
}
фундаментальная.
б) Достаточность. Пусть
{
x
n
}
фундаментальная последо-
вательность. Согласно лемме 2
{
x
n
}
ограниченная последова-
тельность, и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся
подпоследовательность. Пусть
{
x
k
n
} ?
a
при
n
? ?
. Докажем,
что
lim
n
??
x
n
=
a.
Зададим произвольное
? >
0 и рассмотрим
?
- и
?/
2-окрестности точки
a
. Начиная с некоторого номера
N
1
все
члены подпоследовательности
{
x
k
n
}
лежат в
?/
2-окрестности
точки
a
, а начиная с некоторого номера
N
2
все члены
последовательности
{
x
n
}
отстоят друг от друга не более, чем
на
?/
2 (так как
{
x
n
}
фундаментальная последовательность).
Поэтому, начиная с
N
= max
{
N
1
,
N
2
}
, все члены
{
x
n
}
лежат в
?
-окрестности точки
a
. Это и означает, что
lim
n
??
x
n
=
a.
Теорема 4 доказана.
Пример. Докажем с помощью критерия Коши, что последо-
вательность
{
sin
n
}
расходится. Для этого достаточно доказать,
что она не является фундаментальной.
Предположим противное. Тогда
?
? >
0
?
N
,
?
n > N
и
?
p
?
N
:
|
sin(
n
+
p
)
?
sin
n
|
< ?.

142
Гл. 6. Числовые последовательности
Возьмем
p
=
2. Получим
|
2
sin
1
·
cos(
n
+
1
)
|
< ?
=
? |
cos(
n
+
1
)
|
<
?
2
sin
1
?
n > N
,
откуда следует, что последовательность
{
cos
n
}
бесконечно
малая. Далее воспользуемся равенством
cos(
n
+
1
) = cos
n
·
cos
1
?
sin
n
·
sin
1,
из которого имеем
sin
n
=
cos
n
·
cos
1
?
cos(
n
+
1
)
sin
1
?
0 при
n
? ?
.
Итак, мы получили:
cos
n
?
0 и
sin
n
?
0 при
n
? ?
,
что противоречит тождеству
cos
2
n
+ sin
2
n
=
1. Полученное про-
тиворечие доказывает, что последовательность
{
sin
n
}
расходит-
ся.
џ 4. Второе определение предела функции.
Пусть функция
f
(
x
)
определена на множестве
X
и
a
пре-
дельная точка этого множества, то есть в любой
?
-окрестности
точки
a
содержатся точки из
X
, отличные от
a
.
Отметим, что понятия предельной точки числового мно-
жества и предельной точки числовой последовательности 
различные понятия. Поясняющий пример: рассмотрим числовое
множество
X
=
{
1; 2
}
и последовательность
{
x
n
}
=
1, 2, 1, 2, ... , 1, 2, ...
.
У множества
X
, состоящего из двух чисел, нет предельных
точек, тогда как у последовательности
{
x
n
}
, очевидно, их две:
a
1
=
1 и
a
2
=
2.
Определение 1 (по Коши). Число
b
называется пределом
функции
f
(
x
)
при
x
?
a
, если
?
? >
0
?
? >
0, такое, что
?
x
? {
0
<
|
x
?
a
|
< ?
}
:
|
f
(
x
)
?
b
|
< ?
.
Это определение было дано в разделе 2.2. Дадим другое опреде-
ление предела функции в точке.
Определение 2 (по Гейне). Число
b
называется пределом
функции
f
(
x
)
при
x
?
a
, если для любой последовательности

4. Второе определение предела функции.
143
значений аргумента
{
x
n
}
, сходящейся к
a
и такой, что
x
n
6
=
a
,
соответствующая последовательность значений функции
{
f
(
x
n
)
}
сходится к
b
.
Задание. Сформулируйте отрицание определения предела
функции по Гейне, то есть сформулируйте определение того, что
lim
x
?
a
f
(
x
)
6
=
b.
Теорема 5. Определения 1 и 2 эквивалентны.
Доказательство.
1) Пусть
lim
x
?
a
f
(
x
) =
b
по Коши.
(6.1)
Требуется доказать, что
lim
x
?
a
f
(
x
) =
b
по Гейне,
(6.2)
то есть
?{
x
n
} ?
a
(
x
n
6
=
a
) :
{
f
(
x
n
)
} ?
b.
Рассмотрим произвольную последовательность
{
x
n
} ?
a
(
x
n
6
=
a
)
и возьмем произвольное
? >
0. В силу условия (
6.1
)
найдется
? >
0 такое, что
|
f
(
x
)
?
b
|
< ?
при 0
<
|
x
?
a
|
< ?
,
(6.3)
а поскольку
{
x
n
} ?
a
и
x
n
6
=
a
, то существует такое
N
, что
?
n > N
:
0
<
|
x
n
?
a
|
< ?.
(6.4)
Из (
6.3
) и (
6.4
) следует, что
?
n > N
:
|
f
(
x
n
)
?
b
|
< ?
, а это и
означает, что
{
f
(
x
n
)
} ?
b
. Таким образом, справедливость (
6.2
)
доказана.
2) Пусть выполнено условие (
6.2
).
Предположим, что
lim
x
?
a
f
(
x
)
6
=
b
по Коши.
(6.5)
Это означает, что
?
? >
0, такое, что
?
? >
0
?
x
? {
0
<
|
x
?
a
|
< ?
}
:
|
f
(
x
)
?
b
|
>
?.
Рассмотрим произвольную последовательность
{
?
n
} ?
+
0
(
?
n
>
0
)
.

144
Гл. 6. Числовые последовательности
Согласно нашему предположению, для любого
?
n
существует
число
x
n
, удовлетворяющее условию
0
<
|
x
n
?
a
|
< ?
n
,
(6.6)
для которого
|
f
(
x
n
)
?
b
|
>
?.
(6.7)
Поскольку
{
?
n
} ?
+
0, то из (
6.6
) следует, что
{
x
n
} ?
a
и
x
n
6
=
a
. Отсюда в силу условия (
6.2
)получаем:
{
f
(
x
n
)
} ?
b
и,
значит,
|
f
(
x
n
)
?
b
| ?
0 при
n
? ?
. С другой стороны, в силу
неравенства (
6.7
) имеем:
lim
n
??
|
f
(
x
n
)
?
b
|
>
? >
0
.
Полученное противоречие доказывает, что наше предположение
(
6.5
) неверно, и, следовательно,
lim
x
?
a
f
(
x
) =
b
по Коши.
Теорема 5 доказана.
Примеры. 1) Пусть
f
(
x
) =
x
. Докажем, пользуясь определе-
нием предела функции по Гейне, что
lim
x
?
a
f
(
x
) =
a.
Для любой последовательности
{
x
n
} ?
a
имеем:
{
f
(
x
n
)
}
=
=
{
x
n
} ?
a
. Согласно определению предела функции по Гейне
это означает, что
lim
x
?
a
f
(
x
) = lim
x
?
a
x
=
a.
2) Пусть
f
(
x
) = sin
1
x
. Докажем, что
lim
x
?
0
f
(
x
)
не существует.
Возьмем
x
n
=
1
?n
, тогда
{
x
n
} ?
0 при
n
? ?
и
x
n
6
=
0
.
При этом
{
f
(
x
n
)
}
=
{
sin
?n
}
=
{
0
} ?
0 при
n
? ?
.
Возьмем теперь
x
0
n
=
1
2
?n
+
?
2
, тогда
{
x
0
n
} ?
0 при
n
? ?
и
x
0
n
6
=
0
.

5. Критерий Коши существования предела функции.
145
При этом
{
f
(
x
0
n
)
}
=
{
sin(
2
?n
+
?/
2
)
}
=
{
1
} ?
1 при
n
? ?
.
Итак, для последовательностей
{
x
n
}
и
{
x
0
n
}
, сходящихся к
нулю и таких, что
x
n
6
=
0 и
x
0
n
6
=
0, соответствующие последо-
вательности
{
f
(
x
n
)
}
и
{
f
(
x
0
n
)
}
имеют разные пределы. Следова-
тельно,
lim
x
?
0
sin
1
x
не существует.
Определение предела функции при
x
? ?
по Гейне.
Если
{
x
n
}
бесконечно большая последовательность и, на-
чиная с некоторого номера,
x
n
>
0, то будем писать
{
x
n
} ?
+
?
(в этом случае говорят, что последовательность сходится к
+
?
).
Определение (по Гейне). Число
b
называется пределом
функции
f
(
x
)
при
x
?
+
?
, если для любой последовательности
значений аргумента
{
x
n
}
, сходящейся к
+
?
, соответствующая
последовательность значений функции
{
f
(
x
n
)
}
сходится к
b
.
Задание. Докажите эквивалентность двух определений (по
Коши и по Гейне) предела функции при
x
?
+
?
.
џ 5. Критерий Коши существования предела функции.
Пусть функция
f
(
x
)
определена на множестве
X
и
a
предельная точка этого множества.
Определение. Говорят, что
f
(
x
)
удовлетворяет в точке
a
условию Коши, если
?
? >
0
?
? >
0 такое, что для лю-
бых значений аргумента
x
0
и
x
00
, удовлетворяющих условию
0
<
|
x
0
?
a
|
< ?
, 0
<
|
x
00
?
a
|
< ?
, выполняется неравенство
|
f
(
x
0
)
?
f
(
x
00
)
|
< ?
.
Заметим, что условие Коши для функции аналогично свой-
ству фундаментальности для числовой последовательности.
Задание. Сформулируйте определение того факта, что
f
(
x
)
не удовлетворяет в точке
a
условию Коши.
Докажем теорему о критерии Коши существования предела
функции в точке.
Теорема 6. Для того, чтобы функция
f
(
x
)
имела предел в
точке
a
, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в
этой точке условию Коши.
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть
lim
x
?
a
f
(
x
) =
b.

146
Гл. 6. Числовые последовательности
Тогда, согласно определению предела функции по Коши,
?
? >
0
?
? >
0, такое, что
|
f
(
x
0
)
?
b
|
<
?
2
при 0
<
|
x
0
?
a
|
< ?
,
|
f
(
x
00
)
?
b
|
<
?
2
при 0
<
|
x
00
?
a
|
< ?.
Отсюда следует, что
|
f
(
x
0
)
?
f
(
x
00
)
|
=
|
(
f
(
x
0
)
?
b
) + (
b
?
f
(
x
00
))
|
6
6
|
f
(
x
0
)
?
b
|
+
|
f
(
x
00
)
?
b
|
< ?
при 0
<
|
x
0
?
a
|
< ?
, 0
<
|
x
00
?
a
|
< ?
. Таким образом, функция
f
(
x
)
удовлетворяет в точке
a
условию Коши. Утверждение о
необходимости условия Коши доказано.
2) Достаточность. Пусть
f
(
x
)
удовлетворяет в точке
a
усло-
вию Коши. Пусть
{
x
n
}
произвольная последовательность зна-
чений аргумента, сходящаяся к
a
(при этом
x
n
6
=
a
). В со-
ответствии с определением предела функции по Гейне нужно
доказать, что
{
f
(
x
n
)
}
сходится к некоторому числу
b
, причем
это число одно и то же для всех
{
x
n
} ?
a
(
x
n
6
=
a
)
. С этой
целью докажем сначала фундаментальность последовательности
{
f
(
x
n
)
}
.
Зададим произвольное
? >
0. Согласно условию Коши
?
? >
0
такое, что
|
f
(
x
0
)
?
f
(
x
00
)
|
< ?
при 0
<
|
x
0
?
a
|
< ?
, 0
<
|
x
00
?
a
|
< ?.
(6.8)
Так как
lim
n
??
x
n
=
a
и
x
n
6
=
a
, то для указанного
?
найдется
номер
N
, такой, что
?
n > N
:
0
<
|
x
n
?
a
|
< ?
,
и также
?
m > N
:
0
<
|
x
m
?
a
|
< ?.
Из этих неравенств в силу (
6.8
) следует, что
?
n > N
и
?
m > N
:
|
f
(
x
m
)
?
f
(
x
n
)
|
< ?
,
то есть
{
f
(
x
n
)
}
фундаментальная последовательность. Следо-
вательно,
{
f
(
x
n
)
}
сходится к некоторому числу
b
.

5. Критерий Коши существования предела функции.
147
Итак, мы доказали, что
?{
x
n
} ?
a
(
x
n
6
=
a
) соответствую-
щая последовательность
{
f
(
x
n
)
}
сходится к некоторому числу
b
. Остается доказать, что число
b
будет одно и то же для всех
последовательностей
{
x
n
}
, сходящихся к
a
(и таких, что
x
n
6
=
a
).
Пусть для
{
x
n
} ?
a
(
x
n
6
=
a
)
соответствующая последова-
тельность
{
f
(
x
n
)
}
сходится к
b
, а для
{
x
0
n
} ?
a
(
x
0
n
6
=
a
)
со-
ответствующая ей последовательность
{
f
(
x
0
n
)
}
сходится к
b
0
.
Составим последовательность
{
x
00
n
}
=
x
1
,
x
0
1
,
x
2
,
x
0
2
, ... ,
x
n
,
x
0
n
, ...
.
Ясно, что
{
x
00
n
} ?
a
(
x
00
n
6
=
a
), и поэтому
{
f
(
x
00
n
)
}
сходится к
некоторому числу
b
00
. Следовательно, и подпоследовательности
{
f
(
x
n
)
}
и
{
f
(
x
0
n
)
}
последовательности
{
f
(
x
00
n
)
}
сходятся к это-
му числу
b
00
. Но
{
f
(
x
n
)
} ?
b
,
{
f
(
x
0
n
)
} ?
b
0
. Таким образом,
b
=
b
0
=
b
00
, что и требовалось доказать. Теорема 6 доказана.
Задание. Сформулируйте условие Коши для функции
f
(
x
)
при
x
?
+
?
и докажите теорему о критерии Коши существова-
ния предела функции при
x
?
+
?
.

Г л а в а 7
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ И
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
џ 1. Теоремы об ограниченности непрерывных
функций
Теорема 1 (о локальной ограниченности непрерывной
функции).
Если функция
y
=
f
(
x
)
непрерывна в точке
a
, то
она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Доказательство. Зададим какое-нибудь
? >
0 (например,
?
=
1).
По определению непрерывности функции
?
? >
0, такое, что
|
f
(
x
)
?
f
(
a
)
|
< ?
при
|
x
?
a
|
< ?
,
т.е.
f
(
a
)
?
? < f
(
x
)
< f
(
a
) +
?
в
?
-окрестности точки
a
. Это
и означает, что функция
y
=
f
(
x
)
ограничена в
?
-окрестности
точки
a
. Теорема 1 доказана.
Пусть теперь функция
f
(
x
)
непрерывна на множестве
X
,
т.е. непрерывна в каждой точке этого множества. Будет ли
f
(
x
)
ограниченной на множестве
X
? Ответ неоднозначен.
Пример. Функция
f
(
x
) =
1
/x
непрерывна на интервале 0
<
< x <
1, но не ограничена на этом интервале.
Если же множество
X
сегмент, то ответ на поставленный
вопрос положительный.
Теорема 2 (1-ая теорема Вейерштрасса).
Непрерывная на сегменте функция ограничена на этом сегменте.
Доказательство. Пусть функция
f
(
x
)
непрерывна на сегменте
[
a
,
b
]
. Допустим, что
f
(
x
)
не ограничена на
[
a
,
b
]
. Тогда
?
n
?
N
?
x
n
?
[
a
,
b
] :
|
f
(
x
n
)
|
> n.
(7.1)
Рассмотрим последовательность
{
x
n
}
. Она ограничена, посколь-
ку все
x
n
лежат на сегменте
[
a
,
b
]
, и, следовательно, из нее
можно выделить сходящуюся подпоследовательность
{
x
k
n
}
(тео-
рема БольцаноВейерштрасса). Пусть
{
x
k
n
} ?
c
. Поскольку все

1. Теоремы об ограниченности непрерывных функций
149
x
k
n
?
[
a
,
b
]
, то
c
?
[
a
,
b
]
и поэтому
f
(
x
)
непрерывна в точке
c
.
Отсюда следует, что
f
(
x
k
n
)
?
f
(
c
)
при
n
? ?
.
С другой стороны,
|
f
(
x
k
n
)
|
> k
n
в силу (
7.1
), т.е.
{
f
(
x
k
n
)
}
бесконечно большая последовательность и, следовательно, рас-
ходится. Полученное противоречие доказывает теорему 2.
Замечание. Для интервала теорема 2 не верна (см. пример вы-
ше).
Задание. Установите, в каком месте не пройдет доказательство
теоремы, если сегмент
[
a
,
b
]
заменить на интервал
(
a
,
b
)
.
Пусть функция
f
(
x
)
определена и ограничена сверху (снизу)
на множестве
X
. Тогда она имеет на множестве
X
точную
верхнюю (нижнюю) грань:
M
= sup
X
f
(
x
)
(
m
= inf
X
f
(
x
))
.
При этом функция
f
(
x
)
может принимать, а может и не прини-
мать значения, равного
M
(соответственно,
m
).

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: